高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第2講 參數(shù)方程學案-人教版高三全冊數(shù)學學案

第2講參數(shù)方程

考點回顧考綱解讀考向預測

年份卷型考點題號分值

1.本講主要考查參數(shù)方程與普通方程

2019年將以解答題為載體，預計

2017參數(shù)方程的互化、直線參數(shù)方程的意義、極坐

I2210考查：①參數(shù)方程與普通方程互化；

標方程與參數(shù)方程的綜合.

②直線參數(shù)方程應用；③圓與圓錐曲線

2016橢圓參數(shù)方程23102.理解參數(shù)方程、搞清直線、圓及橢圓

m參數(shù)方程應用.往往和極坐標結合考

的參數(shù)方程，能夠利用直線的參數(shù)方

查，復習時注意把握.

2015D圓的參數(shù)方程2310程解決問題.

板塊一知識梳理?自主學習

［必備知識］

考點1參數(shù)方程的概念

在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標X、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)

(*),如果對于t的每一個允許值，由方程組(*)所確定的點材(X,力都在這條

曲線上，那么方程組(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程,變數(shù)力叫做參數(shù).

考點2直線和圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程

點的軌跡普通方程參數(shù)方程

\X=JC0+zcosa,

直線丁一丁0=tana（z—了0）（，為參數(shù)）

1y=yo+fsina

[x=rcos^,,.皿

X2+y2=r2\.（6為參數(shù)）

[y=rsinO

fJ=a+rcos0,,.皿

（Z—。）2+（）一6）2=r2\.（。為參數(shù)）

|j/=6+rsin^

點的軌跡普通方程參數(shù)方程

22x=acos^,,八

橢圓-zr+7T=1(a>〃>0)V.W(伊為參數(shù))

y=bs\n(p

22x=asec(p^,_山

雙曲線彳一==l(a>0,6>0)V”(g為參數(shù))

y=btan(p

[jr=2pt2，

拋物線丁=2”:(f為參數(shù))

Iy=2pt

［考點自測］

1.判斷下列結論的正誤.（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

⑴參數(shù)方噸X—=2t一+1,（⑶）表示的曲線為直緣（）

⑵直線尸,與曲線〔f尸^=33csoisna。,（.為參數(shù)）的交點個數(shù)為1?（）

x——2+fcos30",

(3)直線,。1為參數(shù))的傾斜角。為30°.()

.尸1+tsinl50

(x=2cos〃，(「"71

(4)參數(shù)方程1=5sin〃(6為參數(shù)且6w[0,5J表示的曲線為橢圓.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)X

x=2cos0,

2.已知圓的參數(shù)方程〃（。為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸

y=2sm0

為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為30cosa-4Osin。一9=0,則直線與圓的位

置關系是（）

A.相切B.相離

C.直線過圓心D.相交但直線不過圓心

答案D

解析圓的普通方程為六+7=4,直線的直角坐標方程為3x—4y—9=0.圓心（0,0）到

13X0-4X0-919

直線的距離d=所以直線與圓相交.顯然直線不過原點（0,0）,故

,\/3"+(-4)25

選D.

3.[2018?安徽模擬]以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極

fX—t+1,

坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線/的參數(shù)方程是°（r為參

[y=t-3

數(shù)），圓。的極坐標方程是。=4cos9，則直線/被圓。截得的弦長為（）

A.V14B.2^14C.^/2D.2^2

答案D

解析由題意得直線1的方程為%-7-4=0,圓C的方程為（L2）2+/=4.則圓心到

直線的距離d=y[2,故弦長=2#/-d=24.

\x=t,

4.[2018?湖南模擬]在平面直角坐標系x0中，若直線/：（聯(lián)為參數(shù)）過

ly-t-a

[x=3cos0,

橢圓G°.人（。為參數(shù)）的右頂點，則常數(shù)a的值為________.

ly=2sm（!>

答案3

22

解析由題意知在直角坐標系下，直線/的方程為曠=>一a,橢圓的方程為++《=1,

所以其右頂點為（3,0）.由題意知0=3—a,所以a=3.

x—2pt2,

5.[2018?天津模擬]已知拋物線的參數(shù)方程為0

[y=2pt

息為參數(shù)），其中m0,焦點為凡準線為/.過拋物線上一點出作/的垂線，垂足為￡

若|陰=|明，點材的橫坐標是3,貝Ijp=.

答案2

x—2pi2,

解析由參數(shù)方程?

