理論力學(xué)-課件第5章

第5章剛體的基本運動本章內(nèi)容

1剛體的平行移動

2剛體的定軸移動

3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度與加速度4輪系的傳動比

5角速度及角加速度的矢量表示第一節(jié)

剛體的平行移動在剛體運動過程，若其上任意直線始終保持平行于它的初始位置，這種運動稱為剛體的平行移動，簡稱剛體的平動。例如，圖5-1所示沿直線軌道行駛的車廂上任一直線始終平行于其初始位置。車廂的平動是沿直線軌道的，稱為直線平行。圖5-1又如圖5-2所示的擺動式送料糟，由于兩曲柄

和

長度相等，且

，在運動過程中直線

始終與其初始位置平行，又因為料糟上的各點沿曲線軌道運動，故稱為曲線平動。圖5-2定理當(dāng)剛體平動時，剛體內(nèi)各點的軌跡形狀都相同，且在同一瞬時各點都具有相同的速度和加速度。設(shè)有平動的剛體，在剛體上任取兩點

和

，并連成一直線如圖5-3所示。運動開始時

線在

的位置；經(jīng)過極短時間間隔

之后，移至

；依次再繼續(xù)移至

等。圖5-3首先證明這兩個任意點的軌跡形狀是完全相同的，根據(jù)剛體的定義得知

兩點間的距離保持不變。因此根據(jù)平動的定義知例由此可見，都是平行四邊形。結(jié)論:折線

與折線

完全相同。當(dāng)所分割的時間間隔的數(shù)目趨近于無限多，而

趨近于零時，折線就趨近于點的軌跡曲線。因此，剛體平行移動時，剛體上任意兩點的軌跡形狀相同?，F(xiàn)在證明兩個任意點在同一瞬時的速度和加速度都相同。設(shè)從空間的任一點

作至

點及

點的矢徑

與

，由圖5-3可知：圖5-3求上式各項對于時間的導(dǎo)數(shù)：因已知，，而且由于的大小及方向都不改變，因而，于是得將上式再求一次導(dǎo)數(shù)，則得例5-1如圖5-4所示的曲柄滑道機構(gòu)，當(dāng)曲柄

在平面上繞定軸

轉(zhuǎn)動時，通過滑槽連桿中的滑塊

的帶動，可使連桿在水平槽中沿直線往復(fù)滑動。若曲柄

的長為

，曲柄與

軸的夾角為

，其中

是常數(shù)，求此連桿在任一瞬時的速度及加速度。圖5-4解連桿做平動，因此連桿上任一點的運動可代表連桿的運動，為此可取滑槽中間的

來代表，點

是曲柄的銷釘

在

軸上的投影。于是點

的位置坐標(biāo)為這就是點

的運動方程，因此點

的速度及加速度為這也就是所求的連桿平動的速度及加速度。第二節(jié)

剛體的定軸移動當(dāng)剛體運動時，剛體內(nèi)某一直線上的所有各點始終保持不動，這種運動稱為剛體的定軸移動，簡稱轉(zhuǎn)動，這條不動的直線稱為轉(zhuǎn)軸或定軸。軸上各點的速度恒為零。當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)不在轉(zhuǎn)軸上的所有各點，在垂直于軸的平面內(nèi)，以此平面與軸的交點為圓心做圓周運動。例如，飛輪、帶輪、定滑輪、傳動齒輪和電動機轉(zhuǎn)子等的運動都是定軸轉(zhuǎn)動。例設(shè)Ⅰ是通過定軸的固定平面，Ⅱ是固連在剛體上與剛體一起轉(zhuǎn)動的平面，則任一瞬時剛體的位置可由動平面Ⅱ與平面Ⅰ所成夾角來確定，如圖5-5所示，并規(guī)定自

軸的正端看去，從定平面Ⅰ起按逆時針轉(zhuǎn)向計算，取正值，反之為負值。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角

是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即圖5-5（5-1）這就是剛體的定軸轉(zhuǎn)動方程。若轉(zhuǎn)動方程已知，則剛體在任一瞬時的位置即可確定。轉(zhuǎn)角的單位是rad。轉(zhuǎn)角

的變化稱為角位移，而轉(zhuǎn)角

對時間的變化率就是角速度。設(shè)在時間

內(nèi)的角位移是

，則剛體在時間

內(nèi)的平均角速度為當(dāng)趨近于零時，即得剛體轉(zhuǎn)動的瞬時角速度為（5-2）剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角速度等于轉(zhuǎn)角對于時間的一階導(dǎo)數(shù)。角速度的單位是rad/s，工程上還常用轉(zhuǎn)速

，這兩種單位的關(guān)系是若角速度是正值，則表明轉(zhuǎn)角

隨時間而增加；反之，若角速度是負值，則表明轉(zhuǎn)角隨時間而減小。角速度對于時間的變化率稱為角加速度。設(shè)角速度在時間

內(nèi)的變化為

，則在時間

內(nèi)的平均角加速度為當(dāng)趨近于零時，剛體轉(zhuǎn)動的瞬時角加速度為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度等于角速度對于時間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于轉(zhuǎn)角對于時間的二階導(dǎo)數(shù)。角加速度與角速度一樣都是代數(shù)量，它的單位是若

