人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)預(yù)習(xí)提綱

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第章一元二次方程知識(shí)點(diǎn)歸納21.1一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的定義1.等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次的方程，叫做一元二次方程。2.注意一下幾點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的一般形式1.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)三：一元二次方程的根1.元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗(yàn)根的依據(jù)。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知識(shí)點(diǎn)一：直接開平方法解一元二次方程1.x=a(a≥0)x=a，x=a.2.直接開平方法適用于解形如x或(mx+a)=p(m≠0)p≥0可以利用直接開平方法。3.方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。4.直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識(shí)點(diǎn)二：配方法解一元二次方程1.降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解。2.配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；(2)方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；(4)若等號(hào)右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解。21.2.2公式法知識(shí)點(diǎn)一：公式法解一元二次方程1.ax+bx+c=0(a≠0)b-4ac≥0bb24根為x=2abc的方法叫做公式法。2.ax+bx+c=0(a≠0)的過程。3.公式法解一元二次方程的具體步驟：①方程化為一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中，b，c的值，注意符號(hào)；③求出b-4ac的值；④若b-4ac≥0abc和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0方程無實(shí)數(shù)根。知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程根的判別式式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b-4ac.21.2.3因式分解法知識(shí)點(diǎn)一：因式分解法解一元二次方程1.把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。2.因式分解法的詳細(xì)步驟：(1)移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0；(2)把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；(3)令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程；(4)解一元一次方程即可得到原方程的解。知識(shí)點(diǎn)二：用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據(jù)適用范圍直接開平方法平方根的意義形如x或(mx+n)=p(p≥0)配方法完全平方公式配方法所有一元二次方程所有一元二次方程公式法因式分解法當(dāng)ab=0，則或b=0一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的積的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.若一元二次方程x+px+q=0的兩個(gè)根為x，x，則有x=-p，xx=q.121212bc2.若一元二次方程x+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xxx=，xx=121212aa22.3實(shí)際問題與一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：1.間的等量關(guān)系。2.設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。3.4.解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。5.驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問題有意義，符合題意。6.答：寫出答案。知識(shí)點(diǎn)二：列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型1.數(shù)字問題(1)三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1。(2)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù)：若中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2。(3)b位數(shù)是100a+10b+c.2.增長率問題設(shè)初始量為，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a(1x=b。3.利潤問題利潤問題常用的相等關(guān)系式有：(1)總利潤=總銷售價(jià)總成本；(2)總利潤=單位利潤總銷售量；(4)利潤=成本利潤率4.圖形的面積問題的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程?！局锌蓟仡櫋?.(2017四川綿陽中考關(guān)于x的方程2+mx+n=0的兩個(gè)根是2和1nm的值為(C)A.8C.16D.162.(2017新疆中考)已知關(guān)于x的方程x+x-a=0的一個(gè)根為2，則另一個(gè)根是(A)A.3-2C.3D.63.(2017河南中考一元二次方程2x5x-2=0的根的情況是(B)A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根4.(2017青海西寧中考若xx是一元二次方程x3x-50x+x112的值是15.5.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考如果關(guān)于x的方程-42m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是m<26.(2017四川成都中考)已知x，x是關(guān)于x的一元二次方程5x+a=0的兩個(gè)實(shí).12數(shù)根，且10，則a=4【模擬預(yù)測(cè)】1.方程+x-120的兩個(gè)根為(D)A.x=-2，x=6x6，x21212C.x=-3，x4D.x=-4，x312122.對(duì)形如x+m=n的方程，下列說法正確的是(C)A.都可以用直接開平方得x=-m±C.當(dāng)n≥0時(shí)，直接開平方得x=-m±B.都可以用直接開平方得x=-n±D.當(dāng)n≥0時(shí)，直接開平方得x=-n±3.三角形的兩邊長分別為2和6，第三邊是方程-1021=0的解，則第三邊的長為(A)A.7B.3C.7或3D.無法確定4.289元的藥品進(jìn)行連續(xù)兩次降價(jià)后為256程正確的是A.289(1-x256B.256(1=2895.