北師大八年級數(shù)學(xué)下冊教案第四章

目錄

第4章因式分解

公式法

提公因式法

因式分解思考與回顧

第四章-小結(jié)與復(fù)習(xí)

第四章因式分解

1.因式分解

教學(xué)目標是：

1.使學(xué)生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念.

2.認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系一一互逆關(guān)系（即相反變形）并能運用這

種關(guān)系尋求因式分解的方法.

3.通過解決實際問題，學(xué)會將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解決問題，體

驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應(yīng)用意識。

4.通過對分解因式與整式的乘法的觀察與比較，學(xué)習(xí)代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化與化歸的能

力，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力與綜合應(yīng)用能力.

情感與態(tài)度：

培養(yǎng)學(xué)生接受矛盾的對立統(tǒng)一觀點，獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學(xué)

態(tài)度。

重點：因式分解的概念

難點：難點是理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，并運用它們之間「的相互關(guān)系尋求因

式分解的方法

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧，比較探究（數(shù)一形一式）概念，引出概念

（確認概念屬性），類比笏習(xí)，反饋練習(xí)，小結(jié)

第一環(huán)節(jié)復(fù)習(xí)回顧：

活動內(nèi)容：下題簡便運算怎樣進行

問題1：736X95+736X52,-2.67X132+25X2.67+7X2.67

設(shè)計意圖：

觀察實例，分析共同屬性：解決問題的關(guān)鍵是把一個數(shù)式化成了幾個數(shù)的積，的形式，

此時學(xué)生對因式分解還相當陌生的，但學(xué)生對用簡便方法進行計算應(yīng)該相當熟悉.引入

這一步的目的旨在設(shè)計問題情景，復(fù)習(xí)知識點與計算，引入新課，讓學(xué)生通過回顧用簡

便方法計算一一因數(shù)分解這一特殊算法，通過類比很自然地過渡到正確理解因式分解的

概念上，從而為因式分解的掌握和理解打一個臺階。

第二環(huán)節(jié)比較探完：

活動內(nèi)容：問題3：(1)94-99能被99整除嗎？為了回答這個問題，你該怎樣做？把你

的想法與同學(xué)交流。

99-99=99X99:-99=99(99:-1)

.,.993-99能:被99整除

(2)9牙-99能被100整除嗎？為了回答這個問題，你該怎樣做？把你的想法與同

學(xué)交流。

小明是這樣做的：99:-99=99X99—99X1=99(99:-1)

=99(99+1)(99-1)

=99X98X100

所以99,-99能被100整除

活動目的：

以一連串的知識性問題引入，在學(xué)生己有的認識基礎(chǔ)上，先讓學(xué)生解決一些具體的數(shù)

的運算問題，通過簡便運算把一個式子化成幾個數(shù)乘積的形式，并且問題的設(shè)置由淺入

深，逐步讓學(xué)生體會分解因數(shù)的過程和意義。這一環(huán)節(jié)的設(shè)置對學(xué)生理解下面因式分解

的概念起到了很大幫助，體現(xiàn)了知識螺旋上升的思想。

想一想：(1)在回答99,-99能否被100整除時，小明是怎么做的？

(2)請你說明小明每一步的依據(jù)。

(3)99：'-99還能被哪些正整數(shù)整除？為了回答這個問題，你該怎做？

與同學(xué)交流。

(老師點撥：回答這個問題的關(guān)鍵是把99^99化成了怎樣的形式？)

小結(jié)：以上三個問題解決問題的關(guān)鍵是把一個數(shù)式化成了幾個數(shù)的積的形式。

可以了解：99~99可以被98、99、100三個連續(xù)整數(shù)整除.

將99換成其他任意一個大于1的整數(shù),上述結(jié)論仍然成立嗎？

①你能理解嗎?你能與同伴交流每一步怎么變形的嗎？

②這樣變形是為了達到什么樣的目的？

活動目的：從知識性的問題過度到思考性的問題，巧妙設(shè)問：“將99換成其他任意一

個大于1的整數(shù)，上述結(jié)論仍然成立嗎？”引發(fā)學(xué)生聯(lián)想到用字母表示數(shù)的方法，得出

〃-a=3-l)xax(a+l),這個過程對學(xué)生來說是思維上的一次飛躍，是從對具體、個

別事物的認識上升到對一般事物規(guī)律性、結(jié)構(gòu)性的認識.，是對學(xué)生思維能力水平的一次

提高，同時很自然的從分解因數(shù)過度到分解因式，初步樹立起學(xué)生對因式分解概念的直

觀認識。

議一議：

觀察下面拼圖過程.寫出相應(yīng)的關(guān)系式.

經(jīng)歷從分解因數(shù)到分解因式的類比過程。探究概念本質(zhì)屬性。

第三環(huán)節(jié)：引出概念：

把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做把這個多項式分解因式。

第四環(huán)節(jié)：類比練習(xí)

活動內(nèi)容：

計算下列式子：

(1)3x(x-1)=；

(2)m(a+b-l)=；

(3)(m+4)(m-4)=；

(4)(y-3)2=；

根據(jù)上面的算式填空：

(1)3X2-3X=；

(2)ma+mb-m=;

2

(3)m-16r=；

(4)y2-6y+9=.