與

的符號相同，則角速度的絕對值隨時間而增加，這時稱為加速轉(zhuǎn)動；反之，若

與

的符號相反，則角速度的絕對值隨時間而減小，這時稱為減速轉(zhuǎn)動。剛體的轉(zhuǎn)角

、角速度

及角加速度

對應(yīng)于點的弧坐標(biāo)

、速度

及切向加速度

。所以，當(dāng)剛體的角加速度

恒為常量時，稱為勻速轉(zhuǎn)動，則有當(dāng)剛體的角速度恒為常量時，稱為勻速轉(zhuǎn)動，則有式中，和是初轉(zhuǎn)角和初角速度。例5-2如圖5-6所示為刨床中的急回機構(gòu)示意圖。套筒

套在搖桿

上，并與曲柄

用銷釘相連接。當(dāng)

轉(zhuǎn)動時，通過套筒

帶動

左右擺動。設(shè)

長為

，以勻角速度

轉(zhuǎn)動。寫出搖桿

的轉(zhuǎn)動方程并求角速度和角加速度。圖5-6解設(shè)

時，

，由于曲柄

以勻角速度

轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為

。由圖5-6可知：于是注意，由圖5-6可知表示曲柄

位置的

角是從

起始逆時針方向為正的；而表示搖桿

位置的

角是從

起始順時針方向為正。搖桿的角速度角加速度討論幾個特殊位置的運動情況如下。當(dāng)

時，

，

，可以得到

，

，

。說明起始瞬時，搖桿有角速度，但角加速度為零。當(dāng)搖桿到達右面極限位置時，

，，

，這說明向右搖動時搖桿是減速的。當(dāng)90°，即

與

相垂直時，此時

，

。兩量均為負號說明搖桿向左加速轉(zhuǎn)動，實現(xiàn)了急回機構(gòu)的功能。第三節(jié)

轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度與加速度圖5-7當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，距轉(zhuǎn)軸為

的任一點

做以軸上的

點為圓心、

為半徑的圓周運動，如圖5-7所示。若以

為計算起點，則當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動角

時，

點即由

點轉(zhuǎn)至

，由自然法可知

點的弧坐標(biāo)為這就是動點沿圓周的運動方程。動點速度的大小為轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點速度的大小等于該點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離與剛體角速度的乘積。速度的方向是沿圓周的切線方向，指向與轉(zhuǎn)動的方向（即角速度

）一致。因此

與

應(yīng)具有相同的正負號。根據(jù)上述結(jié)論，在該截面上的任一條通過軸心的直線上，各點的速度按線性規(guī)律分布，將速度矢的端點連成直線，此直線通過軸心。如圖5-8（a）所示。在該截面上，不在一條直線上的各點的速度分布如圖5-8（b）所示。（a）

（b）圖5-8動點

的切向加速度為即轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度的大小等于該點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離與剛體角加速度的乘積，它的方向由角加速度的轉(zhuǎn)向決定，當(dāng)是正值時，它沿圓周的切線，指向角的正向；否則相反。動點

的法向加速度為即轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的法向加速度的大小等于該點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離與剛體角速度平方的乘積。法向加速度的方向永遠指向軌跡的曲率中心，即指向圓心。如

與

的符號相同，則角速度的絕對值隨時間而增加，剛體做加速轉(zhuǎn)動，這時點的切向加速度

與速度

的指向相同；如

與

的符號相反，剛體做減速轉(zhuǎn)動，切向加速度

與速度

的指向相反。這兩種情況分別如圖5-9（a）、（b）所示。（a）

（b）圖5-9動點的全加速度的大小及其與主法線即與半徑的夾角

為根據(jù)上述結(jié)論，可作出截面上各點的加速度的分布圖，在通過軸心的直線上，各點的加速度按線性分布，將加速度矢的端點連成直線，此直線通過軸心，如圖5-10（b）所示。由上述可知，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的速度和加速度的大小都與該點至轉(zhuǎn)軸的距離成正比。但是全加速度與半徑所成的夾角與轉(zhuǎn)動半徑無關(guān)，也就是說，在同一瞬時，剛體內(nèi)所有各點的加速度與半徑都有相同的夾角，如圖5-10（a）所示。（a）

（b）圖5-10例5-3如圖5-11所示，一半徑

的圓輪繞定軸

的轉(zhuǎn)動方程為

，

單位為rad，

單位為s。求

時，輪緣上任一點

的速度和加速度。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸掛一物體

，求當(dāng)

時，物體

的速度和加速度。圖5-11解圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為當(dāng)

