2022年高考文（理）科數(shù)學熱點立體幾何解答題命題趨勢預測

2022年高三沖刺階段解答題訓練題集3

立體幾何部分解答題及參考答案

說明：1-16理科17-33文理共用

1、如圖，在四棱錐戶一力員笫中，如_L平面48。伉AD-LCD,平分N

P

ADC,E為外的中點，AD=CD=1,m=2啦.(文理共F

⑴證明以〃平面BDE，\上二^

⑵證明AC1,平面PBD；

解：⑴證明：設(shè)ACCBD=H,?C

連結(jié)￡7/在中，因為47=C。，且仍平分N47a所以，為47

的中點.

又由題設(shè)，E為PC的中點，故EH//PA.又日/U平面BDE且以。平面

BDE,

所以〃〃平面BDE.

(2)證明：因為陽_L平面/J8C0,47u平面加故所以戶，_L4c

由⑴可得，DB-LAC.XPDHDB=D,故/4CJ?平面做Z

2、如圖，在三棱錐"一彳宛中，2U底面48aPA=AB,NABC=60°,

NBCA=90。，點以萬分別在棱陽、PC上,&DE〃BC.R

(1)求證：8CLL平面21C;Vs

⑵當。為多的中點時，求彳。與平面以c所成的角的正弦值；力

⑶是否存在點E使得二面角彳一〃?戶為直二面角？并說明理A父

解：(1).72U底面ABC,:.PALBC又/BCA=9G,JACIBC,/.

BC±平面PAC.

1

⑵;。為用的中點，DE//BC,：.DE=-BC.

又由⑴知，員工平面〃C,.??正，平面〃C,垂足為點￡???/%￡

是4?與平面21c所成的角.

???以，底面/阿,???RU力8又以=/旦???△力勿為等腰直角三角形,

.在RtA48C中,ZABC=60°，,=8C=；AB,?.在RtA/lOE

：.AD=?

、2

即絲與平面21c所成角的正弦值為保.

(3)'：DE//BC.又由(1)知，員工平面21a

.二如_L平面PAC.又??YEU平面PAC,加U平面PACJDE'AE、DELPE,

???/〃^為二面角彳一。E一戶的平面角.

■?.以_L底面/8C,.'.PA±AC,

.\ZPAC=90°，，在棱方上存在一點￡使得力￡，外.這時，/AEP

=90°,

故存在點印吏得二面角彳一如一"是直二面角.

D,r

3.在棱長為。的正方體ABCO-A罔CQ中，/...........—

￡是線段AG的中點，ACQBD=F.

(I)求證：CEJ_8O;%

(ID求證：CE〃平面ABQ；^^、、、、L\

(III)求三棱錐ABC的體積.'、、、"、、、、、\

4

第3題圖

解：（I）證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)

BD.LAC,.....................................2分

因為例_L平面ABC。，5Ou平面ABCO,所以5O_L例，XACQAA,=A

所以平面ACGA,CEu平面ACGA，所以

CE1BD;..............................5分

(II)證明：連接A/,因為AV/B8J/CG，⑨=64=CG，%G

所以ACGA為平行四邊形，因此AG//AC,AG=ACA

由于上是線段AG的中點，所以CE〃尸A，

c

因為FA]U面4出。，CEz平面AB。，

4

所以CE〃平面............aio分

(DI)=匕-BCD=',SABCDA"=不

12分

4.已知四棱錐P-ABC。的三視圖如下圖所示，其中主視圖、側(cè)視圖

是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形,E是側(cè)棱PC上的動

點.

(I)求證：BDA.AE

(口)若E為PC的中點，求直線跳與平面P瓦）所成角

(m)若五點AB,C,D,P在同一球面上，求該球的再秩

主視圖

1

俯視圖

A

⑴證明：由已知

PC±BC,PCA-DC=>PCL面ABC。...2分

???BDu面ABC。nBD上PC：

又因為BDLAC,

.?.8。_1_面力。,又?.?4￡<=面弘。,「.8。_14E.........4分

⑵解法一：連AC交BD于點0,連P0,由⑴知

BD±面尸4C,=面BEO±面PAC,

過點E作EH1尸。則EHJL面PBD,/.NEBH為跳:與平面P5D所成的角.

