二次根式的運算知識點及經(jīng)典試題講義

二次根式的運算學(xué)問點和經(jīng)典試題學(xué)問點一：二次根式的乘法法則：（，），即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.

要點詮釋：（1）在運用二次根式的乘法法則進展運算時，一定要留意：公式中a、b都必需是非負數(shù)；（2）該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：（3）若二次根式相乘的結(jié)果能化簡必需化簡，如.學(xué)問點二、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（，），即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.要點詮釋：（1）在這特性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必需滿意，才能用此式進展計算或化簡，假如不滿意這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的移到根號外面.（3）作用：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對二次根式化簡（4）步驟：=1\*GB3①對被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，結(jié)果寫成平方因式乘以非平方因式即：=2\*GB3②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)（，）；=3\*GB3③利用（一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的一定值）即被開方數(shù)中的一些因式移到根號外；（5）被開方數(shù)是整數(shù)或整式可用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對二次根式化簡學(xué)問點三、二次根式的除法法則：（，），即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點詮釋：（1）在進展二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特殊留意，其中，，因為b在分母上，故b不能為0.(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結(jié)果要盡量化簡，最終結(jié)果中分母不能帶根號.學(xué)問點四、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)（，），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方鏟除以除式的算術(shù)平方根.

要點詮釋：（1）利用：運用次性質(zhì)也可以進展二次根式的化簡，運用時仍要留意符號問題.對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特殊留意，其中，，因為b在分母上，故b不能為0.（2）步驟：=1\*GB3①利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（，）=2\*GB3②分別對eq\r(a)，利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡=3\*GB3③分母不能有根號，假如分母有根號要分母有理化，即（）（3）被開方數(shù)是分數(shù)或分式可用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)對二次根式化簡學(xué)問點五：最簡二次根式1.定義：當二次根式滿意以下兩條：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.在二次根式的運算中，最終的結(jié)果必需化為最簡二次根式或有理式.要點詮釋：(1)最簡二次根式中被開方數(shù)不含分母；(2)最簡二次根式被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的次數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個因數(shù)或因式從次數(shù)只能為1次.2.把二次根式化成最簡二次根式的一般步驟：(1)把根號下的帶分數(shù)或一定值大于1的數(shù)化成假分數(shù)，把一定值小于1的小數(shù)化成分數(shù)；

(2)被開方數(shù)是多項式的要進展因式分解；(3)使被開方數(shù)不含分母；

(4)將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式，用它們的算術(shù)平方根代替后移到根號外；

(5)化去分母中的根號；(6)約分.

3.把一個二次根式化簡，應(yīng)根據(jù)被開方數(shù)的不同形式，實行不同的變形方法.事實上只是做兩件事：一是化去被開方數(shù)中的分母或小數(shù)；二是使被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.學(xué)問點六、同類二次根式1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，假如被開方數(shù)一樣，則這幾個二次根式就叫做同類二次根式.

要點詮釋：

(1)推斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必需先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否一樣；

(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只及被開方數(shù)和根指數(shù)有關(guān)，而及根號外的因式無關(guān).

2.合并同類二次根式

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法及整式加減運算中的合并同類項類似)要點詮釋：(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式；

(3)不是同類二次根式，不能合并學(xué)問點七、二次根式的加減

二次根式的加減本質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進展合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.

在進展二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律和去括號、添括號法則仍舊適用.

二次根式加減運算的步驟：

(1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；(2)推斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；

(3)合并同類二次根式.

學(xué)問點八、二次根式的混合運算

二次根式的混合運算是對二次根式的乘除和加減運算法則的綜合運用.

要點詮釋：(1)二次根式的混合運算依次及實數(shù)中的運算依次一樣，先乘方，后乘除，最終算加減，有括號要先算括號里面的；(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍舊適用；

(3)二次根式混合運算的結(jié)果應(yīng)寫成最簡形式，這個形式應(yīng)是最簡二次根式，或幾個非同類最簡二次式之和或差，或是有理式.

規(guī)律方法指導(dǎo)

二次根式的運算，主要探討二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式的乘除，只需將被開方數(shù)進展乘除，其根據(jù)是：

；；

(2)二次根式的加減類似于整式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式.通常應(yīng)先將二次根式化簡，再把同類二次根式合并.

二次根式運算的結(jié)果應(yīng)盡可能化簡.經(jīng)典例題透析類型一、二次根式的乘除運算

1、計算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.

解：(1)×=；(2)×==；

(3)×==9；(4)×==.

2、計算：(1)；(2)；(3)；(4).思路點撥：干脆利用便可干脆得出答案．

解：(1)===2；(2)==×2=2；

(3)===2；(4)===2.

3、化簡

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

思路點撥：利用干脆化簡即可．

解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；

(4)=×=××=3xy(5)==×=3.

舉一反三

【變式1】推斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)；(2)×=4××=4×=4=8.

解：(1)不正確．改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正確改正：×=×===＝4.

4、化簡：

(1)；(2)；(3)；(4).

思路點撥：干脆利用就可以到達化簡之目的．

解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.

舉一反三

【變式1】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值．

思路點撥：式子=，只有a≥0，b＞0時才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因為x為偶數(shù)，所以x=8．

解：由題意得，即∴6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x=8

∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴當x=8時，原式的值==6．

5、計算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).

解：(1)原式=-÷=-==-；

(2)原式=-2=-2=-a.

類型二、最簡二次根式的判別

6、下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？請說明理由.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).

思路點撥：推斷一個二次根式是不是最簡二次根式，就看它是否滿意最簡二次根式的兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；不滿意其中任何一條的二次根式都不是最簡二次根式.

