北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題含答案-2022年

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試卷2022年7月一、單選題1．下列方程是一元二次方程的是（

）A．B．C．D．2．方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定3．正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對(duì)邊分別平行且相等B．兩組對(duì)角分別相等C．相鄰兩角互補(bǔ)D．對(duì)角線相等4．用配方法解方程，正確的是（

）A．B．C．D．5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，若∠BAO=55°，則∠AOD等于（）A．105°B．110°C．115°D．120°6．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：…5.175.185.195.2……－0.03－0.010.010.04…判斷方程（，、、為常數(shù)）一個(gè)解的取值范圍是（

）A．B．C．D．7．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足的條件是（

）A．B．且C．且D．8．如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接、、．若，則（

）A．3B．4C．5D．6二、填空題9．方程的解是______．10．把方程化成一般形式______．11．一個(gè)口袋中有3個(gè)紅球、7個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，這個(gè)球是紅球的概率是______．12．若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是1，則______．13．如圖在中，，的平分線交于點(diǎn)，，則點(diǎn)到的距離是______．14．某種水果的原價(jià)為30元/箱，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后的售價(jià)為15元/箱．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意列方程是______．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝4，則△CEF的周長為____．16．已知方程的兩根為和，且，則______．三、解答題17．解方程：（用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?）．（2）（3）18．新華商場為迎接家電下鄉(xiāng)活動(dòng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)價(jià)為2500元，市場調(diào)研表明；當(dāng)銷售價(jià)定為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？19．小明和小亮是一對(duì)雙胞胎，他們的爸爸買了兩套不同品牌的運(yùn)動(dòng)服送給他們，小明和小亮都想先挑選．于是小明設(shè)計(jì)了如下游戲來決定誰先挑選．游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的袋子里裝有除數(shù)字以外其它均相同的4個(gè)小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．一人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，另一人再從袋中剩下的3個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球．若摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明先挑選；否則小亮先挑選．(1)用樹狀圖或列表法求出小明先挑選的概率；(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說明理由．20．如圖1，在中，，求作菱形，使點(diǎn)在邊上，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在上．小明的作法：①如圖2，在邊上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．②以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)．③在上截取，連接，則四邊形為所求作的菱形．證明：小明所作的四邊形是菱形21．.已知：在矩形中，是對(duì)角線，于點(diǎn)，于點(diǎn)；（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接.，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形面積的.22．如圖，矩形的頂點(diǎn)，分別在菱形的邊，上，頂點(diǎn)、在菱形的對(duì)角線上.