8分

-：EH=-,BE=42,貝lj

3

sinZEBH=^==—.???10分

x/26

法二：空間直角坐標法，略.

(3)解：以正方形ABC。為底面，PC為高補成長方體，此時對角線外

的長為球的直徑，

...2R=PA=J1+1+4=瓜,《=3"&3=指

5、如圖，已知48_1_平面ACO,DE//AB,

AD=AC=DE=2AB=2,旦尸是CO的中

點.AF=6(文理)

(I)求證：〃平面BCE;

(II)求證：平面兆瓦1_平面CDE;

(HI)求此多面體的體積.

解：(I)取以中點P，連結(jié)FP、BP,

?“為面的中點,

:?FP〃DE,且F片LDE.

2

又AB"DE,且/比

2

C.AB//FP,且A六FP,

???力皮齊為平行四邊形，：.AF//BP......................3分

又??,力叫平面比EBPu平面BCE,

.??/%平面延.......5分

(II)?:AF=6.CD=2,所以△力修為正三角形，：.AFVCD

平面/⑦，DE//AB

???龐，平面ACD又力正平面ACD

J.DEA.AF

又AF1CD,CDQDE=D

???加丁平面CDE8分

又BP//AF.??凱1平面CDE

又?.,朋=平面BCE

J平面尻EL平面CDE10分

(IH)此多面體是一個以C為定點，以四邊形ABED為底邊的四棱錐,

SABED=支手2=3，^ABDE±面AOC.?.等邊三角形AD邊上的高就是四

棱錐的高

YJABDE=\^3X6=6

5、如圖，四面體48C。中，0、E分別B。、

BC的中點,CA=CB=CD=8O=2

(I)求證：401?平面BCD；

（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（III）求點E到平面的距離.

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所

成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象

能力、邏輯思維能力和運算能力。

方法一：（I）證明：連結(jié)0C

錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。

在錯誤!未找到引用源。中，由已知可得錯誤!未找到引用源。

而錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤！未找到引

用源。即錯誤味找到引用源。

錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引

用源。

（II）解：取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、0E,由E為BC的中

點知錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。直線0E與EM所成的銳角就是異面直線AB

與CD所成的角

在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到

引用源。是直角錯誤!未找到引用源。斜邊AC上的曲線，錯誤!未找

到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到南心雪直線

AB與CD所成角的余弦值為乎錯誤味找到引用*。］>X,

（III）解：設(shè)點E到平面ACD的距離為錯誤!柒找到引用源。

錯誤!未找到引用源。在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到

引用源。

錯誤!未找到引用源。而錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。點E到平面ACD的

距離為錯誤!未找到引用源。

方法二：(I)同方法一。

(II)解：以。為原點，如圖建立空間直角坐標系，則錯誤!未找

到引用源。

錯誤!未找到引用源。2A

錯誤!未找到引用源。/\

錯誤!未找到引用源。異面直線AB與CD所成角的柒值為當

(III)解：設(shè)平面ACD的法向量為錯誤!未找到省禍源。則E

錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。令錯誤!

未找到引用源。得錯誤味找到引用源。是平面ACD的一個法向量。

又錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。點E到平面ACD的

距離錯誤!未找到引用源。

6、如圖，在棱長為1的正方體錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找

到引用源。是側(cè)棱錯誤味找到引用源。上的一點，錯誤!未找到引用

源。O

(I)、試確定錯誤!未找到引用源。，使直線錯誤!未找到引用源。與

平面錯誤!未找到引用源。所成角的正切值為錯誤味找到引用源。；

(II)、在線段錯誤!未找到引用源。上是否存在一個定點錯誤!未找

到引用源。，使得對任意的錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。

在平面錯誤!未找到引用源。上的射影垂直于錯誤!未找到引用源。，

并證明你的結(jié)論。

解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(L0,0),B(LL0),POl,m),C(O,1,O)Z

D(0,0,0),BI(1,1,1),DI(0A1).

所以錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。

又由錯誤!未找到引用源。的一個法向量.

