江西省九江市穩(wěn)派聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的虛部為（）A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.48 B.42 C.24 D.213.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.64.定義運(yùn)算：．已知，則（）A B. C. D.5.已知某地區(qū)高考二檢數(shù)學(xué)共有8000名考生參與，且二檢的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若成績(jī)?cè)?0分以下的有1500人，則可以估計(jì)（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B. C. D.0,47.已知圓臺(tái)的上?下底面的面積分別為，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)外接球的球心到上底面的距離為（）A. B. C. D.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.與有相同的最小值C.直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像10.已知函數(shù)，則（）A.1是的極小值點(diǎn)B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，11.已知正方體的體積為8，線段的中點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)在下底面內(nèi)（含邊界），動(dòng)點(diǎn)在直線上，且，則（）A.三棱錐的體積為定值B.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.不存點(diǎn)，使得平面D.四面體DEFG體積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則______.13.定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）的非空真子集，，且，那么稱(chēng)子集族構(gòu)成集合的一個(gè)劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在以為圓心?為半徑的圓上，且直線與圓相切，若直線與的一條漸近線交于點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知中，角所對(duì)的邊分別為，其中.（1）求值；（2）若的面積為，周長(zhǎng)為6，求的外接圓面積.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別在棱上，且四點(diǎn)共面.（1）證明：；（2）若，且二面角為直二面角，求平面與平面夾角的余弦值.17.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若直線與相切，且，求的值.18.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）記（1）中切線方程為，比較的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若時(shí)，，求的取值范圍.19.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿(mǎn)足.（1）若，在所有中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)列，記滿(mǎn)足的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足：若存在，則存在且，使得.（i）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）在所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列中，求使得成立的的最小值.數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)得，再根據(jù)虛部的定義即可求解．【詳解】，則所求虛部為.故選：A．2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.48 B.42 C.24 D.21【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，再由等差數(shù)列的求和公式即可求得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，故，則.故選：B.3.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)及百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選：C.4.定義運(yùn)算：．已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)定義得出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解．【詳解】依題意，，則，故.故選：D．5.已知某地區(qū)高考二檢數(shù)學(xué)共有8000名考生參與，且二檢的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若成績(jī)?cè)?0分以下的有1500人，則可以估計(jì)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一，求出，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，即可求得答案；解法二，求出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至95分的人數(shù)，由對(duì)稱(chēng)性，再求出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分的人數(shù)，即可求得答案.【詳解】解法一：依題意，得，故；解法二：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至95分的有人，由對(duì)稱(chēng)性，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分的也有2500人，故.故選：B.6.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B. C. D.0,4【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，列出相應(yīng)的不等式組，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹投际菧p函數(shù)，所以在?∞,1上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，要使其上單調(diào)遞減，則，所以，解得，故D正確.故選：D.7.已知圓臺(tái)的上?下底面的面積分別為，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)外接球的球心到上底面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓臺(tái)的側(cè)面積公式求出母線長(zhǎng)，再由勾股定理得到高即可計(jì)算；【詳解】依題意，記圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為，則，則，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則，解得，則圓臺(tái)的高，記外接球球心到上底面的距離為，則，解得.故選：C.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)聯(lián)立方程組的方法求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得.【詳解】依題意，拋物線，即，則，設(shè)，直線，聯(lián)立得，則.而直線，即，令，則，即，令，則，故，則，故.故選：C【點(diǎn)睛】求解拋物線的切線方程，可以聯(lián)立切線的方程和拋物線的方程，然后利用判別式來(lái)求解，也可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.求解拋物線與直線有關(guān)問(wèn)題，可以利用聯(lián)立方程組的方法來(lái)求得公共點(diǎn)的坐標(biāo).二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.與有相同的最小值C.直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)解析式可得與的最小值；對(duì)于C：代入求，結(jié)合最值與對(duì)稱(chēng)性分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)三角函數(shù)圖象變換結(jié)合誘導(dǎo)公式分析判斷.【詳解】因?