北京市第一次普通高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題

2024年北京市第一次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.考生要認真填寫考場號和座位序號.2.本試卷共6頁，分為兩部分：第一部分為選擇題，共60分；第二部分為非選擇題，共40分.3.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效，第一部分必須用2B鉛筆作答，第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答.4.考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷、答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回.第一部分（選擇題共60分）一、選擇題共20小題，每小題3分，共60分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合交集的概念與運算，即可求解.【詳解】集合，根據(jù)集合交集的運算，可得.故選：A.2.復(fù)數(shù)（）A.i B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的運算得答案.【詳解】.故選：D.3.函數(shù)的零點為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相應(yīng)函數(shù)的零點.【詳解】令，則，即函數(shù)的零點為0，故選：B4.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】,.故選：C.5.不等式的解集為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】由題意知，或，所以原不等式的解集為或.故選：D6.在空間中，若兩條直線與沒有公共點，則a與b（）A.相交 B.平行 C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷，即可得答案.【詳解】由題意知在空間中，兩條直線與沒有公共點，即與不相交，則a與b可能平行，也可能是異面直線，故選：D7.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象（）A.關(guān)于原點對稱 B.關(guān)于軸對稱C.關(guān)于軸對稱 D.關(guān)于直線對稱【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)上點的關(guān)系即可得函數(shù)圖象的關(guān)系.【詳解】當(dāng)時，與互為相反數(shù)，即函數(shù)與圖象關(guān)于軸對稱.故選：B.8.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)充分性和必要定義判斷求解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.9.故宮文創(chuàng)店推出了紫禁城系列名為“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款書簽，并隨機選擇一款作為紀(jì)念品贈送給游客甲，則游客甲得到“春”或“冬”款書簽的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)古典概型的計算公式求解即可.【詳解】由已知得隨機選擇一款作為紀(jì)念品贈送給游客甲有4種贈法，其中游客甲得到“春”或“冬”款書簽的有2種贈法，則游客甲得到“春”或“冬”款書簽的概率為.故選：A.10.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求值，即可得答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故由，得，故選：A11.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求角，即可得答案.【詳解】在中，，由余弦定理得,而A三角形內(nèi)角，故，故選：D12.下列函數(shù)中，存在最小值的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及值域分別判斷最小值即可.【詳解】單調(diào)遞減值域為,無最小值，A選項錯誤；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)取得最小值，B選項正確；單調(diào)遞增，值域為，無最小值，C選項錯誤；單調(diào)遞增，值域為,無最小值，D選項錯誤.故選:B.13.貿(mào)易投資合作是共建“一帶一路”的重要內(nèi)容.2013—2022年中國與共建國家進出口總額占中國外貿(mào)總值比重（簡稱占比）的數(shù)據(jù)如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4則這10年占比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后求中位數(shù)即可.【詳解】把這10年占比數(shù)據(jù)從小到大排列得，中位數(shù)為.故選：B14.若，則角可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)正切值求角即可.【詳解】,，觀察選項可得角可以為.故選：C.15.（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】.故選：B.16.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.17.如圖，在正方體中，為的中點.若，則三棱錐的體積為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用棱錐的體積公式計算.【詳解】因為面所以.故選：D.18.（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】按完全平方公式展開后，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【詳解】，故選：C19.已知，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先通過條件求出的范圍，再消去求范圍即可.【詳解】由得，所以，得，所以.故選：C.20.某校組織全校1850名學(xué)生赴山東曲阜、陜西西安和河南洛陽三地開展研究性學(xué)習(xí)活動，每位學(xué)生選擇其中一個研學(xué)地點，且每地最少有100名學(xué)生前往，則研學(xué)人數(shù)最多的地點（）A.最多有1651名學(xué)生 B.最多有1649名學(xué)生C.最少有618名學(xué)生 D.最少有617名學(xué)生【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出最多和最少的人數(shù)即可.【詳解】,，即研學(xué)人數(shù)最多的地點最少有617名學(xué)生，，即研學(xué)人數(shù)最多的地點最多有名學(xué)生.