設(shè)錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成

的角為錯誤!未找到引用源。，

則錯誤!未找到引用源。

依題意有：錯誤!未找到引用源。，解得錯誤!未找到引用源。.

故當錯誤!未找到引用源。時，直線錯誤!未找到引用源。。

(2)若在錯誤!未找到引用源。上存在這樣的點錯誤!未找到引用

源。，設(shè)此點的橫坐標為錯誤!未找到引用源。，則錯誤!未找到引用

源。。

依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等

價于

錯誤!未找到引用源。

即錯誤!未找到引用源。為錯誤!未找到引用源。的中點時，滿足題設(shè)

的要求.

7、如圖，在三棱錐A—BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角

形，AD是公共的斜邊，且AD=錯誤!未找到引用源。，BD=CD=1,

另一個側(cè)面是正三角形

（1）求證：AD1BC

（2）求二面角B—AC—D的大小

（3）在直線AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30。角？若存

在確定E的位置；若不存在，說明理由。

解法二：（1）作錯誤!未找到引用源。面錯誤!未找到引用源。于錯誤!

未找到引用源。，連錯誤味找到引用源八錯誤！/---------

未找到引用源。、錯誤!未找到引用源。，則四邊形’盡17f

錯誤!未找到引用源。是正方形，且錯誤!未找到引卜心（方|,

用源。，以錯誤味找到引用源。為原點，以錯誤味r—

找到引用源。為錯誤!未找到引用源。軸,錯誤!未

找到引用源。為錯誤!未找到引用源。軸建立空間直角坐標系如圖，

則錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。

⑵設(shè)平面錯誤!未找到引用源。的法向量為錯誤!未找到引用源。則由

錯誤!未找到引用源。知:錯誤!未找到引用源。；同理由錯誤!未找到引

用源。知:錯誤!未找到引用源?？扇″e誤!未找到引用源。

同理，可求得平面錯誤!未找到引用源。的一個法向量為錯誤!未找到引

用源。

由圖可以看出，三面角錯誤!未找到引用源。的大小應(yīng)等于〈錯誤!未找

到引用源?！?/p>

則錯誤!未找到引用源。＜錯誤!未找到引用源。＞錯誤!未找到引用源。，

即所求二面角的大小是錯誤!未找到引用源。.

⑶設(shè)錯誤!未找到引用源。是線段錯誤!未找到引用源。上一點，則錯誤!

未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。的一個法向量為錯誤!未找

到引用源。要使錯誤!未找到引用源。與面錯誤!未找到引用源。成錯

誤!未找到引用源。角，由圖可知錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到

引用源。的夾角為錯誤!未找到引用源。，所以錯誤!未找到引用源。

則錯誤!未找到引用源。，解得,錯誤!未找到引用源。，則錯誤!未找到引

用源。

故線段錯誤!未找到引用源。上存在錯誤!未找到引用源。點，且錯誤!

未找到引用源。，時錯誤味找到引用源。與面錯誤味找到引用源。成

錯誤!未找到引用源。角.

8、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為

等腰梯形，AB〃DC,AC_LBD,AC與BD相交于點0,/

P在底面上的射影恰為。點，又B0=2,P0=錯誤！二二

A*?

±PD.

(I)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；

(II)求二面角P—AB—C的大??；

(III)設(shè)點M在棱PC上.，且錯誤!未找到引用源。為何值時，PC,平面

BMD.

解：錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引

用源。

又錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，由平面幾何知識得:

錯誤!未找到引用源。

以錯誤!未找到引用源。為原點，錯誤!

未找到引用源。分別為錯誤!未找到引用

源。軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則各點坐標為錯誤!未找到引用源。，錯

誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用

源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用

源。（I）錯誤!未找到引用源。，錯誤味找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。。

錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。。故直線錯誤!未找到引用

源。與錯誤!未找到引用源。所成的角的余弦值為錯誤!未找到引用源。

（II）設(shè)平面錯誤!未找到引用源。的一個法向量為錯誤!未找到引用

源。，由于錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，

由錯誤!未找到引用源。得錯誤!未找到引用源。取錯誤!未找到

引用源。，又已知平面ABCD的一個法向量錯誤!未找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。又二面角錯誤!未找到引用源。為銳角，錯誤!