時，,因此，輪緣上任一點

的速度和加速度為M點的全加速度及其夾角為因為

與

的正負號相反，于是

與

的指向也相反，可見剛體在

時是做勻減速運動，故知全加速度指向與轉(zhuǎn)動相反的一邊。現(xiàn)在求物體

的速度和加速度。因為繩子不可伸長，故知物體

落下的距離應(yīng)與輪緣上任一點

在同一時間內(nèi)所走的弧長

完全相等，即求上式兩邊的一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得物體的速度和加速度的大小與

點的速度和切向加速度的大小相等，因此,例5-4可繞固定水平軸轉(zhuǎn)動的擺，其轉(zhuǎn)動方程為

，式中，

是擺的周期，如圖5-12所示。設(shè)由擺的重心

至轉(zhuǎn)軸

的距離為

，求在初瞬時（

）及經(jīng)過平衡位置時（

）擺的重心的速度和加速度。圖5-12解由轉(zhuǎn)動方程可求出擺的角速度和角加速度為在初瞬時（）擺的角速度和角加速度為,因此，擺的重心C的速度和加速度為經(jīng)過平衡位置的瞬時，

，由轉(zhuǎn)動方程得知

，因此

；擺的角速度和角加速度為,因此，擺的重心C的速度和加速度為例5-5汽輪機葉輪由靜止開始做勻加速度轉(zhuǎn)動。如圖5-13所示，輪上

點距軸心

為

，在某瞬時的全加速度

，與轉(zhuǎn)動半徑的夾角

。若

時，角

，求葉輪的轉(zhuǎn)動方程及

時

點的速度和法向加速度。圖5-13解將

點在某瞬時的全加速度

沿其軌跡的切向及法向分解，則切向加速度及角加速度為由于是勻加速度轉(zhuǎn)動，故

為常量，且

與

的轉(zhuǎn)向相同。已知

時，，，由式（5-5）得葉輪的轉(zhuǎn)動方程為當(dāng)

時，葉輪的角速度為因此

點的速度及法向加速度為第四節(jié)

輪系的傳動比圖5-14所示的帶傳動輪系中，設(shè)主動輪和從動輪的半徑分別為

和

，轉(zhuǎn)動的角速度分別為

和

，不考慮帶厚并假定輪與帶間無相對滑動。由于帶上的各點速度大小相等且在輪與帶的接觸點處兩者應(yīng)具有相等的速度，可以得到圖5-14即兩輪的角速度與其半徑成反比，轉(zhuǎn)動方向相同。工程中，主動輪與從動輪角速度的比稱為傳動比，用表示，則有如圖5-15所示分別為外嚙合和內(nèi)嚙合兩類齒輪系傳動的實例。設(shè)兩個齒輪各繞

軸和

軸移動，角速度各為

和

，兩輪齒數(shù)分別為

和

，其嚙合圓半徑各為

和

。用

表兩輪的嚙合點，由于該點既在主動輪

上又在從動輪

上，應(yīng)有

，即圖5-15由于齒輪的半徑與其齒數(shù)成正比，則傳動比例5-6如圖5-16所示為一減速箱，軸Ⅰ為主動軸，與電機相聯(lián)。已知電機轉(zhuǎn)速

，各齒輪的齒數(shù)

，

，，

求減速箱的總傳動比

及軸Ⅱ的轉(zhuǎn)速。圖5-16解各齒輪做定軸轉(zhuǎn)動，為定軸輪系的傳動問題。軸Ⅰ與軸Ⅱ的傳動比軸Ⅱ與軸Ⅲ的傳動比從軸Ⅰ至軸Ⅲ的總傳動比代入已知數(shù)據(jù)，得總傳動比及軸Ⅲ的轉(zhuǎn)速為例5-7如圖5-17所示為一帶式輪送機。已知由電動機帶動的主動輪Ⅰ的轉(zhuǎn)速

，其齒數(shù)

；齒輪Ⅲ和Ⅳ用鏈條傳動，齒數(shù)各為

，

，輪Ⅴ的直徑，如希望輸送帶的速度約為

，求輪Ⅱ應(yīng)有的齒數(shù)

。圖5-17解由于直接嚙合的或用鏈條傳動的一對齒輪，轉(zhuǎn)動的角速度與其齒數(shù)成反比，即,因此得或因為傳輸帶的速度等于輪Ⅴ輪緣上點的速度，而輪Ⅴ的轉(zhuǎn)速等于輪Ⅳ的轉(zhuǎn)速，于是有或?qū)?/p>

代入前式中，得但齒輪的齒數(shù)必須為整數(shù)，因此可選取

，這時輸送帶的速度將為

，滿足每秒約2.4m的要求。第五節(jié)

角速度及角加速度的矢量表示為了指明轉(zhuǎn)軸在空間的方位，規(guī)定角速度矢量

和角加速度矢量

均沿轉(zhuǎn)動軸線，它們的模分別表示該瞬時剛體角速度和角加速度的大小，用

表示沿軸線

的正方向的單位矢量，則當(dāng)

，

時，

及

均沿z