湖北省武漢市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷

2024~2025學(xué)年度武漢市部分學(xué)校高三年級九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法計算可得.【詳解】因為，所以,所以.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合和，然后，利用交集的運(yùn)算可得答案.【詳解】，，.故選：C3.展開式中含項的系數(shù)為（）A.420 B. C.560 D.【答案】D【解析】【分析】由二項展開式的通項公式解出r的值，進(jìn)而可得項的系數(shù).【詳解】由題意知，的二項展開式的通項公式為，令，得，故含項的系數(shù)為.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計算即可求解.【詳解】由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C5.某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出圓錐底面圓半徑，利用圓錐側(cè)面積公式及三角形面積公式列式計算即得.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，所以.該圓錐體積為故選：B6.已知且，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對進(jìn)行分類討論，可得答案.【詳解】的值域為，且，當(dāng)時，則，為增函數(shù)，，而時，為增函數(shù)，此時，，不符題意；當(dāng)時，則，為減函數(shù)，，而時，為減函數(shù)，此時，，因為的值域為，當(dāng)且僅當(dāng)時，滿足題意，此時，，則，整理得，，解得；綜上，時滿足題意.故選：A7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（）A.2 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式化簡得，結(jié)合題意得分母為偶函數(shù)，則，繼而即可求解.【詳解】，是上的奇函數(shù)，又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，，.故選：.8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到，代入橢圓的方程，得到，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由橢圓E:x2a不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，因為，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因為，可得，即，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，因為，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.某科技公司統(tǒng)計了一款A(yù)pp最近5個月的量如表所示，若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（）月份編號12345量（萬次）54.543.52.5A.與負(fù)相關(guān) B.C.預(yù)測第6個月的量是2.1萬次 D.殘差絕對值的最大值為0.2【答案】ACD【解析】【分析】對于A：根據(jù)回歸方程分析判斷；對于B：根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，運(yùn)算求解；對于C：根據(jù)回歸方程進(jìn)而預(yù)測；對于D：根據(jù)題意結(jié)合殘差的定義分析判斷.【詳解】對于A：因為，所以變量與負(fù)相關(guān)，故正確；對于B：，，，則，解得，故錯誤；對于C：當(dāng)時，，故可以預(yù)測第6個月的量約為2.1萬次，故正確；對于D：當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故殘差絕對值的最大值為0.2，故正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上的值域為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項即可得到結(jié)論．【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知：，又因為，即結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯誤；即所以,故B正確；所以．對于選項C：當(dāng)時，可得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于選項D：當(dāng)時，，所以，即，故D錯誤；故選：BC．11.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）A當(dāng)時，B.當(dāng)為正整數(shù)時，C.對任意正實數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個極大值點(diǎn)D.若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】對于A：根據(jù)題意求的解析式，即可判斷；對于B：利用累加法分析判斷；對于CD：分析可知當(dāng)時，，求得，利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)，舉反例說明C，根據(jù)極值點(diǎn)即可判斷D.【詳解】對于選項A：因為函數(shù)滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，故A錯誤；對于選項B：因為，且，則，，，，可得，所以，故B正確；對于選項CD：由選項A可得：當(dāng)時，，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個極大值點(diǎn)，即，例如當(dāng)，則，不合題意，故C錯誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點(diǎn)，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于CD：根據(jù)選項只需研究內(nèi)的極值點(diǎn)，得到其解析式的通式，進(jìn)而求得判斷其極值點(diǎn).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】，因為，所以，即，解得.故答案為：.13.若雙曲線的離心率為3，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意，焦點(diǎn)在軸上，；故答案為：14.