若關(guān)于x的一元二次方程1)+5x+m3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值等(A)C.289(12x=256D.256(12x289于()A.1B.2C.1或2D.03m+20m1m=2.又二次項(xiàng)系數(shù)1≠0，12所以≠1.綜上可知，m=2.故選B.6.若關(guān)于x的一元二次方程-32a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a可取的最大負(fù)整數(shù)為.解析：由題意可知Δ=9+8a≥0，故a≥-，所以a可取的最大負(fù)整數(shù)為-1.7.已知xx是關(guān)于x的一元二次方程x(2m+3)x+m=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，12且滿足x+x，則m的值是.12解析：因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以[(2m+3)]4m0，即m>-；由根與系數(shù)的關(guān)系可知x+x2m+3，所以2m+3=m，得m=-1，m=3，1212故m=3.8.某地特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為40元/千克，如果按60元/千克出售，那么平均每天可售出100kg.后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：(1)每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元?(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售?(1)設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得(60-x-40)2240.化簡(jiǎn)，得10x+240.解得x4，x6.12答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降價(jià)4元或6元，因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元.此時(shí)，售價(jià)為60654(元，所以答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售.100%=90%.第22章二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題第一部分基礎(chǔ)知識(shí)1.定義：一般地，如果y次函數(shù).2c(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二2.二次函數(shù)y(1)拋物線y(2)函數(shù)y的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.2的性質(zhì)2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸.2①當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為y（a.23.二次函數(shù)y4.二次函數(shù)y22c的圖像是對(duì)稱軸平行于包括重合)y軸的拋物線.c用配方法可化成：b4b2yaxh2k的形式，其中h，k.2a4a5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①y；②yk；③yaxh2；④y⑤yc.6..axh2k；222(1)aa0a0下；a越大，拋物線的開口越?。籥越小，拋物線的開口越大。(2)平行于y軸或重合)的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置。幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同。8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法b24b2a2(1)公式法：y2cax，。4ab4b2b∴頂點(diǎn)是（，，對(duì)稱軸是直線x2a4a2a(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，2得到頂點(diǎn)為(h，k，對(duì)稱軸是直線.xh。(3)拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.9.拋物線y(1)a決定開口方向及開口大小，這與y(2)b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y2c中，a,b,c的作用2中的a完全一樣。2c的對(duì)稱軸是bb直線x①b0y②0即a、b同號(hào)2aab軸在y軸左側(cè)；③0(即a、b異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，“左同右異a(3)c的大小決定拋物線yc與y軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)x0時(shí)，yc，2∴拋物線yc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，c：2①c0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c0，與y軸交于正半軸；③c0，與y軸交于負(fù)半軸。10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸x(y軸)頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)y20當(dāng)a0時(shí)開口向上；當(dāng)a0時(shí)開口向下y2kx0(y軸)(0，k)(h，0)yaxhyaxh2kyc2hxxh(h，k)b2x2b4b(，)2a2a4a用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式：yc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y.2(2)頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.2(3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x、x，通常選用交點(diǎn)式：12yaxxxx。1212.直線與拋物線的交點(diǎn)(1)y軸與拋物線y2c得交點(diǎn)為(0，c)。(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yc。(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)yc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、x二次方程c0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的2c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h，22122一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；②有一個(gè)交點(diǎn)頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切；③沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是c的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2k(5)一次函數(shù)yk的圖像l與二次函數(shù)yynca0的圖像G2的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同yc2的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn)；②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)l與G沒有交點(diǎn)。