尸2Pt

（大為參數(shù)），。>0,可得曲線方程為/=2px（p>0）.

V\EF\=\MF\,且|姐=|如（拋物線定義）,

，△助％為等邊三角形，

〃的橫坐標為一導材的橫坐標為3.

3-2

.?.可中點的橫坐標為亍,與Q的橫坐標物同.

QP

3-9

ZP

丁=5,；.p=2.

6.[2015?湖北高考]在直角坐標系x0中，以。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

坐標系.已知直線/的極坐標方程為。（sinJ—3cos。）=0,曲線C的參數(shù)方程為

1

x=t--；

“為參數(shù)），，與C相交于48兩點，則|/引=

y=r+7

答案2季

解析因為P(sin0—3cos<?)=0,所以Psin=3pcos0,所以y=3x.由

1=J2

x-2'

y=3x,

消去f得/一f=4.由解得〈或

"一夕=4,3m

尸+5尸2

：龍

X2，

不妨令,由兩點間的距離公式得|4身

3/

y-

2

板塊二典例探究?考向突破

考向參數(shù)方程與普通方程的互化

fx=3cos°,

例1[2017?全國卷I]在直角坐標系x如中，曲線。的參數(shù)方程為“

[y=sin夕

x=a+4t,

(0為參數(shù))，直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

,y=1—t

(1)若a=-l,求「與/的交點坐標；

(2)若C上的點到/距離的最大值為機，求a.

2

解⑴曲線C的普通方程為看+/=1.

當a=-l時，直線/的普通方程為x+4y-3=o.

'x+4y—3=0,

由k-

忖+yj

21

丫=-----.

才=3,25'

解得或

y=024

片后

21

從而C與1的交點坐標為(3,0),

25,

⑵直線/的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos0,sin，)到/的距離為d

13cos8+4sin6-a—4

15sin（夕+0）-a—41tan0=,），

V17

a+9

當32一4時，d的最大值為比亍

由題設得^萬，所以a=8；

當aV—4時，"的最大值為—用親+「1

—刀―1j

由題設得一^-=",所以a=-16.

綜上，a=8或d=-16.

觸類旁通

將參數(shù)方程化為普通方程的方法

(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?常

見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，

常利用同角三角函數(shù)關系式消參，如sin2。+cos?，=1等.

（2）將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解.

x=—4+cost,

【變式訓練1】［2018?湖南長郡中學模擬］已知曲線G：>'1為參

.y=3+sin力

x=8cos0,

數(shù)），G：（0為參數(shù)）.

」=3sin0

（1）化G,G的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

⑵若G上的點。對應的參數(shù)為t=y,0為G上的動點，求N的中點材到直線G：

,位為參數(shù)）距離的最小值.

g—2+t

解（1）G：（%+4）2+（y—3）2=1,G：三+5=1，

o4y

G表示圓心是（一4,3）,半徑是1的圓，G表示中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半

軸長是8,短半軸長是3的橢圓.

（2）當￡=彳~時，〃（一4,4）,又0（8cos。，3sin。），故J（—2+4cos。，2+^sin夕），

又G的普通方程為x—2y—7=0,則材到G的距離d=雪14cos夕一3sin。-13|=

?|3sin0—4cos〃+13l=W^|5sin（0—。）+13|（其中。滿足tan

00\

所以d的最小值為羋.

5

考向閣直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程的互化

x=cos0,

例2［2018?寶雞模擬］在平面直角坐標系x分中，已知G：八（。為

y=sm°

參數(shù)），將G上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的也和2倍后得到曲線Q.以平

面直角坐標系x行的原點。為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系,

己知直線/：o（由cos〃+sin。）=4.

（1）試寫出曲線G的極坐標方程與曲線G的參數(shù)方程；

（2）在曲線G上求一點P,使點P到直線/的距離最小，并求此最小值.

（x=cos0,

解（D把G：,“（。為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為*+/=1,故曲

［y=sin0

線G的極坐標方程為0=1.

再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線G的普通方程為（痘）+?！?1,即5+?=

x=\”l2cos9,（。為參數(shù)）.

{y=2sin8

（2）直線］：。（$cos8+sin乃=4,即鏡x+y-4=0,設點P（mcos，，2sin（））,

則點戶到直線的距離為

|2cos?+2sin，一4|2*sin（夕+了）-2

4后=市，

故當sin（o+f=l時，d取得最小值，此時，〃=24口+號（*GZ）,點尸（1,?,

故曲線c上有一點戶（1,也）滿足到直線1的距離的最小值為羋一羋.