思考：因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？舉例說明

活動目的：通過兩組互逆關(guān)系的練習(xí)，類比兩種不同的逆運算，進一步讓學(xué)生體會什么

是分解因式，這個時候，分解因式的概念己基本在學(xué)生頭腦中確立。由整式乘法的逆運

算逐步過渡到因式分解，.發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力.

第五環(huán)節(jié)反饋練習(xí)

活動內(nèi)容：

1、看誰連得準

xt-y2.(x+3)2

9-25x:y(x-y)

X2+6X+9(3-5x)(3-F5x)

xy-y:(x+y)(x-y)

2、下列哪些變形是因式分解，為什么？

(1)(a+3)(a-3)=a*-9

(2)m:-4=(m±2)(m-2)

(3)a*-b*+l-(a+b)(a-b)+l

(4)2支R+2打尸2式(R+r)

活動目的：通過學(xué)生獨立思考和討論探究，從具體實例中進一步理解概念，抽象出新概

念的本質(zhì)屬性加深對新概念的掌握。

第六環(huán)節(jié)：小結(jié)

活動內(nèi)容：(1)你能說說什么是分解困式嗎？

把一個多項式化成.幾個整式的積的形式叫做把這個多項式分解因式。

(2)應(yīng)該怎樣認識“因式分解”？

分解因式與整式乘法是互逆過程.

分解因式要注意以下幾點：

1.分解的對象必須是多項式.

2.分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積的形式.

3.要分解到不能分解為止.

活動目的：回顧、總結(jié)、提高知識的系統(tǒng)性。

鞏固練習(xí)：課本第94頁習(xí)題2.1第3,4,5題

四、教學(xué)反思

關(guān)于如何上好數(shù)學(xué)概念課一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中熱點討論的話題，也是難題，而真正有

效的數(shù)學(xué)概念課教學(xué).是要讓學(xué)生從根本上理解概念的意義，并學(xué)會靈活運用。

本節(jié)課以學(xué)生的思維進程發(fā)展為主線，采用逐步滲透，螺旋式類比,方法，在概念引

入時，從分解因數(shù)到分解因式的類比，到概念強化階段，又以整式乘法與分解因式的過

程類比，因式分解過程中正反兩例的類比，逐漸加深學(xué)生的認識，主要體現(xiàn)在從一開始

一連串的知識性問題引入，到后來環(huán)節(jié)中多次提出思考性的問題，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生做進

一步的猜想、探究，這種循序漸進的思維進程有助于學(xué)生理解接受新知識。

3公式法

-J教學(xué)目標

「知識寫技能」

經(jīng)歷平方差公式,完全平方公式逆向運算的推導(dǎo)過程，使學(xué)生理解用公式法因式分解的意義，掌握

每個公式的特點，使學(xué)生熟練地運用公式法將多項式進行因式分解.

熟練掌握各個乘法公式的模式.觀察多項式的項數(shù)，是二項的，有可能可用平方差公式;是三項的,

則有可能可用完全平方公式，并且要正確確定公式中的項.

ho糠與僑

培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，這種能力實質(zhì)上是一種特殊技巧，需要通過學(xué)生自己的實踐來獲得.

教學(xué)重難點

【重點】掌握因式分解的三個公式的特點，牢固地記住這些公式.

【難點】根據(jù)要分解的多項式的形式和特點，熟練地運用公式進行因式分解.

第田課時

■整體設(shè)計

-I教學(xué)目標

「知識寫技能」

1.理解平方差公式的本質(zhì):結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性.

2,會用平方差公式進行因式分解.

3.使學(xué)生了解提公因式法是因式分解首先考慮的方法，再考慮用公式法分解.

經(jīng)歷探索利用平方差公式進行因式分解的過程,發(fā)展學(xué)生的逆向思維，滲透數(shù)學(xué)的互逆、換元、整

體的思想，感受數(shù)學(xué)知識的完整性.

ho級用

在探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣，在交流的過程中學(xué)會向別人清晰地表達自己的思維

和想法，在解決問題的過程中讓學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)的價值.

教學(xué)重難點

【重點】掌握運用平方差公式分解因式的方法.

【難點】用平方差公式分解因式;培養(yǎng)學(xué)生多步驟分解因式的能力.

教學(xué)準備

【教師準備】多媒體課件.

【學(xué)生準備】復(fù)習(xí)有關(guān)提公因式法分解因式的知識.

區(qū)1教學(xué)過程

團1新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

【問題】填空.

(1)(A+5)(X-5)=；

(2)(3x+y)(3x-y尸；

(3)(3m+2n)(3m-2n)=.

它們的結(jié)果有什么共同特征？

嘗試將它們的結(jié)果分別寫成兩個因式的乘積：

⑴?25=；

(2)9?-y2=；

⑶9毋_4〃2=________

［設(shè)計意圖］學(xué)生通過觀察、對比把整式乘法中的平方差公式進行逆向應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的觀察能

力與逆向思維能力.

導(dǎo)入二：

在前兩節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了因式分解的定義，即把一個多項式分解成幾個整式的積的形式,還學(xué)習(xí)

了提公因式法分解因式，即如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從

而將多項式化成幾個因式乘積的形式.

