曲線與曲面積分練習(xí)題含答案

PAGEPAGE4第十一章曲線曲面積分練習(xí)題一、填空題1、設(shè)L是從點(diǎn)到點(diǎn)的一條光滑曲線，則2、設(shè)簡單閉曲線所圍成的面積為，則3、設(shè)，則曲面積分4、設(shè)曲線為，則5、設(shè)，則曲面積分6、設(shè)是球面的外側(cè)，則，7、設(shè)是曲面介于平面和之間部分的下側(cè)，則=（二）選擇題1、設(shè)是從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧段，則曲線積分之值等于[](A)(B)(C)(D)2、設(shè)是由沿上半圓，經(jīng)過到.則曲線積分[](A)(B)(C)(D)3、設(shè)，則曲線積分[](A)與L取向無關(guān)，與a，b大小有關(guān)(B)與L取向無關(guān)，與a，b大小無關(guān)(C)與L取向有關(guān)，與a，b大小有關(guān)(D)與L取向有關(guān)，與a，b大小無關(guān)4、設(shè)曲線L是區(qū)域的正向邊界，那么的面積為[](A)(B)(C)(D)5、設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則=[](A)(B)(C)(D)6、已知為某函數(shù)的全微分，則等于[](A)(B)(C)(D)7、設(shè)是部分錐面：，則曲=[](A)(B)(C)(D)（三）曲線積分的計(jì)算1、求，其中L是由所表示的曲線上相應(yīng)于的一段弧.2、求，其中L是以為頂點(diǎn)的三角形邊界.B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy圖10.24、求，其中如圖10.2所示5、適當(dāng)選取,使是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出。6、求,其中L為從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧7、試確定可導(dǎo)函數(shù),使積分與路徑無關(guān),且求為時(shí)的積分值.此處8、計(jì)算，其中為任意一條不通過原點(diǎn)的簡單光滑正向的封閉曲線.（四）.曲面積分的計(jì)算1、求，其中為錐面介于及之間的部分.2、求，為曲面被平面割下的部分3、求，為錐面及平面和所圍成的立體表面的外側(cè)4、計(jì)算,其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè).5、設(shè)是橢球面的外側(cè),求.（五）Green公式、Gauss公式與Stokes公式求，其中為取正向的圓周A(-1,1)O(0,0)B(2,0)C(2,1)xy求，其中A(-1,1)O(0,0)B(2,0)C(2,1)xy求，式中為由點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)，再沿直線到點(diǎn)的路徑(圖10.3)4、求，其中是球面外側(cè).5、求,為球面的外側(cè).6、求，其中是曲面的下側(cè).7、試求，其中為平面被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三角形的整個(gè)邊界，從軸正向看沿順時(shí)針方向.8、求，其中是圓周.若從軸正向看去，取逆時(shí)針方向.9、求.（一）1、2、3、04、5、6、7、（二）1、B2、A3、D4、C5、B6、D7、D（三）1、解（法一）,故原式=.（法二）容易看出積分弧段關(guān)于軸對稱，而被積函數(shù)是關(guān)于變量的奇函數(shù)，故2、解3、解由對稱性得，故4、解（法一）原式=（法二）因?yàn)?又,故原式=5、解因?yàn)榱?比較系數(shù)得6、解,故積分與路徑無關(guān),選取折線路徑原式=7、解令,則有,解一階線性非齊次微分方程得,代入得,,即.當(dāng)為時(shí),積分為8解設(shè)則，除去原點(diǎn)以外一切點(diǎn)上式都成立.①當(dāng)曲線的內(nèi)部不含原點(diǎn)時(shí).②當(dāng)曲線的內(nèi)部含原點(diǎn)時(shí),可在的內(nèi)部做一個(gè)充分小的橢圓，從到.利用復(fù)連通域上的格林公式，有（四）1、解曲面在坐標(biāo)平面上的投影為.,，故2、解設(shè)表示在第一卦限內(nèi)部分，則3、解設(shè)，其中，在面上的投影分別為4、解化為第一類曲面積分，因?yàn)榈恼ň€的方向余弦為原式5、解此題不能用Gauss公式，不滿足公式的條件.設(shè)是的上半橢球面的上側(cè)和下半橢球面的下側(cè)，在面的投影為，則同理得，所以（五）1、解令，則.由Green公式得2、解由Green公式得3、解補(bǔ)充點(diǎn)C(2,1)、直線段，則4、解由已知得，則由Gauss公式得原式=5、解記，利用Gauss公式，有原式=，由重