數(shù)學(xué)人教A版必修四課件第一章三角函數(shù)1.4.1

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象第一章

§1.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解利用單位圓中的正弦線畫正弦曲線的方法.2.掌握“五點(diǎn)法”畫正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法，能用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦、余弦曲線.3.理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念從對(duì)應(yīng)的角度如何理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念？答案答案實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦(或余弦)值.這樣，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x，有唯一確定的值sinx(或cosx)與之對(duì)應(yīng).由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y＝sinx(或y＝cosx)叫做正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))，其定義域是R.思考1

知識(shí)點(diǎn)二幾何法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象課本上是利用什么來(lái)比較精確的畫出正弦函數(shù)的圖象的？其基本步驟是什么？答案答案利用正弦線，這種作圖方法稱為“幾何法”，其基本步驟如下：①作出單位圓：作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系中y軸左側(cè)的x軸上取一點(diǎn)O1，作出以O(shè)1為圓心的單位圓；②等分單位圓，作正弦線：從⊙O1與x軸的交點(diǎn)A起，把⊙O1分成12等份.過(guò)⊙O1上各分點(diǎn)作x軸的垂線，得到對(duì)應(yīng)于

2π等角的正弦線；③找橫坐標(biāo)：把x軸上從0到2π這一段分成12等份；④找縱坐標(biāo)：把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x重合，從而得到12條正弦線的12個(gè)終點(diǎn)；⑤連線：用光滑的曲線將12個(gè)終點(diǎn)依次從左至右連接起來(lái)，即得到函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，如圖.因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的圖象與函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π)的圖象的形狀完全一致.于是只要將函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π)的圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)，就可以得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象，如圖.思考2

如何由正弦函數(shù)的圖象通過(guò)圖形變換得到余弦函數(shù)的圖象？答案梳理正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做

和

.正弦曲線余弦曲線思考1

知識(shí)點(diǎn)三“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象描點(diǎn)法作函數(shù)圖象有哪幾個(gè)步驟？答案答案列表、描點(diǎn)、連線.思考2

“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在x∈[0，2π]上的圖象時(shí)是哪五個(gè)點(diǎn)？答案答案畫正弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)(0，0)(π，0)(2π，0)畫余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)(0，1)(π，－1)(2π，1)梳理“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)y＝sinx、余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]圖象的步驟：(1)列表x0π2πsinx010－10cosx10－101(2)描點(diǎn)畫正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是

；畫余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是

.(3)用光滑曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn)，得到正弦曲線、余弦曲線的簡(jiǎn)圖.題型探究解答類型一“五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用例1利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－sinx(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖.解取值列表：x0π2πsinx010－101－sinx10121描點(diǎn)連線，如圖所示.反思與感悟作正弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點(diǎn)法作圖.“五點(diǎn)”即y＝sinx或y＝cosx的圖象在[0，2π]內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn).“五點(diǎn)法”是作簡(jiǎn)圖的常用方法.跟蹤訓(xùn)練1用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－cosx(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖.解列表如下：解答x0π2πcosx10－1011－cosx01210描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來(lái)，如圖.類型二利用正弦、余弦函數(shù)的圖象求定義域解答結(jié)合圖象可得x∈[－4，－π)∪(0，π).反思與感悟一些三角函數(shù)的定義域可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到，同時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍.解答類型三與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題解答命題角度1零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題例3在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y＝sinx和y＝lgx的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sinx＝lgx的解的個(gè)數(shù).解建立平面直角坐標(biāo)系xOy，先用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，再向右連續(xù)平移2π個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx的圖象.描出點(diǎn)(1，0)，(10，1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lgx的圖象，如圖所示.由圖象可知方程sinx＝lgx的解有3個(gè).反思與感悟三角函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具，通過(guò)圖象可較簡(jiǎn)便的解決問(wèn)題，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練3方程x2－cosx＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是

.2答案解析解析作函數(shù)y＝cosx與y＝x2的圖象，如圖所示，由圖象可知，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.解答命題角度2參數(shù)范圍問(wèn)題反思與感悟準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)抓住“臨界”情況進(jìn)行分析.解答跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)＝sinx－2m－1，x∈[0，2π]有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.解由題意可知，sinx－2m－1＝0在[0，2π]上有2個(gè)根，即sinx＝2m＋1有兩個(gè)根，可轉(zhuǎn)化為y＝sinx與y＝2m＋1兩函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).由y＝sinx圖象可知，－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，當(dāng)堂訓(xùn)練1.用“五點(diǎn)法”作y＝2sin2x的圖象時(shí)，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是答案23451解析√2.下列圖象中，y＝－sinx在[0，2π]上的圖象是答案23451解析√解析由y＝sinx在[0，2π]上的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，應(yīng)為D項(xiàng).3.函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝

的交點(diǎn)有

個(gè).答案23451解析2解析作y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象及直線y＝

(圖略)，可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn).答案23451解析解析由題意知，自變量x應(yīng)滿足2sinx－1≥0，解答234512345123451描點(diǎn)畫圖：規(guī)律與方法1.對(duì)“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)圖象的理解(1)與前面學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的畫法類似，在用描點(diǎn)法探究函數(shù)圖象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函數(shù)圖象的“