如果一個多項式的各項不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢？當然不是,只要我們記住

因式分解是整式乘法的逆過程，就能利用這種關(guān)系找到新的因式分解的方法，本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)另

外一種因式分解的方法一一公式法.

［設(shè)計意圖］復(fù)習(xí)之前學(xué)過的知識后才是出疑問，直接引入新課,開門見LJ,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2新知構(gòu)建

一、用平方差公式分解因式

請看乘法公式：

(a+b)(a-h)=cT-b2.(1)

左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是：

a2-b2=(a+b)(a-b).(2)

左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.大家判斷一下，第二個式子從左邊到右邊是否為因式分

解？

符合因式分解的定義，因此是因式分解.

等式(1)是整式乘法中的平方差公式，等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.

是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.

如果一個二項式，它能夠化成兩個整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式，將多

項式分解成兩個整式的和與差的積?如：

X2-16=X2-42=(X+4)(X-4);

9/-4〃2=（3刈2-（2力2=（3機+2〃）?（3加-2”）.

［設(shè)計意圖］讓學(xué)生通過自己的歸納找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相關(guān)結(jié)論進行

1列練習(xí).

二、例題講解

［過渡語］同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了用平方差公式分解因式，下面我們通過幾個例題來鞏固所學(xué)的

知識.

(教材例1)把下列各式因式分解：

1

(1)25-16?;⑵9/?務(wù)2

解:⑴25-16X2=52-(4X)2=(5+4X)(5-4X).

(2)9。2-4。2=(3。)2-(2)=(3。+2。)?(3。-2。).

(教材例2)把下列各式因式分解：

(l)9(m+n)2-(m-n)2;

⑵2??8x

解:⑴9(加+力2?(加研

=［3(m+n)+(m-n)］\3(m+n)-(m-n)］

=(3m+3n+fn-n)(3m+3n-m+n)

=(4m+2n)(2m+4n)

=4(2m+n)(m+2n).

(2)2￥3-8.V=Z^(X2-4)=2A(X+2)(X-2).

說明:教材例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式;教材

例2的(1)是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式,教材例2的⑵是先

提取公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分

解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.

［設(shè)計意圖］教師講解例題，明確思維方法，給出書寫范例.

區(qū)課堂小結(jié)

平方差公式:a2-l7=(a+b)(a-b).

我們已學(xué)習(xí)過的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多項式各項含有公因式，那

么第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，若符合則繼續(xù)進行.

分解因式以后，若所含的多項式還可以繼續(xù)分解，則需要進一步分解因式，直到每個多項式都不能

分解為止.

除檢測反饋

1.下列因式分解正確的是()

Aj：2+/=(x+y)(x-j,)

B

C，+y2=(x+))2

Dj?y=(x-yf

解析，+『不能在有理數(shù)范圍內(nèi)醫(yī)式分解儲-y2=(x+.y)a-y).故選B.

2.分解因式:『4斫.

解析:/析a=a(『?4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).

3.(恩施中考)因式分解:9力令力3=

解析源式二爾9幺?)，2)=切(3%+),)(3冷).故填力(3x+y)(3x?y).

4.已知』?)?=69,工+7=3,貝ijx-y=.

解析:因為*-『=69,所以(x+y)(x-)，)=69,因為x+.y=3,所以3(“)=69,所以工-產(chǎn)23.故填23.

5.分解因式：(3〃-2歷2_(2.+3b)2.

解：(3a-2b)2-(加+36)

=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]

=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)

=(5a+b)(a-5b).

15板書設(shè)計

第1課時

一、用平方差公式分解因式

二、例題講解

01布置作業(yè)

-教材作業(yè)

【必做題】

教材第100頁隨堂練習(xí)的1,2題.

【選做題】

教材第100頁習(xí)題4.4的1,2題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.4?+/B.-/+81

C.-25詭〃2D.p2_2p+1

2.一個多項式分解因式的結(jié)果是。3+2）（2-/）,那么這個多項式是（）

A.b2-4B.4/6

CN+4D.4-Z?9

3.（孝感中考）分解因式：（〃-/產(chǎn)4心.

4.（鄂州中考）分解因式Z加4出k.

【能力提升】

5.在括號內(nèi)填上適當?shù)囊蚴?

(2：H6?2-I=(________)(________)?

【拓展探究】

6.把下列各式分解因式：

(1)4?-25/；(2)x>-y；

(3)4?-(y-z)2；(4)(X+2)2-9.

【答案與解析】

LB

2.B(解析:這個多項式是22?(/)2=4/6故選B.)

3.(a+b)(a-3b)(解析：原式二(a-H2力)(々--2方)=(a+b)(a?3b).故填(a+b)(a?3b).)

4.“〃(a+2)(a-2)(解析源式=出>(。2>4)=〃〃(4+2)(4-2).故填ah(a+2)(a-2).)

5.(l)2+x2-x(2)4。+14a-1

6.解:⑴4/-25)?=(2r+5)，)(22j).(2)O-)=>(X2-1)=>(X+1)(X-1).

