高考數(shù)學（文）一輪復(fù)習課時跟蹤檢測（五十一）古典概型（普通高中）

課時跟蹤檢測（五十一）古典概型(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎(chǔ)小題練熟練快1．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)解析：選C∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機密碼只有1種，∴所求概率P＝eq\f(1,15).2．為加強大學生實踐、創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學改革，教育部門主辦了全國大學生智能汽車競賽．該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序．通過預(yù)賽，選拔出甲、乙、丙三支隊伍參加決賽，則決賽中甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位出場的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,8)解析：選B基本事件空間包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”，共6個，設(shè)“甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位出場”為事件A，則事件A包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，共2個，則P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位出場的概率為eq\f(1,3).3．在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：選B如圖，在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).4．(2018·山西四校聯(lián)考)甲、乙兩人有三個不同的學習小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：選A∵甲、乙兩人參加學習小組的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個，其中兩人參加同一個小組的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3個，∴兩人參加同一個小組的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).5．已知集合A＝{－2，－1,1,2,3,4}，集合B＝{－3,1,2}，從集合A中隨機選取一個數(shù)x，從集合B中隨機選取一個數(shù)y，則點M(x，y)正好落在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,x＋y－4≤0))內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,18) D.eq\f(2,9)解析：選C易知總的基本事件共有18種可能，其中滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,x＋y－4≤0))的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共5種可能，由古典概型的概率計算公式可知所求概率P＝eq\f(5,18).6．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：選A設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，共12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，共4種情況，則所求概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).7．(2018·武漢調(diào)研)已知某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率都為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1，表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281據(jù)此估計，該射擊運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率為________．解析：∵4次射擊中有1次或2次擊中目標的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率P＝1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8．在集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(nπ,3)，n＝1，2，3，…，10))))中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cosx＝eq\f(1,2)的概率是________．解析：基本事件總數(shù)為10，滿足方程cosx＝eq\f(1,2)的基本事件為eq\f(π,3)，eq\f(5π,3)，eq\f(7π,3)，共3個，故所求概率P＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)9．已知一質(zhì)地均勻的正四面體，四個面分別標有1,2,3,4，拋擲兩次得到的點數(shù)分別為a，b，并記點A(a，b)，O為坐標原點，則直線OA與拋物線y＝x2＋1有交點的概率是________．解析：易知過點(0,0)與拋物線y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，點A的可能結(jié)果為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，由古典概型的概率計算公式知所求概率P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10．(2018·福州質(zhì)檢)從集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中隨機取一個點P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率為eq\f(6,25)，則k的最大值是________．解析：因為M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的個數(shù)為5×5＝25.因為xy＝1的情況有2種，xy＝2的情況有4種，xy＝4的情況有2種，所以要使xy≥k(k>0)的概率為eq\f(6,25)，需1<k≤2，所以k的最大值為2.答案：2B級——中檔題目練通抓牢1.在一次射擊考試中，編號分別為A1，A2，A3，A4的四名男生的成績依次為6環(huán)，8環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，編號分別為B1，B2，B3的三名女生的成績依次為7環(huán)，6環(huán)，10環(huán)，從這七名學生中隨機選出兩人，則這兩人射擊的環(huán)數(shù)之和小于15的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：選B事件的所有可能結(jié)果：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共21種情況，其中環(huán)數(shù)之和小于15的結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{B1，B2}，共7種情況，所以這兩人射擊的環(huán)數(shù)之和小于15的概率為eq\f(7,21)＝eq\f(1,3).2．(2017·長沙二模)一個不透明的袋子裝有4個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字0,1,2,2，現(xiàn)甲從中摸出1個球記下球上數(shù)字后放回，乙再從中摸出1個球，若誰摸出的球上的數(shù)字大則獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，則在甲獲勝的條件下，乙摸出的球上的數(shù)字為1的概率為()A.eq\f(5,16) B.eq\f(9,16)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：選D記甲摸出的球上的數(shù)字在前，乙摸出的球上的數(shù)字在后，則甲勝的情況有10,20,21,20,21，共5種，其中乙摸出的球上的數(shù)字為1的情況有2種，因此所求概率P＝eq\f(2,5).3．(2018·江南十校聯(lián)考)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)).定義映射f：M→N，則從中任取一個映射滿足由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為()A.eq\f(3,32) B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：選C∵集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，∴映射f：M→N有43＝64種，∵由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個映射滿足由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的6個面的中心分別為E，F(xiàn)，G，H，I，J，甲從這6個點中任選2個點連成直線l1，乙也從這6個點中選2個點連成與直線l1垂直的直線l2，則l1與l2解析：如圖所示，因為正方體6個面的中心構(gòu)成一個正八面體，所以甲、乙連成的兩條直線互相垂直的情況有：IJ⊥EF，IJ⊥GH，IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共15組，其中異面的有：IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共12組，故所得的兩條直線異面的概率P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)5．我們把形如“3241”形式的數(shù)稱為“鋸齒數(shù)”(即大小間隔的數(shù))，由1,2,3,4四個數(shù)組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則該四位數(shù)恰好是“鋸齒數(shù)”的概率為________．解析：通過畫樹狀圖可知，由1,2,3,4四個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有24個，四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231，共10個，所以四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的概率為eq\f(10,24)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)6．移動公司在國慶期間推出4G套餐，對國慶節(jié)當日辦理套餐的客戶進行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．國慶節(jié)當天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．解：(1)設(shè)事件A為“從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，則P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)事件B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2則P(B)＝eq\f(4,15).故這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率為eq\f(4,15).7．某校高三期中考試后，數(shù)學教師對本次全部數(shù)學成績按1∶20進行分層抽樣，隨機抽取了20名學生的成績?yōu)闃颖?，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：分數(shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]總計頻數(shù)b頻率a0.25(1)求表中a，b的值及成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)，并估計這次考試全校高三學生數(shù)學成績的及格率(成績在[90,150]內(nèi)為及格)；(2)若從莖葉圖中成績在[100,130)范圍內(nèi)的樣本中一次性抽取兩個，求取出兩個樣本數(shù)字之差的絕對值小于或等于10的概率．解：(1)∵由莖葉圖知成績在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[110,130)范圍內(nèi)的有3人，∴a＝0.1，b＝3.∵成績在[90,110)范圍內(nèi)的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)為20×0.4＝8，估計這次考試全校高三學生數(shù)學成績的及格率為p＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21個基本事件，設(shè)事件A＝“取出的兩個樣本中數(shù)字之差小于等于10”則A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10個基本事件，∴取出的兩個樣本數(shù)字之差的絕對值小于或等于10的概率P(A)＝eq\f(10,21).C級——重難題目自主選做(2018·湖南長郡中學月考)從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于155cm～195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155,160)、第二組[160,165)、第三組[165,170)、……、第八組[190,195]，下圖是按上述分組方法得到的