未找到引用源。所求二面角錯誤!未找到引用源。的大小為錯誤!未找

到引用源。

（III）設(shè)錯誤!未找到引用源。，由于錯誤!未找到引用源。三點共線,

錯誤!未找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。

由（1）（2）知：錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。。錯誤!

未找到引用源。錯誤!未找到引用源。，故錯誤!未找到引用源。時，

錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。。

9、如圖，在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。，斜邊錯

誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用源。可以通錯

過錯誤!未找到引用源。以直線錯誤!未找到引用

源。為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角錯誤!未找到引用源。

是直二面角.動點錯誤!未找到引用源。的斜邊錯

誤!未找到引用源。上.

（I）求證：平面錯誤!未找到引用源。平面錯

誤!未找到引用源。；

（II）當錯誤!未找到引用源。為錯誤!未找到引用源。的中點時,

求異面直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。所成角的大

小;

（III）求錯誤!未找到引用源。與平面錯誤!未找到引用源。所成

角的最大角的正切值.

解法一：

（I）由題意，錯誤味找到引用源。，錯誤!未找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。是二面角錯誤!未找到引用源。是直二面角,

又錯誤!未找到引用源。二面角錯誤!未找到引用源。是直二面角,

錯誤!未找到引用源。，又錯誤!未找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。，

又錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。.

錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到

引用源。.

（II）作錯誤!未找到引用源。，垂足為錯誤!未找到引用源。，連

結(jié)錯誤!未找到引用源。（如圖），則錯誤!未找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。是異面直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!

未找到引用源。所成的角.在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到

引用源。，錯誤!未找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。.又錯誤!未找到引用源。.錯誤!未找到引用

源。在錯誤!未找到引用源。中，錯誤!未找到引用源。.

錯誤!未找到引用源。異面直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找

到引用源。所成最大角的正切值為半

（III）由（I）知，錯誤!未找到引用源。平面錯誤!未找到引用源。,

錯誤!未找到引用源。是錯誤!未找到引用源。與平面錯誤!未找到引用

源。所成的角，且錯誤味找到引用源。.

當錯誤!未找到引用源。最小時，錯誤!未找到引用源。最大，

這時，錯誤!未找到引用源。，垂足為錯誤!未找到引用源。，錯誤!

未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。,

錯誤!未找到引用源。與平面錯誤!未找到引用源。所成角的最大

值為錯誤!未找到引用源。.

解法二：

(I)同解法一.

(II)建立空間直角坐標系錯誤!未找到

引用源。，如圖，則錯誤!未找到引用源。，錯

誤!未找到引用源。，錯誤味找到引用源。，錯

誤味找到引用源。，

錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。,

錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。.

錯誤!未找到引用源。異面直線錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找

到引用源。所成角的大小為錯誤!未找到引用源。.(III)同解法一

10、如圖，已知四棱錐PdBCD,底面ABCD

為菱形,%_!_平面八BC。，錯誤!未找到引

用源。，邑F分別是8Gpe的中點.

(I)證明：AE±PD;

(11)若H為PD上的動點,EH與平面PAD

所成最大角的正切值為錯誤!未找到引用源。，求二面角E—AF—C的

余弦值.

(I)證明：由四邊形ABCD為菱形，ZABC=60°,可得△ABC為正

三角形.因為E為8C的中點，所以八ELBC.又BC//AD,因

此4E_LZD.因為以_L平面ABCD,AE錯誤!未找到引用源。平面ABCD,

所以PA±AE.

而PA錯誤!未找到引用源。平面PAD,AD錯誤!未找到引用源。

平面外。且%GAD",所以AEJ_平面外D,又PD錯誤!未找到引

用源。平面外D.所以AE1PD.

二：由（I）知4E,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立

如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以

E、F分別為BC、PC的中點，所以

A（0,0,0）,B（錯誤!未找到引用源。，?1,

0）,C（C,1,0）,

D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（錯誤!未找到引用源。，0,0）,

F（錯誤!未找到引用源。）,

所以錯誤!未找到引用源。

設(shè)平面AEF的一法向量為錯誤!未找到引用源。則錯誤!未找到引

用源。因此錯誤味找到引用源。

取錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。因為BDLAC,BD

±PA,PAQAC=A,所以BDJ_平面4FC,

故錯誤!未找到引用源。為平面AFC的一法向量,又錯

誤!未找到引用源。=（■錯誤!未找到引用源。）,所以cos<m,錯誤!