(3)4/心-zy=(2x)2_&_z)2=(2x+y_z)(2x-y+z).(4)(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1).

0教學(xué)反思

Qj成功之處

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計借助學(xué)生已有的整式乘法運算的基礎(chǔ)，給學(xué)生留有充分探索與交流的口寸間和

空間，讓他們經(jīng)歷從整式乘法到因式分解的轉(zhuǎn)換過程，并能用符號合理地表示出分解因式的關(guān)系式，同

時感受到這種互逆變形的過程和數(shù)學(xué)知識的整體性.

Q]不足之處

課堂中的布局有待提高，以后應(yīng)最大限度地發(fā)揮學(xué)生的主體作用.部分例題可以交給學(xué)生獨立完

成，不能完全由老師來操辦.

⑥再教設(shè)計

有意識地培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問題的習(xí)慣，不僅對提高解題能力有益，更重要的是可以改善學(xué)生學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式,有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，提高

學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣及思維能力和整體素質(zhì).

舊教材習(xí)題解答

隨堂練習(xí)(教材第100頁)

1.(1)X(2)7⑶X⑷X

2.解:⑴原式=(ab+m)(ab-ni).(2)原式=[(ni-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]=(m-a^n+b)(fn-a-n-b).(3)原式

=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]=(x+a+h-c)(x-a-b+c).(4)原式

=816x4=(9y2)2-(4x2)2=(9y2+4x2)(9y24x2)=(9y2+4?)(3)>+2x)?(3y-2x).

3.解:剪去前正方形的面積為fcn?,剪掉的4個小正方形的面積和為4/cm2,所以剩余部分的面積為

/4/=(4+26)(4-2與(co?).當於3.6力=0.8時，剩余部分的面積為(3.6+2x0.8)(3.6-2x0.8)=10.4(cm2).

習(xí)題4.4(教材第100頁)

1.解:⑴原式=(〃+9)(4-9).(2)原式=(6+??(6?x).(3)原式=(1+45)(1-46).(4)原式=(〃?+3〃)(〃卜3〃).(5)

原式二(0.5q+llp)?(0.5q-llp).⑹原式=(13x+2y)(13x-2y).⑺原式=(3ap+bg)(3ap-Z?g).⑻原式

J/哪”)

2.解：(1)(in+n)1-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m?(m+2n).

[2}49(a-b)2-\6(a+b)2=\7(a-b)f-[4(a+b)f=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(la-lb+4a+4b)(la-7b-4a-4b)=(\

1a-3h)(3a-\\h).(3)(2x+y)2<x+2>02=[(2x+}0+(x+2^][(2x+y)-(x+2>>)]=(3x+330(x-y)=3(x+y)(x-j).

⑷”+療-的，2=,+)2+孫)“+丫2內(nèi))(5)3av2-3t7y4=3a(A/)=3a(x+v2)?(x-y2).

(6)p4-l=(p2+l)(p2-l)=(p2+l)(p+l)(p-l).

3.解：S環(huán)彩=7c/?2-7cr2=7c(/?2-P2)=7t(/?+r)(/?-r).當R=8.45,/=3.45,兀取3.14時，S環(huán)形比

3.14x(8.45+3.45)x(8.45-3.45)=3.14x11.9x5=186.83(cm2).答:它們所圍成的環(huán)形的面積為186.83cm2.

一備課資源

。教學(xué)建議

學(xué)生在上幾節(jié)課的基礎(chǔ)上，已經(jīng)基本了解了整式乘法運算與因式分解之間的互逆關(guān)系，在七年級

的整式乘法運算的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式,這為今天的學(xué)習(xí)提供了必要的基礎(chǔ).學(xué)生

對類比思想,數(shù)學(xué)對象之間的對比、觀察等活動形式有了一定的認識與基礎(chǔ)，本節(jié)課采用的活動方法是

學(xué)生較為熟悉的觀察、對比、討論等方法，學(xué)生有較好的活動經(jīng)驗.

?經(jīng)典例題

咽是否存在一個滿足下列條件的正整數(shù)，當它加上98時是一個完全平方數(shù)，當它加上121時

是另一個完全平方數(shù)？若存在，請求出該數(shù);若不存在,請說明理由.

解:假設(shè)存在這樣的正整數(shù)犯

（m+98=，，①

則由題意得宙+121=/,②

②-①得y2-?=23.

所以G+x）6r）=23.

（y+x=23,（y+x=l,

則有四種情況：ly-*=i；b-"23；

（y+x=-23（y+x=-1,

[y-x=-1；（y-x=-23.

僅=12,[y=12,0=-12"-12,

解得卜=ii；b=-n\x=-ii；[x=li.

所以加=/-98=121-98=23.

第0課時

■整體設(shè)計

）教學(xué)目標

「知識寫技能」

1.使學(xué)生了解運用公式法分解因式的意義.

2.會用公式法（直接用公式不超過兩次）分解因式（字母指數(shù)是正整數(shù)）.

3.使學(xué)生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考慮的方法,然后再考慮用平方差公式或完全平

方公式進行因式分解.

過程與方法

經(jīng)歷通過整式乘法的完全平方公式逆向得出運用完全平方公式分解因式的方法的過程,發(fā)展學(xué)

生的逆向思維和推理能力.