(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yc與x軸兩交點(diǎn)為2x0，Bx0，由于x、x是方程c0的兩個(gè)根，故21212bcxx,xx1212aa2bcb2xxxxxx4xx2212121212aaaa【中考回顧】1.(2017天津中考已知拋物線y=x4x+3與x軸相交于點(diǎn)AB點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，頂點(diǎn)為M.M平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M'落在xB平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在y(A)A.y=x+2x+1B.y=x+21C.y=x2x+1D.y=x2x-12.(2017四川成都中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是(B)abc<0，b-400，b4ac>0C.0，b4ac<0abc>0，b-403.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考如果關(guān)于x的方程-42m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是m<2.4.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考如圖，二次函數(shù)y=ax+bx+ca≠0)的圖象交x軸于AB兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，4).(1)求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；(2)點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PM長度的最大值；(3)在拋物線上是否存在異于BD的點(diǎn)△BDQ中BD邊上的高為2存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由.(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a1)4.∵點(diǎn)B(3，0)在該二次函數(shù)的圖象上，∴0(3-1)4，解得：a=-1.∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2x+3.∵點(diǎn)D在y軸上，所以可令x=0，解得：y=3.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，3).設(shè)直線BD的解析式為y=kx+3，把(3，0)代入得3k+30，解得：k=-1.∴直線BD的解析式為y=-x+3.(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m0)，則P，-m+3)，m，+23)，32PM=-m2m+3-m+3)3m，PM最大值為29944(3)如圖，過點(diǎn)Q作∥y軸交BD于點(diǎn)，作⊥BD于點(diǎn)，則QH=2設(shè)x，2x+3)，則G，-x+3)，QG=|-x+23--x+3)|=|-x3x|.∵△DOB是等腰直角三角形，∴∠345°，∴∠2=∠145°.∴sin∠1=，∴QG=4.得|-x+3x|=4，當(dāng)3x=4時(shí)，Δ=9-160，方程無實(shí)數(shù)根.當(dāng)3x=-4x=-1x4Q(4-5)Q(10).1212【模擬預(yù)測(cè)】1.已知二次函數(shù)y=kx6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是(D)A.k<3B.k<3，且≠0C.≤3D.≤3，且k≠02.若點(diǎn)-2，y)，N1，y)，P(8，y)在拋物線y=-2x上，則下列結(jié)論正確123的是(C)A.y<y<yB.y<y<yC.y<y<yD.y<y<y132123213312解：x=-2時(shí)，=-2x=--2)2×-2)=-24=-6，x=-1時(shí)，2-1)2×-1)-22，x=8時(shí)，+28+28=-3216=-16.∵16<-6<-2，∴y.故選C.3123.已知一元二次方程ax+bx+c=0(0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x，x滿足x=4和1212xx=3，則二次函數(shù)y=ax+bx+c(0)的圖象有可能是()12解：∵x+x4，∴-4.12∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-=2.∵xx=3，=3.12當(dāng)0時(shí)，c>0，∴二次函數(shù)圖象交于y軸的正半軸.4.小明在用描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象時(shí)，列了如下表格：xy……2614012……222根據(jù)表格中的信息回答問題：該二次函數(shù)y=ax+bx+c在x=3時(shí)，4.5.若關(guān)于x的函數(shù)y=kx2x-1與xk的值為k=0或k=-1.6.拋物線y=-x+bx+c23個(gè)單位長度，則平移后的解析式為.解：由題中圖象可知，對(duì)稱軸x=1，所以-=1，即2.把點(diǎn)(3，0)代入y=-x+2x+c，得c=3.故原圖象的解析式為y=-x2x+3y=-(x-1)+4平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得y=-x-12)+43，即y=-x2x.答案：y=-x-2x7.如圖①，若拋物線L的頂點(diǎn)A在拋物線L上，拋物線L的頂點(diǎn)B也在拋物122線L上(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合)，我們把這樣的兩拋物線L，L互稱為“友好”拋物112線，可見一條拋物線的友好”拋物線可以有很多條.(1)如圖②y=2x8x+4與y軸交于點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)請(qǐng)求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L的“友好”拋物線L的解析式，并指出L與L中y3434同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；(3)若拋物線y=ax-m)+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a)+k12寫出a與a的關(guān)系式，并說明理由.12解：(1)∵拋物線L：y=28x+4，∴y=2(2)-4.∴頂點(diǎn)為(2，4)，對(duì)稱軸為x=2，設(shè)x=0，則4，∴C(0，4).∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，4).(2)∵以點(diǎn)(4，4)為頂點(diǎn)的L的友好拋物線L還過點(diǎn)(2，4)，∴L的解析式為344y=-2(x-4)4.∴L與L中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍是2≤≤4.34(3)a，12理由如下：∵拋物線L的頂點(diǎn)A在拋物線LL的頂點(diǎn)B也在拋物線1221上，∴可以列出兩個(gè)方程由+②(a+a)(m-h=0∴a=-a.1212第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識(shí)點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的特征：(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：(1)圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。(3)圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識(shí)點(diǎn)三：利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖1.旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：(1)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。2.步驟可分為：(1)連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度(作旋轉(zhuǎn)角)(3)截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)接：即連接到所連接的各點(diǎn)。23.2中心對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)一：中心對(duì)稱的定義1.180°那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。2.注意以下幾點(diǎn)：(1)中心對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；(2)只有一個(gè)對(duì)稱中心；繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個(gè)圖形能夠完全重合。知識(shí)點(diǎn)二：作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圖形心對(duì)稱圖形。知識(shí)點(diǎn)三：中心對(duì)稱的性質(zhì)有以下幾點(diǎn)：1.心平分；2.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，是全等形；3.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行或共線且相等。知識(shí)點(diǎn)四：中心對(duì)稱圖形的定義把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。知識(shí)點(diǎn)五：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)p(x，y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為(-x，-y)?！局锌蓟仡櫋?.(2017四川綿陽中考下列圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是(A)2.(2017天津中考).下面4以看作是軸對(duì)稱圖形的是(C)3.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特中考圖中序號(hào)①②③④對(duì)應(yīng)的四個(gè)三角形，都是△ABC這個(gè)圖形進(jìn)行了一次變換之后得到的，其中是通過軸對(duì)稱得到的是(A)A.①B.②C.③D.④解：∵軸對(duì)稱是沿著某條直線翻轉(zhuǎn)得到新圖形，∴通過軸對(duì)稱得到的是①.故選.4.(2017西寧中考下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是(A)A.等邊三角形B.平行四邊形5.(2017江蘇淮安中考點(diǎn)P(1，2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(C)A.(1，2)B.(1，2)C.(1，2)D.(2，1)C.正六邊形D.圓解：P(1，2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是1，-2)，故選C.6.(2017四川宜賓中考)如圖，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處，則DE的長是(C)5A.3C.5解：∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，且由折疊可得△BEF≌△BEA，∴∠BFE=90°，AE=EF，AB=BF，在△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根據(jù)勾股定理得10，即FD=10-64，設(shè)EF=AE=x，則有ED=8-x，根據(jù)勾股定理得4=(8-x，解得x=3，所以8-35，故選C.7.(2017山東棗莊中考)ABCD先沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折MNBA落在MN上的點(diǎn)FBE.若AB的長為2，則FM的長為(B)A.2C.D.1∵四邊形ABCD2BA落在上的點(diǎn)F處，∴FB=AB=2BM=1Rt△BMF中，F(xiàn)M=故選B.，8.(2017湖南長沙中考ABCDA與CD邊上的一點(diǎn)H重合H不與端點(diǎn)C，D重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，邊AB折疊n后與邊BC交于點(diǎn)G.設(shè)正方形ABCD的周長為m，△CHG的周長為n，則的m值為(B)21251C.D.隨H點(diǎn)位置的變化而變化22解：設(shè)CH=x，DE=y，mm則x，EH=EA=y，44∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴，即，∴CG=，HG=，△CHG的周長n=CH+CG+HG=在△DEH中，，，即+y=，整理得=，∴n=CH+HG+CG=.故.故選B.【模擬預(yù)測(cè)】1.下列標(biāo)志中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是(D)2.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是(B)3.如圖，把一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，AB'與相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是()A.∠DAB'=∠CAB'C.AD=AEB.∠ACD=∠B'CDD.AE=CE答案：D4.如圖，把一張長方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是(D)A.正三角形C.正五邊形B.正方形D.正六邊形解：根據(jù)第一次對(duì)折以及三等分平角可知將360°進(jìn)行6等分，即多邊形的中心角為60°，由最后的剪切可知所得圖形符合正六邊形特征.故選.5.l是四邊形ABCD的對(duì)稱軸.若AB=CD①AB∥CD；②⊥BD；③AO=OC；④AB⊥其中正確的結(jié)論有答案：①②③.(填序號(hào))6.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿翻折，得△FMN，若MF∥AD，∥DC，則∠B=.95°解析：∵FN∥，∴∠BNF=∠C=70°.∵M(jìn)F∥AD，∴∠BMF=∠A=100°.由翻折知，∠∠B.又∵∠BMF+∠∠BNF+∠F=360°，∴100°∠B+70°∠F=360°，∴∠∠B==95°.7.△ABC與△ABC關(guān)于點(diǎn)E111稱中心點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3，1)8.在Rt△ABC∠BAC=90°AB=3M為邊BCAM如圖.如果△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是2.解析：如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AC于N，由折疊性質(zhì)可知，∠BAM=∠CAM=45°.∵點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，∴AC=2AB=6.∵∠ANM=90°，∴∠CAM=∠AMN=45°.∴MN=AN.由△CNM∽△CAB，∴.∴MN=2.9.△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.