未找到引用源。>二錯誤!未找到引用源。V因為

二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的\\余弦

值為錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。

11V如圖，在三棱錐P-ABC中,PAL底面

ABC,PA=AB.ZABC=60°,N8cA=90°,

點O,E分別在棱上，且DE〃BC

(I)求證：3C_L平面PAC;

(II)當。為P3的中點時，求AO與平面PAC所成的角的大??；

(III)是否存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由.

【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二

面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.

(III)VAE//BC,又由(I)知，BC_L平面PAC,?,.DE_L平面

PAC,又TAEu平面PAC,PEu平面PAC,ADE1AE,DE1PE,/.Z

AEP為二面角A-OE-尸的平面角，?.?PAJ_底面ABC,APA1AC,/.

ZPAC=90°.

???在棱PC上存在一點E,使得AE_LPC,這時NAEP=90;故存在點E

使得二面角A-DE-尸是直二面角.

【解法2］如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系人-孫z,PA=a,

由已知可得

A(0,0,0),B-?,oV(O,O,67).

\7\7

(I)VAP=(0,0,?),BC=f1^0,0>,

ABCAP=0,???BC_LAP.又「N8C4=90",/.BC±AC,??.8(：_1_平

面PAC.

（II）???D為PB的中點，DE//BC,，E為PC的中點,

??.心,&”,』。,&",J又由（I）知，BC_L平面PAC,

I442JI42J

??????DEL平面PAC,垂足為點E.

JZDAE是AD與平面PAC所成的角，：

/.cosZDAE=ADAE=半.??.4）與平面PAC所成的角的大小

4

V14

aruuos-----.

4

（III）同解法L

12、如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2,

BD=V2,AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.（I）求二面角B

—AF—D的大小;

（ID求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、

相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想

象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能

力。本小題滿分13分。

解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心0,過0作0GLAF,

G為垂足。連接BG、DGo由BD1AC,BD_LCF得BD,平面ACF,故

BDlAFo

于是AF_L平面BGD,所以BG_LAF,DG1AF,NBGD為二面角B—AF

-D的平面角。

由FC±AC,FC=AC=2,^FAC=-0G=—

4f2

^OBLOG,OB=OD^—,得NBGD=2NBG0=%

22

（向量法）以A為坐標原點，而、AC.而方向分別為x軸、y軸、

z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）

設(shè)平面ABF的法向量I=（x,y,z）,則由?竺二°得【一等"）"。令

…1+2z=0

z=i,得/瘦,〃]=（-7^,-1,1）

[y=T

同理，可求得平面ADF的法向量鼠=（應(yīng),-1,1）。由展區(qū)=0知,

平面ABF與平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于g。

2

（II）連EB、EC、ED,設(shè)直線AF與直線CE相交于點H,則四棱錐E-ABCD

與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCDo

過H作HP_L平面ABCD,P為垂足。

因為EA_L平面ABCD,FC_L平面ABCD,,所以平面ACFE_L平面ABCD,

從而尸

由勘景箱卷5得八I。

又因為無形『《AC?如血,

故四棱錐H-ABCD的體積菱形"?"尸二平

13、如圖6,ABCD-AACR是棱長為6的正方體,E、尸分別是棱48、

3C上的動點，且

⑴求證：A/_LGE;

⑵當凡、E、F、G共面時，求：

①R到直線GE的距離；

②面A.DE與面C.DF所成二面角的余弦

值.

解：⑴以。為原點，DA.DC、?？谒谥本€分別為人軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標系.1分，則A（6,0,6）、G（0,6,6）,設(shè)AE=m,

貝ljE（6,6，0）,F（6-m.6,0）........2分,從而乖=（一加，6,—6）、

殺=（6,機-6,-6）.........3分，直接計算知乖.彳=0,所以

\FLC.E........5分.

