北京市首師大附高三上學(xué)期十月月考數(shù)學(xué)（文）試題

首師大附20172018學(xué)年第一學(xué)期十月月考高三數(shù)學(xué)（文）一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項)1.設(shè)命題則為A.B.C.D.【答案】A【解析】因為命題的否定為，所以命題的否定為，所以選A.2.“”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的充分不必要條件，選A.點睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3.如果那么A.B.C.D.【答案】D【解析】因為由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，，故選D.4.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),若對于都有且當(dāng)時,則的值為A.B.C.D.【答案】C【解析】對于都有所以的值為1，選C......................點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．5.已知命題“”是真命題,則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】因為命題“”是真命題,所以，選C.6.已知函數(shù)的定義域為,部分對應(yīng)值如表:為的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)的圖象如圖所示.若實數(shù)滿足則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意知，當(dāng)時，，當(dāng)時，因此等價于，選A.點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).7.將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象,若在上為增函數(shù),則的最大值為A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意得，所以，即的最大值為2，選B.點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.8.對于函數(shù)①②③判斷如下兩個命題的真假:命題甲:在區(qū)間上是增函數(shù);命題乙:在區(qū)間上恰有兩個零點且能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號是A.①B.②C.①③D.①②【答案】D【解析】①f’（x）=4﹣，在區(qū)間（1，2）f’（x）＞0，f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)．使甲為真．f（x）的最小值是﹣1＜0當(dāng)x=時取得．又f（1）=0，∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x1＜；x2=1．x1x2=x1＜1，使乙為真．②在區(qū)間（1，2），|log2x|=log2x，是增函數(shù)．﹣也是增函數(shù)，兩者的和函數(shù)也是增函數(shù)．使甲為真．利用信息技術(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x1，x2；0＜x1＜1＜x2＜2．使乙為真．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ﹣1，k∈Z，在區(qū)間（0，+∞）上有無數(shù)個零點．使乙為假．故選D．二、填空題(共8小題，每小題5分，共40分)9.已知函數(shù)則_______.【答案】【解析】所以10.已知則_______.【答案】【解析】因為，所以11.已知則的取值范圍為_______;已知則的取值范圍為_______.【答案】(1).(2).【解析】因為，所以，；因為所以，；12.函數(shù)在上的最大值為_______.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即最大值為點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.13.函數(shù)當(dāng)時有最小值,當(dāng)時有最大值,則的取值范圍是_______.【答案】【解析】令，則,根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間[1,1]位置關(guān)系得.14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸為始邊做兩個銳角它們的終邊分別與單位圓相交于兩點,已知的橫坐標(biāo)分別為則的值為_______;的值為_______.【答案】(1).(2).【解析】,15.已知且函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上的最大之比最小值大則的值為_______.【答案】或【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，即的值為或.16.對函數(shù)若存在區(qū)間使得則稱區(qū)間為函數(shù)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”,給出下列四個函數(shù):（1）（2）（3）（4）其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有_______.（把所有可能的函數(shù)的序號都填上）【答案】②③【解析】因為，所以若存在“穩(wěn)定區(qū)間”則至少有兩個解，而恒成立，所以不存在“穩(wěn)定區(qū)間”；因為，所以若存在“穩(wěn)定區(qū)間”則至少有兩個解，顯然成立，所以存在“穩(wěn)定區(qū)間”；（3）因為,所以f(x)=存在“穩(wěn)定區(qū)間”；（4）因為，所以若存在“穩(wěn)定區(qū)間”則至少有兩個解，而只有一解x=1，所以不存在“穩(wěn)定區(qū)間”；點睛：判斷函數(shù)零點(方程的根)所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上．(2)定理法：利用零點存在性定理進行判斷．(3)數(shù)形結(jié)合法：畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．三、解答題(共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程)17.已知（Ⅰ）求的最小正周期,及單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ）當(dāng)時,求的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期為.（2）最小值最大值【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期,及單調(diào)遞增區(qū)間;（2）先確定正弦函數(shù)定義區(qū)間，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.試題解析：解:（Ⅰ）函數(shù)的最小正周期為.令得,所以.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）當(dāng)時,.故當(dāng)即時,取得最小值當(dāng)即時,取得最大值18.已知函數(shù)（Ⅰ）若是的極小值點,求實數(shù)的取值范圍及函數(shù)的極值;（Ⅱ）當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）極小值為,極大值為.（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)極小值定義求實數(shù)的取值范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)極值，（2）根據(jù)a與2大小討論導(dǎo)函數(shù)零點，再列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)最大值取法，最后小結(jié)結(jié)論.試題解析：解:（Ⅰ）若是的極小值,則列表分析如下:所以極小值為,極大值為.（Ⅱ）當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以最大值為（1）當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以最大值為（2）當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以最大值可能為或①當(dāng)時,最大值為②當(dāng)時,最大值為綜上所述,當(dāng)時,最大值為當(dāng)時,最大值為19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式;（Ⅱ）如何由函數(shù)通過適當(dāng)圖象的變換得到函數(shù)的圖象,寫出變換過程;（Ⅲ）若求的值.

【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】試題分析：（1）直接由函數(shù)圖象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五點作圖的第三點求；（2）由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案；（3）由求出，然后把轉(zhuǎn)化為余弦利用倍角公式得答案．試題解析:解：（1）.（2）法1：先將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，所得圖象即為的圖象.法2：先將的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位，，所得圖象即為的圖象.（3）由,得：，而.點睛：圖象變換(1)振幅變換(2)周期變換(3)相位變換(4)復(fù)合變換20.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).（Ⅰ）當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（Ⅲ）已知函數(shù)在處取得極小值,不等式的解集為,若且求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在上遞增,在上遞減（3）【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式得切線方程，（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點情況分類討論函數(shù)單調(diào)性，（3）根據(jù)極值點求a,將集合語言轉(zhuǎn)化為在上有解，分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值：，最后通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值得實數(shù)的取值范圍.試題解析：解:（Ⅰ）時,曲線在點處的切線方程為（Ⅱ）當(dāng)時,恒成立.此時的遞增區(qū)間為當(dāng)時,若時,時,此時在上遞增,在上遞減.（Ⅲ）由函數(shù)在處取得極小值得:即經(jīng)檢驗此時在處取得極小值.因為,所以在上有解.即,使得成立.即使得成立.所以令所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則所以的取值范圍是點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.21.若函數(shù)對任意的均有則稱函數(shù)具有性質(zhì)（Ⅰ）判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)并說明理由.①②（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì),且求證:對任意有（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,是否對任意均有若成立,給出證明;若不成立,給出反例.【答案】（1）具有,不具有（2）見解析（3）不成立【解析】試題分析：（1）肯定結(jié)論需證明：根據(jù)定義比較大小，作差，提取因子，再利用基本不等式可得結(jié)論；對于否定結(jié)論，只需舉一個反例即可，（2）利用反證法證明，由于條件滿足差值單調(diào)遞增，利用累加可得矛盾，（3）構(gòu)造一個反例說明不