(1)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△ABC，并寫出△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；111111(2)將△ABC向右平移6個(gè)單位，作出平移后的△ABC，并寫出△ABC各頂222222點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)觀察△ABC與△ABC，它們是否關(guān)于某直線對(duì)稱?若是，請(qǐng)?jiān)趫D上畫出這111222條對(duì)稱軸.解析：(1)△ABC如圖，A(0，4)，B(2，2)，C(1，1).(2)△ABC如圖.A(6，11111122224)，B(4，2)，C(5，1).(3)△ABC與△ABC關(guān)于直線x=3對(duì)稱.如圖.22111222第二十四章圓24.1.1圓知識(shí)點(diǎn)一：圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段叫作半徑。Or的圓是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。的觀點(diǎn)下的定義，但是都說明確定了定點(diǎn)與定長，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二：圓的相關(guān)概念1.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。2.把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。3.等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。4.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。5.等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一：圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)二：垂徑定理(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，BA直徑為MD，是弦，且CD⊥，oAC=BCD垂足為C⌒⌒不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧如上圖所示，直徑MD與非直徑弦相交于點(diǎn)C，CD⊥⌒⌒AC=BC⌒須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3弧、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系1.等，所對(duì)的弦也相等。2.們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。3.所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。24.1.4圓周角知識(shí)點(diǎn)一圓周角定理1.所對(duì)的圓心角的一半。2.或直徑90°的圓周角所對(duì)弦是直徑。3.圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。同弧或等弧是不能改為“同弦或等弦的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)1.圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：(1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。(2)四個(gè)內(nèi)角的和是360°(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對(duì)角24.2點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。2.用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑是，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)p在圓上；點(diǎn)p在圓內(nèi)d＜r。知識(shí)點(diǎn)二(1)經(jīng)過在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓(2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。知識(shí)點(diǎn)三三角形的外接圓與外心1.經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。2.外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四反證法1.正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。2.反證法的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已3.知等相矛盾的結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。2.直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)⊙O的半徑是，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l和⊙O相交直線l和⊙O相切直線l和⊙O相離d＜；d=r；d＞。知識(shí)點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。3.過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識(shí)點(diǎn)三切線長定理1.這點(diǎn)到圓的切線長。2.圓心的連線平分兩條切線的夾角。3.個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1.角形叫做圓的外切三角形。2.三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。3.時(shí)，過三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。4.直角三角形內(nèi)切圓半徑的求解方法：(1)直角三角形直角邊為a.b，斜邊為，直角三角形內(nèi)切圓半徑為a-r+b-r=c，abc得r。211abc(2)根據(jù)三角形面積的表示方法：ab=(abc)r，r.2224.3正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形1.n(n是大于2的自然數(shù)接圓。2.正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。3.正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。4.正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。5.正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)(1)各邊相等，各角相等；(2)都是軸對(duì)稱圖形，正n邊形有n條對(duì)稱軸，每一條對(duì)稱軸都經(jīng)過n邊形的中心。(3)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。(4)所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過正nnn邊形也是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱中心。(n2)180360(5)正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，中心角和外角相等，等于。