⑵①當A、E、F、G共面時，因為底面A8CD//A心CQ，所以

ACJ/EF6分，所以EF7/AC,從而E、尸分另IJ是AB、8C的中點

7分，設(shè)A到直線6上的距離為〃，在ACQE中，C,E=>/62+62+32=9,

C1Exh=C1DixBCLf解得力=4后……9分.

22

②由①得，E(6,3,0)、F(3,6,0),設(shè)平面AQ七的一個法向量為

~*/+口h-〃i?DE—6a+3b—0,八/1匚廣?、(

4=3,仇c),依遨思_....10分，所以

/?)?DA]=6a+6c=0

1=(-1,2,1).........11分，同理平面C[DF的一個法向量為

%=(2,-LD13分，由圖知，面AOE與面GDF所成二面角的余

弦值cos*匕1吧(即*乙)??????14分.

|4|?|〃2I23

14.(本題滿分14分)

如圖，已知七，尸分別是正方形ABCD邊BC、C。的中點，EF與AC交

于點。，

以、NC都垂直于平面"CD,且"=AB=4,NC=2,M是線段以

上一動點.

(I)求證：平面叢CJ?平面也產(chǎn)；

(II)若PC〃平面MEF,試求的值；

(IID當〃是以中點時，求二面角加一所-N的余弦值.

p

解：法1:(I)連結(jié)8。,

PA_L平面ABC。，8￡>u平面A8CD,/.PA1

又BDLAC,AC"A=A,

%)_L平面PAC,

又?:E,R分別是BC、8的中點，

??.所，平面PAC,又EFu平面NEF,

：.平面PAC.L

-------------------------------------------------------------------4分

(II)連結(jié)。”，

?.?尸。〃平面ME/"平面PACD平面

.?.PC//OM,

PM0cl

~PA~~AC~^故PA7:M4=1:3

8分

(III)???M,平面PAC,OMu平面PAC,：.EF1OM9

在等腰三角形NE/中，點。為所的中點，???NOJ.

JWON為所求二面角M—EF—N的平面角

------------------------------------------------------IO分

?點"是心的中點，.?.AM=NC=2,

所以在矩形"NGA中，可求得MN=AC=4也，NO=R,MO=厄,

----------12分

八,"MO2+ON2-MN25/33

cos4MON-----------------=------

在AMQV中，由余弦定理可求得2MOON33,

.??二面角M-EF-N的余弦值為

V33

一方.-----------------14分

法2：(I)同法1；

(H)建立如圖所示的直角坐標系，則尸(°，°，外，C(440),4420),

F(2,4,0),

?-?PC=(4,4,-4)，EF=(-2,2,0)，

設(shè)點M的坐標為(o,o，〃2),平面“斯的法向量為萬=*，y，z),則

ME-(4,2,-ni),

n?ME=°j4x+2y-Anz=06

所以［/喬=0,即［_2x+2y=°,令x=l,則>=1,*而，

=(1,1,—)—.一4+4--=0

故相，?.?PC〃平面M砂，...尸。〃=。，即m，解得機=3,

故AM=3,即點〃為線段由上靠近尸的四等分點；故PM:也4=1:3

--------8分

(III)M4,4,2),則前=(022),設(shè)平面NEF的法向量為j=(瑪"z),

m-EN=0

V

則［而.麗=0,即,

則y=i,z=-i,i

當M是叫中點時

--i+i

cos<m,n>=廠

回

???二面角M-M-N的余弦值為-3T.14分

15、（本小題滿分14分）如圖，圓柱的高為2,

底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線，B、C

是下底面圓周上的兩點，已知四邊形ABCD是正方

形。

（I）求證：BC上BE;

（口）求正方形ABCD的邊長;