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：的最小正周期，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：與的最小值均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知直線不為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則（）A.1是的極小值點(diǎn)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；通過(guò)證明得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理判斷選項(xiàng)C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，，令，解得或，故當(dāng)時(shí)f′x>0，當(dāng)x∈0,1時(shí)，f′x則在上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故1是的極小值點(diǎn)，故A正確：對(duì)于B，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，，易知的單調(diào)性一致，而，故有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，故，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知正方體的體積為8，線段的中點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)在下底面內(nèi)（含邊界），動(dòng)點(diǎn)在直線上，且，則（）A.三棱錐的體積為定值B.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.不存在點(diǎn)，使得平面D.四面體DEFG體積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由題意可證平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，據(jù)此判斷A；對(duì)于B，根據(jù)題意求出正方體邊長(zhǎng)及的長(zhǎng)，由此可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的方向向量，假設(shè)平面，則平面的法向量和的方向向量共線，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)是否滿(mǎn)足B中的軌跡即可；對(duì)于D，利用空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)到平面的距離，求出距離的最大值即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，連接、，依題意，，而平面平面，故平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱維的體積為定值，故正確；對(duì)于B，因?yàn)檎襟w的體積為8，故，則，而，故，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在底面內(nèi)的部分，即四分之一圓弧，故所求軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，則故令，故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，故，若平面，則，則，解得，但，所以不存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉榈妊切?，故，而點(diǎn)到平面的距離，令，則，則，其中，則四面體體積的最大值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算并由向量垂直的坐標(biāo)表示列式即可求解.【詳解】依題意，，故，解得.故答案為：13.定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合的交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）的非空真子集，，且，那么稱(chēng)子集族構(gòu)成集合的一個(gè)劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定義對(duì)集合進(jìn)行劃分.【詳解】依題意，，的2劃分為，共3個(gè)，的3劃分為，共1個(gè)，故集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為4.故答案為：414.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在以為圓心?為半徑的圓上，且直線與圓相切，若直線與的一條漸近線交于點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，由此求出，，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入，即可得出答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，連接，則，故，，設(shè)，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，，故.，將代入中，故，則.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知中，角所對(duì)的邊分別為，其中.（1）求的值；（2）若的面積為，周長(zhǎng)為6，求的外接圓面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，從而求得.（2）根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理等知識(shí)求得外接圓的半徑，從而求得外接圓的面積.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得，因?yàn)?，故，則，因?yàn)?，?【小問(wèn)2詳解】由題意，故.由余弦定理得，解得故的外接圓半徑，故所求外接圓面積.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別在棱上，且四點(diǎn)共面.（1）證明：；（2）若，且二面角為直二面角，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面平行再應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理得出，再結(jié)合，即可證明；（2）應(yīng)用面面垂直建系，應(yīng)用空間向量法求出面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫势矫?，而平面平面平面，故，則.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵势矫嫫矫?而平面平面平面，故平面，又底面為正方形，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，則令，可得.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，故平面與平面夾角的余弦值.17.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若直線與相切，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點(diǎn)以及的關(guān)系式列出方程組，解之即得；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由推得，又由，寫(xiě)出直線的方程，與直線聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，將前式代入化簡(jiǎn)即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)Fc,0，依題意，解得故的方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖，依題意F1,0，聯(lián)立消去，可得，依題意，需使，整理得（*）.因?yàn)椋瑒t直線的斜率為，則其方程為，聯(lián)立解得即故，將（*）代入得，故.18.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）記（1）中切線方程為，比較的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若時(shí)，，求的取值范圍.【答案】（1）（2），理由見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得答案；（2）令，求出其導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求得函數(shù)最值，即可得結(jié)論；（3）將原問(wèn)題變?yōu)椋丛谏虾愠闪?，同?gòu)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合討論a的范圍，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】依題意，，而，故故所求切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，結(jié)論；，下面給出證明：令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，即.【小問(wèn)3詳解】依題意得，則在上恒成立，令，則，令，得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，令，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，則，而，不合題意，舍去.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象