尸情夠度＜價面的

1.通過與因數(shù)分解的類比,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中數(shù)與式的共同點，體驗數(shù)學(xué)的類比思想.

2.通過對公因式是多項式時的因式分解的教學(xué)，培養(yǎng)“換元”的意識.

教學(xué)重難點

【重點】掌握多步驟、多方法分解因式的過程.

【難點】學(xué)會觀察多項式的特點，恰當?shù)匕才挪襟E，恰當?shù)剡x用不同方法分解因式.

教學(xué)準備

【教師準備】多媒體課件.

【學(xué)生準備】復(fù)習(xí)有關(guān)完全平方公式的知識.

一教學(xué)過程

如新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一:

因式分解是整式乘法的逆過程，逆用乘法公式,我們找到了因式分解的兩種方法:提公因式法、運

用平方差公式法.還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？

在前面我們不僅學(xué)習(xí)了平方差公式：（。+6）（〃-。）=/42,而且還學(xué)習(xí)了完全平方公

式：（於與2=/±2時+力2.本節(jié)課,我們就要學(xué)習(xí)用完全平方公式分解因式.

由因式分解和整式乘法的關(guān)系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

將完全平方公式倒寫：

a2+2ab+b2=（a+b）2-,

^-lab+t^^a-b）2.

由此便得到用完全平方公式分解因式的公式.

［設(shè)計意圖］回顧完全平方公式，直入主題,將完全平方公式倒置得到新的分解因式的方法.

導(dǎo)入二：

1.什么叫把一個多項式因式分解？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法？

解:把一個多項式化成幾個整式的積的形式,叫做把這個多項式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的

方法有提公因式法及運用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

⑴”支"2;(2)1

解:⑴加1)

=a?(x+l)(x-l).

(2)16"/-〃4=(4/)2_(〃2)2

=(4旭2+〃2)(4病-〃2)

=(4w2+n2)(2m+w)(2m-n).

3.我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式？

解:有完全平方公式：(〃+6)2=『+2"+/；&歷2=/24力+/

這節(jié)課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.

［設(shè)計意圖］通過復(fù)習(xí)以前學(xué)過的知識自然地導(dǎo)入用完全平方公式分解因式.

圖新知制》

一、用完全平方公式分解因式

［過渡語］同學(xué)們，下面我們分析用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點.

和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到：

a2+2ab+b2=(a+b)2',

a2-2ab+b2=(a-b)2.

從上面的式子來看，兩個等式的左邊都是三項，其中兩項符號為是一個整式的平方，還有一項

符號可“+”可，它是那兩個整式乘積的2倍.凡具備這些特點的三項式，就是一個二項式的完全

平方，將它寫成平方形式，便實現(xiàn)了因式分解.

上面式子左邊的特點：(1)多項式是三項式;(2)其中有兩項同號,且這兩項能寫成數(shù)或式的平方的形

式;(3)另一項是這兩數(shù)或兩式乘積的2倍.

上面式子右邊的特點:這兩數(shù)或兩式和(或差)的平方.

用語言敘述為:兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平

形如cr+2ab+b2或cr-lah+b1的式子稱為完全平方式.

由因式分解與整式乘法的關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式

因式分解,這種因式分解的方法叫做公式法.

［設(shè)計意圖］加深學(xué)生對完全平方式特征的理解，為后面的因式分解做鋪墊.

二、例題講解

［過渡語］我們剛學(xué)習(xí)完用平方差公式分解因式，而用完全平方公式分解因式與前面學(xué)習(xí)的方法

有相似之處我們一起來體驗一下吧.

(教材例3)把下列完全平方式因式分解：

(l)?+14x+49；

(2)(加+〃)2-6(〃?+〃)+9.

(解析)首先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據(jù)公式分解因式.公式中的

a.b可以是單項式，也可以是多項式.

解:⑴f+14x+49

=r+2x7x+72

3產(chǎn).

(2)(m+n)2-6(m+n)+9

=(/n+/2)2-2x(/n+/i)x3+32

=［(/n+/2)-3］2

=(m+n-3)2.

(教材例4)把下列各式因式分解：

⑴3-+6叼+3。)?；(2)-』-4聲4邛

(解析)對一個三項式，首先要仔細觀察它是否有公因式，若有公因式，則應(yīng)先提取公因式，再考

慮用完全平方公式分解因式.如果三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號不是"+”號時,可以先

提取"/號,然后再用完全平方公式分解因式.

1)3ax2+6axy+3ay2

=3a(^?+2x)^y2)

=3a(x+yf.

⑵-fw)2+4孫

=-(x2-4.r}H-4y2)

=-[X2-2?x?2y+(2)，)2]

=-(x-2y)2.

[設(shè)計意圖]培養(yǎng)學(xué)生對完全平方公式的應(yīng)用能力，讓學(xué)生理解在完全平方公式中的。與〃不僅

可以表示單項式,也可以表示多項式.

良課堂小結(jié)

運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是：

(1)首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個完全平方式,如果這個多項式是一個完全

平方式，那么再運用完全平方公式把它進行因式分解.有時需要先把多項式進行適當變形，得到一個完

全平方式，然后再把它因式分解.