（III）求直線EF與平面ABF所成角的正弦值。

解：（1）???AE是圓柱的母線，AE1.底面

BEFC,……1分

又BCu面BEFC

/.AE±BC……2分

?.?又.「ABCD是正方形/.AB±BC

又AEryAB=A.??BC1.面

ABE.....3分

又BEu面ABE

???BCLBE4分

(2)?.?四邊形AEFD為矩形，且ABCD是正方形/.EF//BC

"C_L5E.?.四邊形EFBC為矩形/.BF為圓柱下底面的直徑

1分

設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則AD=EF=AB=x

在直角AAEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB?,得BE2=-_4

在直角^BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2，的

BE2=36-X2……2分

解得工=2上，即正方形ABCD的邊長為

2如……3分

(3)解法一：如圖以F為原點建立空間直角

坐標系，

則A(2^/5,0,2),B(

FA=(2V5,0,2)，麗=(

FE=(2V5,0,0)……1分

設(shè)面AEF的法向量為九=(x,j,z)，則

n?FA=(x,y,z)?(2、區(qū)0,-2)=2A/5X-2z=0

ifFB=(x,y,z)?(275,4,0)=2V5x-4y=0

...3分

1,M括)

令x=l,則y==返,即〃=(

2

4分

設(shè)直線E尸與平面ABP所成角的大小為e,則

sin”|COS<n,EF>|=|^^|---------半_-=梁……6分

1f2AM工

所以直線M與平面AB尸所成角的正弦值為

2a

7分

29

解法二：如圖以E為原點建立空間直角坐標系,

則A(0,0,2),B(4,0,0)

,.F(0,275,0)

~BF=(-4,2V5,0),AF=(0,275,-2)

~EF=(0,2V5,0)……1分

設(shè)面AEF的法向量為九=(x,j,z)，則

n?AF=(x,y,z)?(0,2-75,-2)=2V5y-2z=0

n?BF=(x,y,z)?(-4,275,0)=2\/5y-4x=0

分

令…，則x。,",即1（手，i,括）

4分

設(shè)直線E尸與平面ABP所成角的大小為e,則

sin”|COS<n,EF>|=|^^|---------半_-=梁……6分

1f2AM工

所以直線M與平面AB尸所成角的正弦值為

2A/29

7分

29

16、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A5CD為菱形，NR4O=6(f,

。為A0的中點。

(1)若PA=PD,求證：平面PQB_L平面PAD;

(2)點M在線段PC上，PM=tPC,試確定/的值，使PAH平面MQB；

(3)在(2)的條件下，若平面外。，平面ABCD,且PA=P￡)=A￡)=2,

求二面角M-8Q-C的大小.。

解：(1)連BD,四邊形ABCD菱形，VAD1AB,ZBAD=60°

△ABD為正三角形，Q為AD中點，AADlBfiZ

VPA=PD,Q為AD的中點,AD1PQ

又BQGPQ=Q?'?AD_L平面PQB,ADu平面C

???平面PQB_L平面PAD

B

(2)當f=g時，E4〃平面MQ8

卜'面證明，若PA〃平面MQ5,連AC交BQ于N

由4Q〃5c可得，MNQsABNC,/.^=—=1

BCNC2

???E4〃平面MQB,%u平面PAC,平面PACD平面MQBtMN，

:.PA//MN

PMAN1nn.,1

---=---=—艮J:PpM=-PC

PCAC333

(3)由PA二PD二AD=2,Q為AD的中點，則PQ_LAD。

又平面PAD_L平面ABCD,所以PQ_L平面ABCD,

以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x,y,z軸，

建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為A(L0,0),B(0,73,0),

Q(0,0,0),P(0,0,6)

設(shè)平面MQB的法向量為；；=(蒼y,l),可得

n-QB=0:慧,解得2,?！?

nMN=G

取平面ABCD的法向量正=(0,0J)

C

cos<〃?,〃>=g,故二面角M-8Q-C的大小為60,

17.在棱長為。的正方體ABCD—ABCR中，E是線段AC；中

點，ACQBD=F.

(I)求證：CE_L3O;(II)求證：CE〃平面A8D;

(III)求三棱錐ABC的體積.