觸類旁通

參數(shù)方程和直角坐標方程及

極坐標方程之間的相互轉化

（1）把G消去參數(shù)化為普通方程為丁+/=1,再化為極坐標方程.根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮

變換規(guī)律可得曲線G的普通方程，再化為參數(shù)方程.

（2）先求得直線/的直角坐標方程，設點尸（mcos0,2sin0）,求得點尸到直線的距離

2msin（?+?2|1t

為d=-------寶_-——，故當sin（。+司=1時，即9=2k^+~,AGZ時，點0

到直線）的距離最小，從而求得戶的坐標以及此最小值.

【變式訓練2】［2018?宜春模擬］在直角坐標系xa中，圓G和C的參數(shù)方程分別是

x=2+2cos0,fx=cos0,

c）（0為參數(shù)）和,.”（0為參數(shù)），以〃為極點，X軸的正半

y=2sin<p［y=H-sin<p

軸為極軸建立極坐標系.

（1）求圓G和G的極坐標方程；

（2）射線OM：0=。與圓G的交點為0、P,與圓C的交點為0、Q,求I陰Tg的最

大值.

x=2+2cos6,

解(1)圓G(0為參數(shù)),

y=2sin<t>

轉化成直角坐標方程為(矛-2)2+/=4,

即/+/—4x=0,

轉化成極坐標方程為P2=4PCOS0,

即p=4cos0

fx=cos

圓C,.’(。為參數(shù)),

Ly=l+sin(P

轉化成直角坐標方程為f+(y—1-=1,

即Z+/—2y=0

轉化成極坐標方程為P2=2psin0,

即P=2sin0.

(2)射線Q%。與圓G的交點為。、只與圓C的交點為0、0,

設.P,。對應的極徑分別為0”02,貝鵬0。|?=O“2=4|sin2al.

V(|sin2a|)mnx=l,：.\0P\?的最大值為4.

考向3直線的參數(shù)方程

例3[2018?泉州模擬]已知在平面直角坐標系中，直線1的參數(shù)方程是

x=1—t,

息是參數(shù))，以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐

j=2+t

標系，兩種坐標系中取相同的單位長度，曲線，的極坐標方程為

(1)寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)設點。的直角坐標為(1,2),直線/與曲線C的交點為4B,試求|必及|必|?PB\

的值.

解(1)直線1的普通方程為x+y-3=0.

O=4gsin(。+彳)=4sin。+4cos。，所以。'=4。sin〃+4ocos〃，所以曲線。

的直角坐標方程為“2+7—4犬-4片=0(或寫成(“-2)2+(y-2)2=8).

L=1,j2,

（2）直線/的參數(shù)方程可化為4L（，是參數(shù)），

尸2+9

I/

把直線，的參數(shù)方程代入/+/—4萬一4尸0得，t'2+y[2t>—7=0.

設46對應的參數(shù)分別為力'，1，則t/+t2'=一蚯，/t2'=-7,點?（1,2）

顯然在直線，上，故冽-t2'|=叱"+婕PT"婕=弧，故|用|?\PB\

=I力J&'|-7.

觸類旁通

直線的參數(shù)方程的標準形式

（x=xo+tcosa,

過定點日（施，外），傾斜角為。的直線參數(shù)方程的標準形式為,（t

ly=7b+tsina

為參數(shù)），t的幾何意義是直線上的點尸到點氣（施，加）的數(shù)量，即|力=|"|時為距離.使

用該式時直線上任意兩點衣、A對應的參數(shù)分別為5t2,則①用=|小一以，A月的中點

對應的參數(shù)為友）.

【變式訓練3】[2018?哈爾濱模擬]在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為

fx=2+lcos。,（rJI']\

\廠2為參數(shù)，6Go,V,以坐標原點。為極點，X軸的非負半軸為極

ly=，3+￡sin0IL3〃

軸建立極坐標系，已知圓C的圓心C的極坐標為（2,S，半徑為2,直線/與圓C交于M,

N兩點.

（1）求圓。的極坐標方程；

（2）當。變化時，求弦長“加的取值范圍.