nn24.4弧長和扇形面積nR知識(shí)點(diǎn)一弧長公式l在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長就是圓的周長C=2πR，所以n°的nnR圓心角所對(duì)的弧長的計(jì)算公式l×2πR=。知識(shí)點(diǎn)二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積S=πRnR2心角為n°的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：nR2nR111S扇形=RlR,slR222知識(shí)點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為，那么這個(gè)扇1s形的半徑為l2rl2ss底2錐的全面積為【中考回顧】r。1.(2017甘肅天水中考)如圖，AB是☉O的直徑，弦⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，則S陰影(B)843A.2πC.3382.(2017四川中考如圖，AB是☉O的直徑，且AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)，已知cos∠CDB=，BD=5，則OH的長度為(D)A.B.C.1D.3.(2017甘肅蘭州中考☉O中，則∠AOB=(B)D在☉O∠CDB=25°，A.45°B.50°C.55°D.60°4.(2017山東青島中考)如圖，AB是☉O的直徑，點(diǎn)C，D，E在☉O上，若∠AED=20°，則∠BCD的度數(shù)為(B)A.100°D.120°5.(2017湖北黃岡中考)如圖，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，則∠ADC的度數(shù)為(B)A.30°B.35°C.45°D.70°6.(2017福建中考)AB是☉OD是☉O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).下列四個(gè)角中，一定與∠ACD互余的角是(D)A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD7.(2017貴州黔東南州中考)如圖，☉O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠15°，半徑為2，則弦CD的長為(A)A.2B.1C.D.4【模擬預(yù)測(cè)】1.如圖，點(diǎn)A，B，C在☉O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，則∠BOC等于(B)A.60°B.70°C.120°D.140°解析：如圖，過點(diǎn)A作☉O的直徑，交☉O于點(diǎn)D.在△OAB中，∵OA=OB，∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=232°=64°.同理可得，∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°76°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故選D.2.如圖，AB是☉O的弦，半徑OA=2，∠AOB=120°，則弦AB的長是(B)A.22B.23C.5D.353.ABCD內(nèi)接于☉OF是交AD的延長線于點(diǎn)E，連接AC.CF并延長若∠ABC=105°，∠BAC=25°，則∠E的度數(shù)為(B)A.45°B.50°C.55°D.60°4.如圖，☉O是△ABC的外接圓，∠60°，☉O的半徑為4，則AC的長等于(A)A.43B.63C.23D.85.如圖，AB是☉OCD交AB于點(diǎn)EAE=CD=8∠BAC=∠BOD，則☉O的半徑為(B.).42B.5.4.3∵∠BAC=∠BOD，∴，∴AB⊥CD.∵AE=CD=8，∴DE=CD=4.設(shè)OD=rOE=AE-r=8在△中，OD=rDE=4，8∵，∴r4(8-r，解得r=5.6.若☉O的半徑為1，弦AB=，弦AC=，則∠BAC的度數(shù)為15°或75°.7.如圖，△ABC是☉O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，已知∠AOB=98°，∠COB=120°.則∠ABD的度數(shù)是8.如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在☉O的圓心上，兩條直角邊分別交☉O于A，BP在優(yōu)弧ABABPB.則∠APB為45°.101°.9.OP☉P與x軸交于，A兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，0)，☉P的半徑為2).，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，10.如圖，已知AB是☉O的直徑，AC是弦，過點(diǎn)O作⊥AC于點(diǎn)D，連接BC.(1)求證：OD=BC；(2)若∠BAC=40°，求的度數(shù).(1)證明：證法一∵AB是☉O的直徑，∴OA=OB.又⊥AC，∴∠ODA=∠BCA=90°.∴∥BC.∴AD=CD.∴OD=BC.證法二∵AB是☉O的直徑，∴∠C=90°，OA=AB.∵⊥AC，即∠ADO=90°，∴∠C=∠ADO.又∠∠A，∴△ADO∽△ACB.∴.∴OD=BC.(2)解：(解法一∵AB是☉O的直徑，∠A=40°，∴∠C=90°∴的度數(shù)為：2(90°+40°)=.解法二∵AB是☉O的直徑，∠40°，∴∠C=90°，∴∠50°.∴的度數(shù)為100°.∴的度數(shù)為260°.第25章隨機(jī)事件與概率25.1.1隨機(jī)事件知識(shí)點(diǎn)一必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件1.可能不會(huì)發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。2.性事件。知識(shí)點(diǎn)二事件發(fā)生的可能性的大小3.大有小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。25.1.2概率知識(shí)點(diǎn)概率4.機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P(A)。5.nmA包含其中的mA發(fā)生的概率P(A)=m和nm的含義可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P(A)≤1.n6.當(dāng)A為必然事件時(shí)，P(A)=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P(A)=0.25.2用列舉法求概率知識(shí)點(diǎn)一用列舉法求概率7.nm等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=。n知識(shí)點(diǎn)二用列表發(fā)求概率8.出所有可能的結(jié)果，通常用列表法。9.事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。知識(shí)點(diǎn)三用樹形圖求概率10.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)，列方形表就不方便了，為不重不漏現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)求概率的方法。(2)在用列表法和樹形圖法求隨機(jī)事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同。25.3用頻率估計(jì)概率知識(shí)點(diǎn)在隨機(jī)事件中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生與否事先無法預(yù)測(cè)，表面上看似無規(guī)律可大量試驗(yàn)后，可以用一個(gè)事件發(fā)生的頻率作為這個(gè)事件的概率的估計(jì)值。m12.A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某一個(gè)常數(shù)P，n那么