高中數(shù)學 3-3-1 幾何概型能力強化提升 新人教A版必修3

【成才之路】高中數(shù)學3-3-1幾何概型能力強化提升新人教A版必修3一、選擇題1．下列關(guān)于幾何概型的說法中，錯誤的是()A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的位置或形狀無關(guān)C．幾何概型在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個D．幾何概型中每個結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性[答案]A[解析]幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型．幾何概型中的基本事件有無限多個，古典概型中的基本事件有有限個．2．(～·江蘇連云港模擬)如下四個游戲盤(各正方形邊長和圓的直徑都是單位1)，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎．小明希望中獎，則應選擇的游戲盤是()[答案]A[解析]P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1－\f(π,4),1)＝1－eq\f(π,4)，P(D)＝eq\f(1,π).則P(A)最大，故選A.3．(～·廣東模擬)一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體六個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,27) D.eq\f(27,64)[答案]A[解析]根據(jù)幾何概型知識，概率為體積之比，即P＝eq\f(4－23,43)＝eq\f(1,8)，選A.4．如圖，在正方形圍欄內(nèi)均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(2,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)[答案]B[解析]設事件A＝{小雞正在正方形的內(nèi)切圓中}，則事件A的幾何區(qū)域為內(nèi)切圓的面積S＝R2(2R為正方形的邊長)，全體基本事件的幾何區(qū)域為正方形的面積，由幾何概型的概率公式可得P(A)＝eq\f(πR2,2R2)＝eq\f(π,4)，即小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率為eq\f(π,4).5．在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取點則該點落在三棱錐A1－ABCA.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]體積型幾何概型問題．P＝eq\f(VA1－ABC,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(1,6).6．如圖，在一個邊長為a，b(a＞b＞0)的矩形內(nèi)畫一個梯形，梯形上、下底分別為了eq\f(a,3)與eq\f(a,2)，高為b.向該矩形內(nèi)隨機地投一點，則所投的點落在梯形內(nèi)部的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,4)C.eq\f(5,12) D.eq\f(7,12)[答案]C[解析]S矩形＝ab.S梯形＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(1,2)a))b＝eq\f(5,12)ab.故所投的點落在梯形內(nèi)部的概率為P＝eq\f(S梯形,S矩形)＝eq\f(\f(5,12)ab,ab)＝eq\f(5,12).7．(～·山東濟南模擬)在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,10)C.eq\f(π,20) D.eq\f(π,40)[答案]A[解析]設在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內(nèi)，則有0≤a2＋b2≤1.如上圖，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為邊長為1的正方形，滿足a2＋b2在[0,1]內(nèi)的點在eq\f(1,4)單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(π,4).8．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f(24,25)，則河寬為()A．16m B．20mC．8m D．10m[答案]B[解析]物品在途中任何一處丟失的可能性是相等的，所以符合幾何概型的條件．找到的概率為eq\f(24,25)，即掉到河里的概率為eq\f(1,25)，則河流的寬度占總距離的eq\f(1,25)，所以河寬為500×eq\f(1,25)＝20(m)．二、填空題9．在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為________．[答案]eq\f(1,3)[解析][－1,2]的長度為3，[0,1]的長度為1，所以所求概率是eq\f(1,3).10．在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為________．[答案]0.005[解析]大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是任意的，且結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)＝eq\f(2,400)＝0.005.11．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是________．[答案]eq\f(\r(3)π,6)[分析]解答本題從正面考試較繁瑣，所以從反面來解答，先計算事件“使點P到三個頂點的距離都大于1”的概率，利用對立事件的概率公式計算．[解析]邊長為2的正三角形ABC內(nèi)，到頂點A的距離等于或小于1的點的集合為以點A為圓心，1為半徑，圓心角為∠A＝60°的扇形內(nèi)．同理可知到頂點B、C的距離等于或小于1的點的集合．故使點P到三個頂點的距離都大于1的概率為eq\f(\f(1,2)×2×\r(3)－3×\f(1,6)×π×12,\f(1,2)×2×\r(3))＝1－eq\f(\r(3)π,6)，故所求的概率為1－(1－eq\f(\r(3)π,6))＝eq\f(\r(3)π,6).12．在一個球內(nèi)挖去一個幾何體，其三視圖如圖．在球內(nèi)任取一點P，則點P落在剩余幾何體上的概率為________．[答案]eq\f(53,125)[解析]由三視圖可知，該幾何體是球與圓柱的組合體，球半徑R＝5，圓柱底面半徑r＝4，高h＝6，故球體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)，圓柱體積V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝eq\f(\f(500π,3)－96π,\f(500π,3))＝eq\f(53,125).三、解答題13．一個路口的紅綠燈，紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒(沒有兩燈同時亮)，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈．[解析]在75秒內(nèi)，每一時刻到達路口是等可能的，屬于幾何概型．(1)P＝eq\f(亮紅燈的時間,全部時間)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5)；(2)P＝eq\f(亮黃燈的時間,全部時間)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15)；(3)P＝eq\f(不是紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(黃燈或綠燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).14．在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架貯藏石油，假設在這個海域里隨意選定一點鉆探，則鉆到油層面的概率是多少？[分析]石油在1萬平方千米的海域大陸架中的分布可以看作是隨機的，而40平方千米可看作事件的區(qū)域面積，由幾何概型公式可求得概率．[解析]記事件C＝{鉆到油層面}，在這1萬平方千米的海域中任意一點鉆探的結(jié)果有無限個，故屬于幾何概型．事件C構(gòu)成的區(qū)域面積是40平方千米，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是1萬平方千米，則P(C)＝eq\f(貯藏石油的大陸架面積,所有海域大陸架的面積)＝eq\f(40,10000)＝0.004.15．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，M②求四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何圖形分析出概率模型．[解析]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1，設M－ABCD的高為h則eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h<eq\f(1,6)，又S四邊形ABCD＝1，則h<eq\f(1,2)，即點M在正方體的下半部分．故所求概率P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).16．(1)在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過該點作垂直于直徑的弦，其長度超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，以該點為中點作弦，問其長超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少？(3)在半徑為1的圓周上任取兩點，連成一條弦，其長超過該圓內(nèi)接正三角形邊長eq\r(3)的概率是多少？[解析](1)設事件A＝“弦長超過eq\r(3)”，弦長只與它跟圓心的距離有關(guān)，∵弦垂直于直徑，∴當且僅當它與圓心的距離小于eq\f(1,2)時才能滿足條件，由幾何概率公式知P(A)＝eq\f(1