解（1）由已知，得圓心C的直角坐標為（1,?。?半徑為2,

...圓C的直角坐標方程為（x—l/+（y—/）2=4,

即x+y—2x—2y[3y=09

Vx=0cos0,y=psin0,:?p'—2pcos0—2鎘2sin。=0,

故圓C的極坐標方程為0=4cos仔-e）

（2）由（1）知，圓。的直角坐標方程為—2x—24y=0,將直線的參數(shù)方程代入圓

的直角坐標方程中得,

(2+tcos。)"+￡sin0)"—2(2+fcos6)—加in。)=0,

整理得，r+2rcos0—3=0,

設機N兩點對應的參數(shù)分別為力，5則。=-2cos。，t\?^=—3,

|MN\=11\_tiI=y/(ti+」)二-4￡i?、

=14cos20+12,

JT~|「11」?—

?.?0W0,—,Acos1,???幽￡[好,4].

j乙

考向印極坐標、參數(shù)方程的綜合應用

(x—2+t,

例4[2018?鹽城模擬]已知直線/的參數(shù)方程為°°(力為參數(shù))，以原點

[y=2-2t

2

。為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線「的極坐標方程為

W+3cos)9

(1)直接寫出直線/的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程;

(2)過曲線C上任意一點2作與直線/夾角為2的直線m,設直線M與直線1的交點為A,

O

求I處I的最大值.

x=2+t,

解(1)由1為參數(shù))，得/的普通方程為2x+y—6=0,令x=Acos夕，

[y=2-2t

y=0sin0,得直線1的極坐標方程為2PCOS〃+夕sin。-6=0,由曲線。的極坐標方程,

知。2+3。2cos2。=4,所以曲線。的直角坐標方程為步+?=1.

(2)由(1),知直線1的普通方程為2x+y-6=0,設曲線。上任意一點Acosa,2sina),

.小士心12cosa+2sina—6

點戶到直線1的距離d=-------------事-------.

4洞恒小+總-3

由題意得IPA\=———=——!-------2-----------------，

sinoO15

二當sin(a+^)=-l時，|必|取得最大值，最大值為域誓魚.

觸類旁通

極坐標與參數(shù)方程綜合應用中注意的問題

(1)在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長、切線等幾何問題時，如果不能直接

用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩時，可將極坐標方程轉化為直角坐標方程解決.轉化

時要注意兩坐標系的關系，注意0,0的取值范圍，取值范圍不同對應的曲線不同.

(2)解答參數(shù)方程的有關問題時，首先要弄清參數(shù)是誰，代表的幾何意義是什么；其次

要認真觀察方程的表現(xiàn)形式，以便于尋找最佳化簡途徑.

x—M,

【變式訓練4】在直角坐標系中，曲線G的參數(shù)方程為z(力為參數(shù))，

Lr=4/

若以。為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為0cos。+2。sin0

+4=0(p20).

(1)求曲線G的普通方程與曲線G的直角坐標方程；

(2)若1是曲線G上的任意一點，6是曲線G上的任意一點，求線段18的最小值.

解⑴由［I：消去參數(shù)3得曲線G的普通方程為V=4y.

〔y=4巴

X-Pcos夕，

將彳代入到Qcos夕+20sin夕+4=0(020)中，得x+2y+4=0,

y=psin0

即曲線G的直角坐標方程為x+2y+4=0.

(2)解法一：因為力是曲線G上的任意一點，8是曲線C上的任意一點，所以線段四

的最小值，即與曲線C平行的直線與曲線G相切時，切點到曲線C的距離，設切線的方程

為x+2y+m=0,

\x=4y,

由|x+2f=。,消去了得*+2x+2片。,

所以A=22—4X1X2/z?=0,得加=；,

(n-1+2X-+4歷歷

因此切點為(T，其到直線C的距離4一-=黃，即I血?=湍-

解法二：因為4是曲線G上的任意一點，6是曲線G上的任意一點，

所以可設點4(4t,4高，線段的最小值即點A到直線G的距離d的最小值，

4比+3%

G、一|4t+2X4t2+4|

所以公尸

當，=-"時，aLi?=~Y^,即

le幺師第記?〃/納領悟I

C^<；inNAlJN<iWH

核心規(guī)律

參數(shù)方程與普通方程互化的方法

(1)參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消

參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法.

(2)普通方程化為參數(shù)方程：化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合

適的參數(shù)t,先確定一個關系x=f(t)(或尸0(t)),再代入普通方程尸(x,力=0,求得另

一關系尸。。(或x=f(t)).

滿分策略

參數(shù)方程應用中的注意事項

(1)參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程，要注意普通方程與原參

數(shù)方程的取值范圍保持一致.