(2)在選用完全平方公式分解因式時,關(guān)鍵是看多項式中的第二項的符號，若是正號，則用公式

(^^-lab+b^a+b)2；若是負號，則用公式t^-lab+b^a-b)2.

4檢測反饋

1.下列各式是完全平方式的是()

A.l6x--4x>M-y_B.m~+mn+n

1

C.9J-24"+16戶D.r+2cW+V

答案:C

2.把多項式3丁-6力+3城因式分解結(jié)果正確的是()

AX3x+y)(x-3.y)B.3x(r-2x)^+/)

Cj(3x-y/D.3x(x-y)2

解析:多項式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可.故選D.

3.下列多項式:①F+x)，-y2;②-/+加-)，2;③與葉/+)，2;④l-x+彳.其中能用完全平方公式分解因式的是

()

A.①②B.0?C.①④D.??

答案:D

4.若a+b=3,則2/+4時+2后的值為.

解析:,??a+b=3,J2J+4aH2/=2(a+b)2=2x32=18.故填18.

5.(溫州中考)分解因式:編2〃+1=.

解析：J-2a+1=1_2?a?l+12=(a-])2.故填(a/)?

6.分解因式：

(l)a2+8a+16；(2)l-4r+4/2.

解:⑴("4尸.

⑵(12)2.

01

第2課時

一、用完全平方公式分解因式

二、例題講解

叵布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第102頁隨堂練習(xí)的1,2題.

【選做題】

教材第103頁習(xí)題4.5的1,2題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.把下列各式因式分解：

(1i25"P-80〃?+64;⑵4a2+364+81;

⑶4戶20網(wǎng)+25/；(4)16-8x)，+/y2.

【‘能力提升】

2.把下列各式因式分解：

(\'\cTtr-4ab^4\

(2：la4-8a2Z?2+16Z?4.

【拓展探究】

3.把下列各式因式分解：

(l)m2n-2wn+l;

⑵7"用?14不+7。叫

【答案與解析】

1.解:(1)25Z?2-80W+64=(5W-8)2.(2)4a2+36a+81=(2a+9)2.(3)4p2-20p^+25^2=(2p-5^)2.

(4)16-8xy+A?/=(4-Ay)2.

2.J?：(1)O2/>2-4ab+4=(ab-2)2.(2)a4-Sa2b2+1()b4=(a2-4b1)2=[(a+2b)(a-2b)]i=(a+2b)2(a-2b)2.

3.解:⑴病”?2/+l=(*⑴2.⑵7產(chǎn)」4/+7//=747324+1)=7〃〃“11)2.

區(qū)）教學(xué)反思

Q）成功之處

本節(jié)課的設(shè)計盡量做到了平實無華，將新知教學(xué)層層深入，并進行了適當?shù)撵柟叹毩?xí)，每一個環(huán)節(jié)

都讓學(xué)生不感覺吃力，同時在例題講解過程中注意了題型的變化，引導(dǎo)學(xué)生暴露出學(xué)習(xí)中的問題，這樣

易于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生的思維不斷被拓展，從而達到強化所學(xué)知識和提高能力的目的.

不足之處

運算類型的課往往比較枯燥，學(xué)生容易產(chǎn)生浮躁的心理，不利于知識的掌握與運算能力的提高.

再教設(shè)計

在教學(xué)過程中，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生再熟悉乘法公式的來歷以及乘法公式的結(jié)構(gòu),多注意培養(yǎng)學(xué)

生認真觀察的良好習(xí)慣.

E教材習(xí)題解答

隨堂練習(xí)(教材第102頁)

11/m+3n)2

1.解:⑴⑶是完全平方式.⑴包I2/，⑶4/+3加〃+9〃2=12).

2貴示:⑴(『6寸.(2)(4廿+3/產(chǎn).(3)-(x+y)2.(4)(2?3x+3yf.

習(xí)題4.5(教材第103頁)

R中1仔

1.強示:⑴(盯-1)2.⑵(32)2.⑶[2)或4(2尹1產(chǎn)(4)(5機-8-.⑸9.⑹("-2了.

2.解：(1)(x+y)2+6(.r+y)+9=[(x+y)+3]2=(x+y+3)2.⑵a2-2aS+c)+(8+c)2=[a-(力+c)f=(a-b-c')2.

(3)4x>,2-4x2j-y3=>,(4;9?-4x2-y2)=-y,(4x2-4x>H-y2)=-y(2r-j)2.

(4]-a+2a2-a3=-(a-2a2+a3)=-a(1-2a^)=-a(1-a)2.

1

3廨:答案不唯「如2.r,-2rA4.

4.解：能.設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)為2〃-1和2〃+1(〃是整數(shù))，則

伽+1片(2〃-1尸=(2〃+1-2〃+1)?(2〃+l+2i!-l)=2x4〃=8〃.因為n是整數(shù)，所以兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8

整除.

復(fù)習(xí)題(教材第104頁)

1.提示：(l)7(x+3)(x-3).(2)a(a+1)(a-1).(3)3(a+b)(a-b).⑷-(3x+4y)(3x+2y).(5)(x-y)(a+Hc).