解:(I)證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)5。_ac,

因為一劌_平面X8CZ),BDu平面XBCZ),所以BD_?必，又AC。兒*=A

所以_平面，eg4，CE二平面aCGd，所以CE_SQ；

(II)證明：連接4F，

因為a*BB，CG,=BB[=CCi>

所以ACC^為平行四邊形，因此4Gac，9G=AC

由于E是線段dG的中點，所以CEFA，因為五&u面45。，CEH平面450,

所以?！?〃平面4.BD

解：(I)證明：???AO_L平面ABE,ADHBC

：.BC1平,貝ljAE±BC--------2分

又???B/_L平面ACE,^\AE±BF

??.AE_L平面BCE-----------------4分

(II)證明：依題意可知：G是AC中點

?.?8/_1平?4?！曦?［。石_1_8/，1^BC=BE

J尸是EC中點----------------6分

在A4EC中，F(xiàn)G//AE

/.AE〃平面8/￡>---------8分

(III)解：???AE//平面BF￡>

AAE//FG,而4E_L平面BCE

：?FG_L平面BCEJFGlTffiBCF----10分

???G是4c中點

.?.尸是CE中點/?FGHAE^FG=-AE=\

2

???平面ACE

BFICE

，R/ABCE中，BF=CF=-CE=41

2

:?S&cFB=；?應(yīng),叵=1------12分

,?VJBFG=VG-BCF-5.S^CFB.FG=-1

19、如圖，已知尸AJL。。所在的平面，48是。。的

直徑，AB=2,C是(DO上一點，且AC=/C,PC

與。0所在的平面成45。角，E1是尸C中點.F為

PB中點.

(I)求證：EF〃面ABC；

(II)求證：EF_L面尸AC；(III)求三棱錐B-PAC的體積.

(I)證明：在三角形PBC中，E是PC中點.F為PB中點

所以EF//BC,3Cu面ABC,EF(Z面ABC

所以〃面ABC...4分

PA_L

(II).=>BC1PA(1)

BCu\S\ABC

又AB是。。的直徑，所以8C_LAC...(2)...7分

由(1)(2)得5CJ_面PAC......8分

因EF//BC8CJ.面PAC,所以七尸！.面PAC...9分

(III)因叢JL0O所在的平面，AC是PC在面ABC內(nèi)的射影，「.ZPCA即

為PC與面ABC所成角,NPCA=45°,PA=AC......

11分

在中，E是尸C中點，^BAC=-,AC=BC=y[2...12分

4

1/y

^B-PAC=^P-ABC=§S^BCPA=?,T4分

20、一簡單組合體的一個面ABC內(nèi)接于圓0,AB是圓。的直徑，四

邊形DCBE為平行四邊形，且DCJ_平面ABC.

(1)證明：平面ACDJ.平面ADE;

⑵若AB=2,8C=1…㈤5邛，試求該簡單組合體的體積V.

解：（1）證明:

DC平面ABC,8Cu平面ABC

DCLBC.2分

VAB是圓0的直徑.二BC±AC^DCnAC=C

/.1平面

ADC.------------------------------------------------------------------------4分

???四邊形DCBE為平行四邊形ADE//BC

JOE_L平面ADC

6分

E

—AC-BC,EB=-----------134r

62

，該簡單幾何體的體積V=1

解法2:將該簡單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直為三棱柱48分

A.0

如圖,.,43=2,BC=1,tanZE4B=—=—

AB2

/.BE=6AC7AB2-B（：2=6---------------------10分

.?V=^ACB-FDE~^E-ADF~SMCBDC—^S戰(zhàn)0cDE

分

=-ACCBDC--AC-DCDE

26

=—x-s/3xlxV3--xV3x^xl=l------------------------------------------------------14分

26

21、如圖平面ABCD_L平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形,

KAF=1AD=2,G是EF的中點，

2

（1）求證平面AGCJ_平面BGC；

（2）求空間四邊形AGBC的體積。

（I）證明：???點G是正方形ABEF的邊EF的中點。

/.AG=BG=V22+22=272

從而得：AG2+BG-=AB2,..AG.LBG.又因為:平面ABCD_^

面ABEF,且CD_LAB,所以，8_L平面ABEF,得CB_LAG,/.AG_L

平面BCG,又因為直線AG在平面AGC內(nèi)，故：平面AGC,平

jBGC0000000000000007分

（2）解：由（1）得知：直線CBJL平面ABEF,所以，CB是四面體

AGBC的高，而：5MBC=^X2V2X2V2=4,所以，

%=gx4x4若...............14分

22、正方形ABCD的邊長為1,分別取邊BC,CD的中點E