(2)普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)，選擇的參數(shù)不同，所得的參數(shù)方程也不一

樣.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(或縱坐標).

(3)常見曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有幾何意義，注意利用幾何意義常能夠給解題帶來

方便.

板塊三模擬演練?提能增分

［基礎能力達標］

1.［2017?江蘇高考］在平面直角坐標系xOy中，已知直線1的參數(shù)方程為

'x=-8+t,

(x—2s,

t1為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為《廠(s為參數(shù)).設P為曲線

卜=5

，上的動點，求點尸到直線1的距離的最小值.

解直線/的普通方程為x—2y+8=0.

因為點P在曲線「上，設?(2y245),

從而點。到直線1的距離.2s二￥普

2(s-^^1+4

乖

當$=/時，din=—

4、1

因此當點〃的坐標為(4,4)時，曲線C上的點P到直線7的距離取到最小值譽.

□

\x=2+t,

2.[2017?全國卷IH]在直角坐標系x。中，直線工的參數(shù)方程為，魚為

[y=kt

x=-2+/，

參數(shù))，直線人的參數(shù)方程為《/〃(加為參數(shù)).設人與人的交點為只當A變

尸入

化時，。的軌跡為曲線C

(1)寫出C的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設八：P(cos〃+sin0)-^2

=0,"為4與C的交點，求M的極徑.

解(1)消去參數(shù)t得71的普通方程Z：y=k(x—2)；

消去參數(shù)加得A的普通方程h：y=*(x+2).

K

'y—k(x—2),

設P(x,y),由題設得<

尸協(xié)+2),

消去4得/=4(10),

所以C的普通方程為f-/=4(yW0).

(2)，的極坐標方程為P2(cos2。一sin?8)=4(0V夕<2n,

p(cos2—sin2")=4,

聯(lián)立《廣得

“(cos〃+sin。)一72=0

cos8—sin^=2(cos夕+sin夕).

iQI

故tan。=一鼻，從而cos'。=行，sin'J=Y^.

?J1UJLU

代入夕"cos?。一sin?夕)=4得02=5,

所以交點，"的極徑為

3.[2018?安陽模擬]已知極坐標系的極點為直角坐標系x勿的原點，極軸為x軸的正

半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，圓。的直角坐標系方程為*2+/+2x-2尸0,直線/

x=-1+b3n

的參數(shù)方程為l為參數(shù))，射線陰的極坐標方程為好工

(1)求圓C和直線/的極坐標方程;

⑵已知射線〃獷與圓。的交點為。，P,與直線/的交點為0,求線段網(wǎng)的長.

解（1）,?,圓C的直角坐標系方程為V+/+2X—2六=0,

???圓C的極坐標方程為夕?+22cos2夕sin夕=0,

化簡得夕+2cos夕一2sin。=0,即P=2-^2sin^0——

I?直線/的參數(shù)方程為一‘〃為參數(shù)），

[y=t

消參得：X—y+l=0,

?,?直線/的極坐標方程為Qcos夕一Osin夕+1=0,

日n1

Psin0—cos/

故點0的極坐標為0g,斗j，

\PQ\^\0P\~兇=2:—乎=乎

故線段段的長為平.

4.[2018?長沙模擬]以直角坐標系的原點〃為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐

x=方sin0,

標系取相等的長度單位.已知直線/的參數(shù)方程為?,&為參數(shù)，（K0＜n）,

y=1+力cos（P

曲線。的極坐標方程為0cos2?=4sine.

（1）求直線/的普通方程和曲線。的直角坐標方程；

（2）設直線/與曲線C相交于48兩點，當0變化時，求|45|的最小值.

x=tsin（p

解（1）由」,9（￡為參數(shù)，0＜。＜兀），消去b得xcos。一ysinO+sin。

y=1+tcos。

=0,

所以直線1的普通方程為xcos（p—ysinO+sin6=0.

由Pcos2夕=4sin0,得(QCOS^)2=4Psin夕,

把x=〃cos〃，尸)sin。代入上式，得系=4%

所以曲線C的直角坐標方程為V=4y.

(2)將直線1的參數(shù)方程代入x=4y,得/sin"。一41cos。-4=0,

設小，兩點對應的參數(shù)分別為3口

,4cos04

貝MlUlt\~\~tz——；~21，t\t2=：~21，

sin(Psm(P

所以|總創(chuàng)=I力一七I=^/(fi+t^—\t\t2

_/16cos'01