高考數(shù)學（理）一輪課時達標39空間幾何體的三視圖直觀圖表面積和體積

課時達標第39講[解密考綱]考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與三視圖、體積與表面積，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．一、選擇題1．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(D)解析如圖所示，點D1的投影為C1，點D的投影為C，點A的投影為B，故選D．2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(D)解析由幾何體的正視圖和側(cè)視圖，結(jié)合四個選項中的俯視圖知，若為D項，則正視圖應(yīng)為，故D項不可能，故選D項．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(B)A．2＋eq\r(5) B．2＋2eq\r(5)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)解析三棱錐的高為1，底面為等腰三角形，如圖，因此表面積是eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×2＝2＋2eq\r(5)，故選B．4．(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(A)A．eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C．eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3解析由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個圓錐和一個三棱錐組成的，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1，故選A．5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為(B)A．6eq\r(2) B．6C．4eq\r(2) D．4解析由三視圖知，該幾何體為三棱錐D1－CEC1(如圖所示)，∵平面CEC1⊥平面D1C1C，△D1C1C為等腰直角三角形，△CEC1為等腰三角形，且D所以CE＝C1E＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，CD1＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，D1E＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(5)))2)＝6，則該三棱錐最長的棱為6.6．在如圖所示的空間直角坐標系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(D)A．①和③ B．③和①C．④和③ D．④和②解析由三視圖可知，正視圖與俯視圖分別為④②.二、填空題7．(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是__eq\f(3,2)__.解析設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、高為2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為__eq\f(\r(2),2)__.解析如圖所示．因為OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).9．某四棱錐的三視圖如圖所示，則最長的一條側(cè)棱的長度是__eq\r(29)__.解析由三視圖知，該幾何體為一個四棱錐P－ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB＝2AD＝4，AD⊥AB，PA＝2，∴該四棱錐的最長的棱為PC＝eq\r(22＋32＋42)＝eq\r(29).三、解答題10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PC與底面ABCD垂直，該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，它們是腰長為6cm(1)根據(jù)圖所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA．解析(1)該四棱錐的俯視圖是邊長為6cm的正方形(內(nèi)含對角線)，如圖，其面積為36(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．11．現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4(1)若AB＝6m，PO1＝2(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當PO1為多少時，解析(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因為A1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P－A1B1C1D1V錐＝eq\f(1,3)A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝312(m3)．(2)設(shè)A1B1＝a(m)，PO1＝h(m)，則0＜h＜6，O1O＝4h.連接O1B1.因為在Rt△PO1B1中，O1Beq\o\al(2,1)＋POeq\o\al(2,1)＝PBeq\o\al(2,1)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＋h2＝36，即a2＝2(36－h(huán)2)．于是倉庫的容積V＝V柱＋V錐＝a2·4h＋eq\f(1,3)a2·h＝eq\f(13,3)a2h＝eq\f(26,3)(36h－h(huán)3)，0＜h＜6，從而V′＝eq\f(26,3)(36－3h2)＝26(12－h(huán)2)．當0＜h＜2eq\r(3)時，V′＞0，V是單調(diào)增函數(shù)；當2eq\r(3)＜h＜6時，V′＜0，V是單調(diào)減函數(shù)．故當h＝2eq\r(3)時取得極大值，也是最大值．因此，當PO1＝2eq\r(3)12．如圖，在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連接EF，F(xiàn)B，BD，DE，DF，求幾何體EFC1DBC解析如圖，連接DC1