（1）求證：；

（2）若為中點(diǎn)，，求菱形的周長．23．如圖1，正方形中，、分別在、邊上，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，且；（1）求證：；（2）如圖2，以為邊作正方形，在的延長線上，連接，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；（3）如圖3，連接，交于點(diǎn)，求的度數(shù)．參考答案1．A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．【詳解】解：A、變形為，是一元二次方程；B、變形為，不是一元二次方程；C、分母中含有未知數(shù)，不是一元二次方程；D、當(dāng)a=0時(shí)，不是一元二次方程；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，解答時(shí)要先觀察方程特點(diǎn)，再依據(jù)以上四個(gè)方面的要求進(jìn)行有針對(duì)性的判斷．2．C【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的值判斷方程根的情況．【詳解】解：∵△=，∴方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．3．D【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，即可判斷．【詳解】解：A、兩組對(duì)邊分別平行且相等，正方形和菱形都具有，故不符合；B、兩組對(duì)角分別相等，正方形和菱形都具有，故不符合；C、相鄰兩角互補(bǔ)，正方形和菱形都具有，故不符合；D、對(duì)角線相等，正方形具有，菱形不具有，故符合；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，熟練掌握正方形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．D【解析】【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，變形后開方即可求出解．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．5．B【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠BAO=∠ABO=55°，再依據(jù)三角形外角性質(zhì)可知∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，矩形中對(duì)角線互相平分且分成的四條線段都相等．6．C【解析】【分析】根據(jù)在5.18和5.19之間有一個(gè)值能使ax2+bx+c的值為0，于是可判斷方程ax2+bx+c=0一個(gè)解x的范圍．【詳解】解：由y=ax2+bx+c，得x＞5.17時(shí)y隨x的增大而增大，得x=5.18時(shí)，y=-0.01，x=5.19時(shí)，y=0.01，∴ax2+bx+c=0的近似根是5.18＜x＜5.19，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解，利用函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．7．B【解析】【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△＞0，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：a＜1且a≠0，故選B．8．A【解析】連接CM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CM，證明四邊形DCMN是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答．【詳解】解：連接CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，∴CM=AB=3，∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴MN=BC，MN∥BC，∵BC=2CD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四邊形DCMN是平行四邊形，∴DN=CM=3，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．x1=0，x2=-4【解析】【分析】利用平方根定義開方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【詳解】解：（x+2）2=4，開方得：x+2=2或x+2=-2，解得：x1=0，x2=-4．故答案為：x1=0，x2=-4．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-直接開平方法，利用此方法解方程時(shí)，方程左邊整理為完全平方式，右邊合并為一個(gè)常數(shù)，利用平方根定義開方即可求出解．10．【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式的定義變形即可．【詳解】解：，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，去括號(hào)的過程中要注意符號(hào)的變化，不要漏乘，移項(xiàng)時(shí)要注意符號(hào)的變化．11．【解析】【分析】由一個(gè)口袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，這些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵一個(gè)口袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，這些球除色外都相同，∴從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，這個(gè)球是紅球的概率是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12．1【解析】【分析】將x=1代入方程，變形可得m-n的值．【詳解】解：∵方程有一個(gè)根是1，則，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的解的含義．13．2【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，可得點(diǎn)D到AB的距離=點(diǎn)D到AC的距離=CD=2．【詳解】解：由角平分線的性質(zhì)，得點(diǎn)D到AB的距離=CD=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到D到AB的距離即為CD長是解決的關(guān)鍵．14．30（1-x）2=15【解析】【分析】可先表示出第一次降價(jià)后的價(jià)格，那么第一次降價(jià)后的價(jià)格×（1-降低的百分率）=15，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為30×（1-x），兩次連續(xù)降價(jià)后售價(jià)在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降低x，則：30×（1-x）×（1-x），則列出的方程是30（1-x）2=15．故答案為：30（1-x）2=15．【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．15．8【解析】【詳解】試題解析：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE．∴EC=FC=9-6=3，∴AB=BE．∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4可得：AG=2，又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周長等于16，又∵?ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長為816．5【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到=-1，然后解關(guān)于m的方程即可得到滿足條件的m的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：a+b==-1，解得：m=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．17．（1）x1=，x2=；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解；（3）先化為一般式，然后利用公式法求解．【詳解】解：（1），∵a=1，b=-4，c=2，∴△==8，∴x=，∴x1=，x2=；（2），∴，∴1-2x=0，3x+5=0，∴x1=，x2=；（3），變形可得：，∵a=3，b=，c=-1，∴△==14，∴x=，∴x1=，x2=．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法．18．2750元【解析】【分析】設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，根據(jù)題目中的等量關(guān)系“每臺(tái)冰箱的利潤×銷售的數(shù)量=總利潤”可列方程，解得x即可．【詳解】解：設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，根據(jù)題意，得解這個(gè)方程，得，定價(jià)=2900-150=2750（元）

因此，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為2750元．19．(1)見解析，；(2)不公平，見解析【解析】【分析】（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率即可；（2）求出小明、小亮獲勝的概率即可．(1)解：根據(jù)題意可列表或樹狀圖如下：第一次第二次12341(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)(2，3)(2，4)3(3，1)(3，2)(3，4)4(4，1)(4，2)(4，3)從表可以看出所有可能結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同，符合條件的結(jié)果有8種，∴P（和為奇數(shù)）；(2)解：不公平．∵小明先挑選的概率是（和為奇數(shù)），小亮先挑選的概率是（和為偶數(shù)），，∴不公平．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求簡單隨機(jī)事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．20．見解析【解析】【分析】根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【詳解】證明：由作圖可知：DE=DG，EF=DE，∴DG=EF，∵DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵DG=DE，∴四邊形DEFG是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，作圖-復(fù)雜作圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定定理．21．（1）詳見解析；（2）的面積的面積的面積的面積矩形面積的．【解析】【分析】（1）結(jié)合矩形的性質(zhì)和已知條件可證，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即知，此題得證；（2）可利用直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半確定三角形的面積與矩形的面積之間的等量關(guān)系..【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：的面積的面積的面積的面積矩形面積的．理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴的面積矩形的面積，∵，∴的面積矩形的面積；作于，如圖所示：∵，∴，∴的面積矩形的面積，同理：的面積矩形的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，靈活應(yīng)用矩形的性質(zhì)證全等，熟練掌握直角三角形角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22．（1）證明見解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接EG，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE是平行四邊形，得到AB=EG，于是得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）連接EG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E為AD中點(diǎn)，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四邊形ABGE是平行四邊形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周長=8．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別作圖是解題的關(guān)鍵．23．（1）見解析；（2）BF=DH，BF⊥DH，理由見解析；（3）45°【解析】【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形知AB=BC，∠ABE=∠C=90°，利用“HL”證Rt△ABE≌Rt△BCF即可得；（2）延長BF交DH于點(diǎn)K，先證△BCF≌△DCH得BF=DH，∠CBF=∠CDH，由∠CDH+∠CHD=90°知∠CBF+∠CHD