故選：D第二部分（非選擇題共40分）二、填空題共4小題，每小題3分，共12分.21.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,4)，則_______．【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)所過的點可得，即可求.【詳解】由題設(shè)，，可得.故答案為：22.已知，且，則________（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，，則，所以，即.故答案：<23.已知向量，其中.命題p：若，則，能說明p為假命題的一組和的坐標(biāo)為________，________.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【解析】【分析】直接根據(jù)可得答案.【詳解】讓即可，如，此時故答案為：（答案不唯一）.24.已知的，給出下列三個結(jié)論：①的定義域為；②；③，使曲線與恰有兩個交點.其中所有正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接觀察函數(shù)可得答案；②通過求出的最值即可；③將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)即可.【詳解】對于①：由恒成立得的定義域為，①正確；對于②：，②正確；對于③：令，變形得，作出函數(shù)的圖象如下圖：根據(jù)圖象可得在上單調(diào)遞增，故與只有一個交點，即不存在，使曲線與恰有兩個交點，③錯誤.故答案為：①②.三、解答題共4小題，共28分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.25.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】25.26.最大值為2，最小值為2【解析】【分析】（1）結(jié)合公式計算直接得出結(jié)果；（2）由題意求得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】由，知函數(shù)的最小正周期為；【小問2詳解】由，得，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即函數(shù)在上的最大值為2，最小值為2.26.閱讀下面題目及其解答過程.已知函數(shù).（1）證明：是偶函數(shù)；（2）證明：在區(qū)間上單調(diào)遞增.解：（1）的定義域為①________.因為對任意，都有，且②________，所以是偶函數(shù).（2）③________，且，因為，所以④________0，⑤________0，.所以，即.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.以上題目的解答過程中，設(shè)置了①～⑤五個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個正確，請選出你認為正確的選項，并填寫在答題卡的指定位置（只需填寫“A”或“B”），空格序號選項①A.B.②A.B.③A.任取B.存在④A.B.⑤A.B.【答案】ABABA【解析】【分析】根據(jù)的定義域以及函數(shù)奇偶性的定義可解答①②；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟方法，可解答③④⑤.【詳解】①由于的定義域為R，故A正確；②由于，故B正確；③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可知任取，故A正確；④因為，所以，故，故B正確；⑤因為，故，故，故A正確.27.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合線面垂直判定定理即可證明；（2）設(shè)AC與BD交于點O，連接OE，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明.小問1詳解】因為平面，平面，所以，又平面為菱形，所以，又平面，所以平面；【小問2詳解】E為PD的中點，設(shè)AC與BD交于點O，連接OE，則，又平面，平面，所以平面.28.已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)表由生成.①任意中有三個，一個3；②存在，使中恰有三個數(shù)相等.（1）判斷數(shù)表是否由生成；（結(jié)論無需證明）（2）是否存在數(shù)表由生成？說明理由；（3）若存在數(shù)表由生成，寫出所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由見解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)表滿足的兩個性質(zhì)進行檢驗，即可得結(jié)論；（2）采用反證的方法，即若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①推出對任意的，中均有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，則推出不滿足性質(zhì)②，即得結(jié)論；（3）判斷出的所有可能的值為3，7，11，一方面說明取這些值時可以由生成數(shù)表A，另一方面，分類證明的取值只能為3，7，11，由此可得所有可能的值.【小問1詳解】數(shù)表是由生成；檢驗性質(zhì)①：當(dāng)時，，共三個，一個3；當(dāng)時，，共三個，一個3；當(dāng)時，，共三個，一個3；任意中有三個，一個3；檢驗性質(zhì)②：當(dāng)時，，恰有3個數(shù)相等.【小問2詳解】不存在數(shù)表由生成,理由如下:若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①任意中有三個，一個3，則或1，總有與的奇偶性相反，類似的，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反；因為中恰有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，所以對任意的，中均有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，此時中至多有2個數(shù)相等，不滿足性質(zhì)②；綜上，不存在數(shù)表由生成；【小問3詳解】的所有可能的值為3，7，11.一方面，當(dāng)時，可以生成數(shù)表；當(dāng)時，可以生成數(shù)表；當(dāng)時，可以生成數(shù)表；另一方面，若存在數(shù)表A由生成，首先證明：除以4余3；證明：對任意的，令，則，分三種情況：（i）若，且，則；（ii）若，且，則；（iii）若，且，則；均有與除以4的余數(shù)相同.特別的，“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；類似的，“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；所以，存在，使得中恰有3個數(shù)相等的一個必