(6)(m+n)(x-y+1).(7)(5x-3y)(5y-3?.(8)(a-W(a+b).(9)4心+z).(10)(x+y7產(chǎn).

2.提示:⑴(〃H0.1)(岫-0.1).⑵y(x-y)2.⑶(4+2a+36)(4-2a-3垃(4)(a+2)2(a-2)2.(5)

(6)(av+8)2.(l)(a+2h)2(a-2h)2.(8)(3+。+力產(chǎn).

222

3.解：⑴原式=(3.r+2y).VA-3ty=-2、：.原式=[3x3+2x(2)]=3=9.(2)原式

a+ba-ba+ba-b111

J丁+〒)(丁-〒)=".???4=其力=2,,??原式=-&2=-4

4.解:⑴原式=2Cv+2)2或2(2r+1)2.(2)原jt=x2+3x+2+4=x2+3x+也(x+2)?.

5.解:V257-5I2=52X7-52X6=(57+56)X(57-56)=56X6X56X4=120x5257-512能被120整除.

111111

222222

6.解:*：x+y=1,/.2r+x>H-V=2(x+2xt)M-v)=(x+y)=2x1=2

7.解:⑴原式MBZORG-IRX?20".(2)^^=(-2),00X[(-2)+1]+299=2,00X(-1)+299=299X[(-2)+1]=-299.

8.解：需要混凝土的體積為兀⑵An⑵l=Rl-122)\22)勺

7545/7545\

3.14x300x(2+2)x12-2J=3.14x300x60xl5=847800(cm3),847800cm3^0.85n?.大約需0.85n?混

凝土.

2222

9.解:,??正方形的面積是9?+6x)^(x>0,y>0)J9x+6A>-+y=(3x+>'),工正方形的邊長的代數(shù)式為3x+y

10.解:???f+2x+l=(]+1產(chǎn)20,???當x=-l時，多項式？+2x+l可以取最小值，最小值為0.

f4x-4y=96,

11.解:設(shè)正方形/的邊長為xcm,正方形〃的邊長為ycm.依題意，得1/-產(chǎn)=960,方程組化簡為

(x-y=24,

1(%+y)G-y)=960,解此方程組得x=32,y=8.所以正方形/的邊長為32cm,正方形〃的邊長為8cm.

12.解：△ABC是等腰三角形.理由如下：c/-b2+ac-bc=(a+b)(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)=O,a+b+cW

0,二。七=0,即a=b,：,△48。是等腰三角形.

13.解:,??要使100上去廿49)2是一個完全平方式，也就是要使(10回2-5，+(7力2是一個完全平方

式,??--"y=2-10x-7y或-hy=-2?\0x?ly,：.k=±\40.

14.

解：2%1=(2%)2-1=(2%+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)?(26+1)(26-1)=(224+1)(2,2+1)(26+1)

(2$+l)?QU).其中06+1)=65,(26-1)=63.因此這兩個數(shù)是65,63.

325n+1

15.(1)4(2)3(3)8原式=2n.

一備課資源

1,教學(xué)建議

學(xué)生在七年級下冊第一章中已經(jīng)學(xué)習(xí)過完全平方公式,將其逆用就是本節(jié)課所涉及的主要知識.

對于公式逆用，學(xué)生已經(jīng)不是第一次接觸了，在上一節(jié)課中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過將平方差公式逆用的過程,

應(yīng)該說是比較熟悉的.通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.本節(jié)課的學(xué)習(xí)模式與上節(jié)課基

本相同:公式逆用,分析公式的結(jié)構(gòu)特征，整體換元進行因式分解，同時要求分解徹底.這些活動采用的

方法是學(xué)生非常熟悉的觀察、對比、討論等方法，學(xué)生有較好的活動經(jīng)驗.

經(jīng)典例題

例1分解因式:4a2b2./+慶。2尸

解:原iA=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2^c2)

=[(。+切2?。2]匕2?+切2]

=(a+b+c)(a+b-c)(c+a+b)(c-a-b)

=-(a+b+c)2(a+)-c)2.

Qi易錯辨析

易錯點對分解因式的方法掌握得不夠徹底

例2分解因式:36f-36x+9.

錯解:367-36x+9=(6x-3尸.

錯因分析:分解時沒有首先考慮提取公因式，導(dǎo)致分解不徹底.

iEft?:36r-36x+9=9(4x2-4x+1)=9(2x-1)2.

例3分解因式：9/4后

錯解:9/_4/=(34-2與2.

錯因分析:將平方差公式與完全平方公式混為一談，從而出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象

正解：9a2-4Z;2=(3q+2Z?)(3a-2Z?).

例4分解因式:-3>〃+6皿〃-3幾

錯解：-3"F〃+6m〃-3〃=3〃(-/〃2+2/〃-1).

錯因分析:首項中的負號沒有提出，造成分解不徹底.

IEft?：-3m1n+6mn-3n=-3n(in1-2m+1)=-3/i(m-1)2.

11

例5分解因式22也什力/.

11

錯解：2a2_q6+5/)2=a2+62=(4人)2

錯因分析:將代數(shù)式的恒等變形與方程的同解變形混淆.