兩個有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，若二面角的大小為，則的邊長為______．【答案】【解析】【分析】分析可知為外接球的直徑，做輔助線，可知，設(shè)，可得，結(jié)合兩角和公式列式求解即可.【詳解】由題意可知：外接球的球心，且平面，即為外接球的直徑，，設(shè)平面，可知為等邊的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，可知二面角的平面角為，設(shè)，則，，因為，即，又因為，且，則，解得，所以的邊長為.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題只說明兩個正三棱錐共底面，沒有說明兩個正三棱錐全等，不可以利用對稱性解題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面．（1）求的長；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)得，，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)得，，最后利用勾股定理求出線段長；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，最后再利用線面角的空間向量法即可得到答案.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連，，由，所以四邊形為平行四邊形，故.由平面，平面，有，所以.又，所以，又，平面，所以平面.由平面，所以.由平面，平面，有，故.又，故.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為，軸的正方向，以過且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由，得為正三角形，故.又，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，可得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）求導(dǎo)可得，分類討論的符號以及與0的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由題意可知：的定義域為，且，（i）若，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，再結(jié)合余弦定理解得，進(jìn)而可得面積.【小問1詳解】因，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.【小問2詳解】因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.已知平面內(nèi)一動圓過點(diǎn)，且該圓被軸截得的弦長為4，設(shè)其圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）梯形的四個頂點(diǎn)均在曲線上，，對角線與交于點(diǎn).（i）求直線的斜率；（ii）證明：直線與交于定點(diǎn).【答案】（1）（2）（i）2；（ⅱ）【解析】【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)題意結(jié)合弦長列式求解即可；（2）（i）設(shè)，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，求得，，根據(jù)斜率相等運(yùn)算求解即可；（ⅱ）分析可知直線與的交點(diǎn)即為直線與的交點(diǎn)，求直線的方程運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓心為，由題意可得：，整理可得，所以曲線的方程為.【小問2詳解】（i）由題意可知：直線的斜率不存在，且不為0，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可知直線，聯(lián)立方程，消去x可得，由題意可知：，即，且，可得，同理可得：，則，因為，則，即，整理可得，由題意可知：點(diǎn)不在直線上，則，即，可得，即，所以直線的斜率；（ii）由（i）可知：，則中點(diǎn)，又因為，即，則的中點(diǎn)，即直線，由梯形的性質(zhì)可知：直線與的交點(diǎn)即為直線與的交點(diǎn)，因為直線的斜率，則直線，令可得，即直線與直線交點(diǎn)為，所以直線與交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點(diǎn)問題.解法：設(shè)動直線方程（斜率存在）為由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動直線過定點(diǎn)；（2）動曲線C過定點(diǎn)問題.解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).2.求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論.19.有編號為的個空盒子，另有編號為的個球，現(xiàn)將個球分別放入個盒子中，每個盒子最多放入一個球．放球時，先將1號球隨機(jī)放入個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對應(yīng)編號的盒子中；若球的編號對應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機(jī)放入剩余空盒子中的其中一個．記號球能放入號盒子的概率為．（1）求；（2）當(dāng)時，求；（3）求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）分類討論1號球放入的盒子應(yīng)用全概率公式即可計算；（2）分類討論1號球放入的盒子應(yīng)用全概率公式即可計算；（3）分三類討論1號球放入的盒子，1號球放入號盒中等效于將編號為的球，按照題設(shè)規(guī)則放入編號為的盒中，做差運(yùn)算可得迭代得出結(jié)論..【小問1詳解】1號球放入1號盒中的概率為,此時2,3號球分別放入2,3號盒中；1號球放入2號盒中的概率為,欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號盒中，概率為,1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中;綜上所述：.【小問2詳解】1號球放入1號,4號，5號，,n號盒中的概率為，此時3號球可放入3號盒中;1號球放入2號盒中的概率為,欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號，4號，5號，....n號盒中，概率為,1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中;綜上所述：【小問3詳解】1號球放入1號，號，號，號，...,n號盒中的概率為,此時k號球可放入k號盒中：1號球放入號盒中的概率為,此時2號，3號，....號球都可以放入對應(yīng)編號的盒中，剩下