浙江省衢溫“51”聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★考試結束前2023學年第二學期衢溫“5+1”聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1．本卷共8頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分（共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關系利用數(shù)軸即可得解.【詳解】如圖，若，則.故選：C.2.已知復數(shù)，則的虛部為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算求解即可.【詳解】因為，所以，，所以的虛部為2，故C正確.故選：C3.如圖所示，已知正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則其原圖形的周長為（）A.8 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】將直觀圖復原為原圖，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則求得原圖中線段的長，可得答案。【詳解】將直觀圖復原為原圖，如圖：則,故，所以原圖形的周長為，故選：A4.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，分別證明充分性，必要性，從而得出答案．【詳解】充分性，因為可得到或，若或時，可得，所以是的充分條件；必要性，若，當時，滿足，但，故不是的必要條件，故選：A5.在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分、討論，結合圖象可得答案.【詳解】當時，是單調遞增函數(shù)，圖象恒過點，是單調遞減函數(shù)，圖象恒過點；當時，單調遞減函數(shù)，圖象恒過點，是單調遞增函數(shù)，圖象恒過點；所以滿足條件的圖象為D.故選：D.6.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義結合數(shù)量積的運算律計算即可.【詳解】因為,所以,所以,又因為,所以,則在上的投影向量為.故選：A.7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，對任意的，滿足，記，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意判斷的單調性，根據(jù)函數(shù)單調性確定函數(shù)值大小.【詳解】因為對任意的，滿足，所以在是增函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，又，所以，所以c=flog所以.故選：B8.已知函數(shù)，，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)的取值范圍是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合圖象按、、分類討論，利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)去判斷方程根的個數(shù)，進而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，的對稱軸為，則實根的個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)，如下圖，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有1個交點，且交點橫坐標大于1，即，函數(shù)與函數(shù)有2個交點，且2個交點關于對稱，則方程有兩根，且兩根和為2，不符合題意；當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，，時，可得，或，時，，可得，，，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個交點，則方程有5個根，且5個根的和為5，不符合題意；當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，分別為，即，或，，當時，函數(shù)與函數(shù)無交點，不符合題意；當時，函數(shù)與函數(shù)有4個交點，且關于對稱，所以4個交點橫坐標之和為4，則方程有4個根，且4個根之和為4，符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)圖象法：作出函數(shù)的圖象，觀察與軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)滿足為的共軛復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)相等的定義，結合共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的乘方的運算公式求出的表達式，再根據(jù)復數(shù)的模的公式、復數(shù)的四則運算公式逐一判斷即可.【詳解】設，則，由或，于是或.A：顯然，因此本選項不成立；B：當時，，當時，，所以本選項成立；C：當時，，當時，，所以本選項正確；D：當時，，顯然，同理當時，，因此本選項正確，故選：BCD10.已知實數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等式中求參數(shù)范圍判斷A，B選項，賦值法求D選項，應用基本不等式判斷C選項.【詳解】因為a+2所以，所以0<a<2,b>1，A選項正確，B選項錯誤；因為，又因為b>0,b+2b≥22因為a+2b=2,a>0,b>0，令則，故選：AC.11.設為正實數(shù)，定義在上的函數(shù)滿足，且對任意的，都有成立，則（）A.或 B.關于直線對稱C.為奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】采用賦值法可判斷選項A，B，C；根據(jù)函數(shù)周期性可判斷選項D.【詳解】因為對于任意的，都有成立，令，代入可得，由因為，聯(lián)立可得或，故A正確；令，代入可得，當時，有，則關于直線對稱，當時，有，再令，代入可得，得，所以，即關于直線對稱，綜上所述，關于直線對稱，B正確；令，代入可得，又因為，所以，根據(jù)B選項，，所以，故為偶函數(shù)，故C錯誤；由上面可得，，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：采根據(jù)已知條件對任意的，都有成立，用賦值法可得函數(shù)性質，從而判斷選項.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的角A、B、C對應邊長分別為a、b、c，，，，則__________【答案】##【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方關系求得結果.【詳解】由余弦定理可得，，又，.故答案為：.13.已知點在以點為圓心的圓上，且，則的最大值是________．【答案】##【解析】【分析】利用圓的性質可以判斷是等邊三角形，利用平面向量的數(shù)量積運算性質，結合平面向量基本定理進行求解即可.【詳解】因為點在以點為圓心的圓上，所以，顯然是等邊三角形，內角都為，，顯然當同向時，有最大值，故答案為：14.在正方體中，為棱的中點，分別為上的動點，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】將正方體的側面與展開到同一平面，點到的距離就是.【詳解】將正方體的側面與展開到同一平面在同一平面內可知的最小值就是點到的距離，正方體中，為棱的中點，所以，，是正方形，所以故答案為：【點睛】四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將所得的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先應用二倍角公式結合兩角和差化簡求出正弦函數(shù)的單調增區(qū)間即可；（2）先根據(jù)平移伸縮得出函數(shù)解析式再求正弦函數(shù)的值域即得.【小問1詳解】由題意得，令，則，函數(shù)的單調增區(qū)間為.【小問2詳解】將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，可得,再將所得的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的,所以，，則，則.16.在中，角所對邊分別是，且．（1）求；（2）若，求的值及邊上的高．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）應用正弦定理化簡求出余弦值即可求角；（2）根據(jù)兩角和差公式結合正弦定理計算求正弦值及高即得.【小問1詳解】法一：,,,因為，所以.法二：,,,,在中，所以,因為，所以.【小問2詳解】因為，則,由于，則,則,所以,．則,因為,,.17.已知．（1）求的值；（2）求向量與夾角的余弦值；（3）求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可結合模長求解，（2）根據(jù)模長公式以及夾角公式即可求解，（3）根據(jù)余弦定理可求解長度，即可得，即可求解最值，或者利用模長公式以及二次函數(shù)的性質求解.【小問1詳解】由于，所以，故【小問2詳解】【小問3詳解】法一：記，則根據(jù)余弦定理得，則，即則，所以最小值為法二：當時，取得最小值18.已知圓錐的底面半徑，高．（1）求圓錐側面展開圖圓心角（用弧度表示）；（2）球在圓錐內，圓錐在球內，（ⅰ）求球的表面積的最大值；（ⅱ）求球與球體積之比的最小值．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）27【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的側面展開圖及弧長公式計算即可；（2）求內切球的半徑即可求出最大值；結合內切球及外接球半徑比得出體積比的最小值.小問1詳解】記圓錐的母線長為則則【小問2詳解】（?。┊斍虻谋砻娣e最大時，此時球為圓錐的內切球記球的最大半徑為，如圖畫出截面圖，則所以．所以球的表面積的最大值為（ⅱ）球與球體積之比最小，即球體積最小，球體積最大如圖所示，以為直徑的球可以包含圓錐，且此時為能包含圓錐的最小球，記球的最小半徑為，則法一：則球的最小體積為由（ⅰ）球的最大體積為．所以球與球體積之比的最小值為法二：所以球與球體積之比的最小值為19.設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對任意的，有，則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù)；如果有，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù)．于是根據(jù)定義若為區(qū)間上的下凸函數(shù)，則對任意的，有；若為區(qū)間上的上凸函數(shù)，則對任意的，有．（1）已知函數(shù)，求證：（ⅰ）；（ⅱ）函數(shù)為下凸函數(shù)；參考公式：（2）已知函數(shù)，其中實數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內為上凸函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析（2