解：和都是最簡二次根式，其余的都不是，理由如下：

的被開方數(shù)是小數(shù)，能寫成分數(shù)，含有分母；和的被開方數(shù)中都含有分母；

和的被開方數(shù)中分別含有能開得盡方的因數(shù)和因式.

總結(jié)升華：對于最簡二次根式的推斷，一定要把握其本質(zhì)，既要留意其中的“似是而非”，還要留意其中的“似非而是”，特殊象這樣的式子，帶有很大的隱藏性，更應(yīng)特別當心.

7、把下列各式化成最簡二次根式.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路點撥：把被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和進展化簡.

解：(1)；(2)；

(3)；(4)；

(5).

類型三、同類二次根式

8、假如兩個最簡二次根式和是同類二次根式，則a、b的值是()

A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1

思路點撥：根據(jù)同類二次根式的識別方法，在最簡二次根式的前提下，被開方數(shù)一樣.

解：根據(jù)題意，得

解之，得，故選D.

總結(jié)升華：同類二次根式必需滿意兩個條件：(1)根指數(shù)是2；(2)被開方數(shù)一樣；由此可以得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.

舉一反三【變式1】下列根式中，可以及合并的是()A.B.C.D.思路點撥：首先要把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，然后比擬它們的被開方數(shù)是否一樣，假如一樣，就能進展合并，反之，則不能合并.

解：合并，故選B.

總結(jié)升華：同類二次根式的推斷，關(guān)鍵是可以嫻熟準確地化二次根式為最簡二次根式.

【變式2】若最簡根式及根式是同類二次根式，求a、b的值．

思路點撥：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)一樣；

事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成

|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式化為最簡二次根式：

==|b|·

由題意得，∴，∴a=1，b=1.

類型四、二次根式的加減運算

9、計算(1)+(2)-思路點撥：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將一樣的最簡二次根式進展合并．

解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4總結(jié)升華：一定要留意二次根式的加減要做到先化簡，再合并.

舉一反三【變式1】計算

(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；

(3)；(4).

解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；

(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；

(3)

(4)【變式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(結(jié)果準確到0.01)

解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.

類型五、二次根式的混合運算

10、計算:

(1)(+)×(2)(4-3)÷2.

思路點撥：二次根式仍舊滿意整式的運算規(guī)律，所以干脆可用整式的運算規(guī)律．

解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；

(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.

11、計算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）思路點撥：二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍舊成立．

解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；

(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.

（3）略類型六、化簡求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路點撥：本題首先將已知等式進展變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最終代入求值．

解：4x2+y2-4x-6y+10=0

4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴(2x-1)2+(y-3)2=0

∴x=，y=3

原式=+y2-x2+5x

=2x+-x+5

=x+6

當x=，y=3時，原式=×+6=+3.

舉一反三

【變式1】先化簡，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．

解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，

當x=，y=27時，原式=-=-.

【變式2】.已知x=+1，求（）÷的值．類型七、二次根式的應(yīng)用及探究

13、一個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一局部水倒入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？解：設(shè)底面正方形鐵桶的底面邊長為x，

則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=×=30．

答：鐵桶的底面邊長是30厘米.

14、如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點P從點B開場沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A挪動；同時，點Q也從點B開場沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C挪動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的間隔是多少厘米？(結(jié)果用最簡二次根式表示)15、探究過程：視察下列各式和其驗證過程．

(1)2=

驗證：2=×==

==

(2)3=

驗證：3=×====

同理可得：4

5，……

通過上述探究你能揣測出：a=_______(a＞0)，并驗證你的結(jié)論．

解：a=

驗證：a=

===.

總結(jié)升華：解答此類問題的特點是根據(jù)題目給出的條件，找尋內(nèi)在聯(lián)絡(luò)和一般規(guī)律，然后猜測所求問題的結(jié)果，有利于進步綜合分析實力.【變式1】對于題目“化簡求值：+，其中a=”，甲、乙兩個學(xué)生的解答不同．甲的解答是：+=+=+－a=乙的解答是：+=+=+a－=a=誰的解答是錯誤的？為什么？跟蹤練習21.1二次根式：1.使式子有意義的條件是。2.當時，有意義。3.若有意義，則的取值范圍是。4.當時，是二次根式。5.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。6.若，則的取值范圍是。7.已知，則的取值范圍是。8.化簡：的結(jié)果是。9.當時，。10.把的根號外的因式移到根號內(nèi)等于。11.使等式成立的條件是。12.若及互為相反數(shù)，則。13.在式子中，二次根式有（）A.2個B.3個C.4個D.5個14.下列各式一定是二次根式的是（）A.B.C.D.15.若，則等于（）A.B.C.D.16.若，則（）A.B.C.D.17.若，則化簡后為（）A.B.C.D.18.能使等式成立的的取值范圍是（）A.B.C.D.19.計算：的值是（）A.0B.C.D.或20.下面的推導(dǎo)中開場出錯的步驟是（）A.B.C.D.21.若，求的值。22.當取什么值時，代數(shù)式取值最小，并求出這個最小值。23.化簡：（1）eq\r(,2700)；（2）eq\r(,202－162)；（3）eq\r(,\f(16,81))；（4）eq\r(,\f(8a2b,c2))．eq\f(\r(,20),5)；（6）eq\f(1,4)eq\r(,32a3b4)；（7）eq\r(,a4＋a2b2)；（8）eq\r(,\f(z2,54x2y))；21.2二次根式的乘除1.當，時，。2.若和都是最簡二次根式，則。3.計算：。4.計算：。5.長方形的寬為，面積為，則長方形的長約為（準確到0.01）。6.下列各式不是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.7.已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（）A.B.C.D.8.對于全部實數(shù)，下列等式總能成立的是（）A.B.C.D.9.和的大小關(guān)系是（）A.B.C.