1111

222

正解：2々2_出計2b2=2^a.2ab+b)=^(a-b).

4.1因式分解教學(xué)設(shè)計

金沙縣西洛街道初級中學(xué)：余艷剛

課題名稱4.1因式分解教師余艷剛

科目數(shù)學(xué)班級八(4)班

學(xué)校西洛街道初級中學(xué)時間2017年4月20日

課時分鐘)

教學(xué)時間1(45

知識技能

使學(xué)生了解因式分解的意義，知道它與整式乘法在整式

教變形過程中的相反關(guān)系.

培養(yǎng)知識遷移的數(shù)學(xué)能力，如：類比思想，逆向運算能

學(xué)數(shù)學(xué)思考

力等。

目

通過觀察，發(fā)現(xiàn)分解因式與整式乘法的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生

標問題解答

的觀察能力和語言概括能力.

情感態(tài)度

通過觀察，推導(dǎo)分解因式與整式乘法的關(guān)系，讓學(xué)生了

解事物間的因果聯(lián)系.

.理解因式分解的意義.

重點1

2.識別分解因式與整式乘法的關(guān)系.

通過觀察，歸納分解因式與整式乘法的關(guān)系.

難點

觀察討論法

教法

教具紙片

教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容流程師生活動流程設(shè)計意圖

［師］大家以前學(xué)過整式

回憶整式乘法

乘法觀察圖形寫出式子

創(chuàng)設(shè)問題ma+mb+mc=m(a+b+c)師生互相對

情境，引入

話，學(xué)生動手能從等號右邊推出等

新課思考992-1能被100整除

嗎？練習(xí)號左邊，因為多項式

991-1=(99+7)(99

［師］討論992-1能被

100整除嗎？你是怎樣想-7)等號右邊是變成

的？

了幾個數(shù)的積的形式

［師］992-1還能被哪些

正整數(shù)整除？

引發(fā)學(xué)生聯(lián)想到用字

講授新課［師］從上面的推導(dǎo)過程

看，等號左邊是一個數(shù)，母表示數(shù)的方法，得出

而等號右邊是變成了幾個

數(shù)的積的形式."一。=(。-1)xax(a+

2.議一議

學(xué)生討論,這個過程對學(xué)生來說

你能嘗試把a2-!化成幾

個整式的乘積的形式嗎？是思維上的一次飛躍，

［師］大家可以觀察/―。

是從對具體、個別事物

與9爐一99這兩個代數(shù)式

3.做一做的認識上升到對一般

(1)計算下列各式：

①(a+4)(?—4)事物規(guī)律性、結(jié)構(gòu)性的

—__________,認識，是對學(xué)生思維能

②(x-3)2=__________;

③3x(%—1)=__________;觀察，總結(jié)特力水平的一次提高，同

@m(x+y+z)=__________;時很自然的從分解因

⑤4(。+1)(。-1)點

數(shù)過度到分解因式，初

(2)根據(jù)上面的算式填步樹立起學(xué)生對因式

空：

分解概念的直觀認識。

①a?—16=()();學(xué)生練習(xí)

②$-6X+9=()();

③3幺一3下()();

?nvc^my+mz=()().

⑤/一〃=()().

［師］能分析一下兩個題

中的形式變換嗎？

(在(1)中，等號左邊都

是乘積的形式，等號右邊

都是多項式；在(2)中正

好相反，等號左邊是多項

式的形式，等號右邊是整

式乘積的形式.)通過兩組互逆關(guān)系的

在(1)中我們知道從左邊練習(xí)，類比兩種不同的

推右邊是整式乘法;在(2)根據(jù)學(xué)生回答

中由多項式推出整式乘積互逆運算，讓學(xué)生體會

情況總結(jié)

的形式是因式分解.什么是分解因式，了解

把一個多項式化成幾個整

式的積的形式，這種變形分解因式與整式乘法

叫做把這個多項式分解因的互逆關(guān)系

式

4.想一想

由a(a+1)Ca—1)得到

a)—a的變形是什么運學(xué)生思考，回

算?由。3—。得到。(。+1)

(。一1)的變形與這種運答

因式分解與整式乘法

算有什么不同？你還能舉

是相互逆的變形.

一些類似的例子加以說明

嗎？

［師］下面我們一起來總

結(jié)一下.

整式乘法與分解因式

如：m(a+b+c)

的過程類比

=ma+mb+mc(1)

tna^-fnb+fnc=m（.a+b+c）（2）

聯(lián)系：等式（1）和（2）同一個多項式的兩種

是同一個多項式的兩種不不同表現(xiàn)形式?及運算

同表現(xiàn)形式.方法是相反方向的變

區(qū)別：等式（1）是把幾個形.

整式的積化成一個多項式學(xué)生觀察，回

的形式，是乘法運算.

等式（2）是把一個多項式答問題，并互

通過學(xué)生獨立思考和

化成幾個整式的積的形相交流

式，是因式分解.討論探究，從具體實例

區(qū)式分曳

中進一步理解概念，抽

BPma+mb+mc螫式乘法m

（a+b+c）.象日新概念的本質(zhì)屬

所以，因式分解與整式乘

性加深對新概念的掌

法是相反方向的變形.

5.例題握