必修二課后作業(yè)第一章立體幾何初步1.2.3第2課時(shí)

第2課時(shí)直線與平面平行的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面平行的性質(zhì)定理.2.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用定理證明一些簡單的問題.知識(shí)點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)定理思考1如圖，直線l∥平面α，直線a?平面α，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？答案不一定，因?yàn)檫€可能是異面直線.思考2如圖，直線a∥平面α，直線a?平面β，平面α∩平面β＝直線b，滿足以上條件的平面β有多少個(gè)？直線a，b有什么位置關(guān)系？答案無數(shù)個(gè)，a∥b.梳理表示定理圖形文字符號(hào)直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b類型一線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用命題角度1用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行例1如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.證明連結(jié)MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn).又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思與感悟(1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟①確定(或?qū)ふ?一條直線平行于一個(gè)平面.②確定(或?qū)ふ?過這條直線且與這個(gè)平面相交的平面.③確定交線.④由定理得出結(jié)論.(2)常用到中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、成比例線段、平行轉(zhuǎn)移法、投影法等.具體應(yīng)用時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的具體條件而定.跟蹤訓(xùn)練1如圖，用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形.證明因?yàn)锳B∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.命題角度2用線面平行的性質(zhì)求線段比例2如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn)，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值.解如圖，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O1，連結(jié)OM，因?yàn)镻C∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)，在菱形ABCD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，所以eq\f(OC,O1C)＝eq\f(1,2).又AO1＝CO1，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,4)，故PM∶MA＝1∶3.反思與感悟破解此類題的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；二是計(jì)算，把要求的線段長或線段比問題，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的線段長或線段比問題去求解，此時(shí)需認(rèn)真運(yùn)算，才能得出正確的結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為______.答案1解析連結(jié)BC1，設(shè)B1C∩BC1＝E，連結(jié)DE.由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.因?yàn)镋為BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn)，所以A1D∶DC1的值為1.類型二線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化例3已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，求證：另一條也平行于這個(gè)平面.已知如圖，直線a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.求證b∥α.證明過a作平面β，使它與平面α相交，交線為c.因?yàn)閍∥α，a?β，α∩β＝c，所以a∥c，因?yàn)閍∥b，所以b∥c，又因?yàn)閏?α，b?α，所以b∥α.反思與感悟直線和平面的平行問題，常常轉(zhuǎn)化為直線和直線的平行問題，而直線和直線的平行問題也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行問題，要作出命題的正確轉(zhuǎn)化，就必須熟記線面平行的定義、判定定理和性質(zhì)定理.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E，H分別為棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G，求證：FG∥平面ADD1A1.證明因?yàn)镋H∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG?平面ADD1A1，A1D1?平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.已知a，b表示直線，α表示平面.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是________.①若a∥α，b∥α，則a∥b；②若a∥α，b?α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α.答案0解析①錯(cuò)，直線a與b的關(guān)系可以是平行，也可以是相交或異面；②錯(cuò)，a與b可能平行，也可能異面；③錯(cuò)，直線a也可能在平面α內(nèi).2.直線a∥平面α，P∈α，過點(diǎn)P平行于a的直線________.(填序號(hào))①只有一條，不在平面α內(nèi)；②有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)；③只有一條，且在平面α內(nèi)；④有無數(shù)條，一定在α內(nèi).答案③解析由線面平行的性質(zhì)定理知，過點(diǎn)P平行于a的直線只有一條，且在平面α內(nèi)，故填③.3.一平面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形只有一條對(duì)角線與這個(gè)截面平行，那么這四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形是________.答案梯形解析如圖所示，AC∥平面EFGH，則EF∥HG.而對(duì)角線BD與平面EFGH不平行，所以EH與FG不平行.所以EFGH是梯形.4.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度為________.答案eq\r(2)解析∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，∴EF∥AC.∵E是AD的中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2).5.如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn).記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明.解直線l∥平面PAC.證明如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因?yàn)閘?平面PAC，EF?平面PAC，所以l∥平面PAC.1.在遇到線面平行時(shí)，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì).2.要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化.在解決立體幾何中的平行問題時(shí)，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法.課時(shí)作業(yè)一、填空題1.過平面α外的直線l作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為________.①都平行；②都相交但不一定交于同一點(diǎn)；③都相交且一定交于同一點(diǎn)；④都平行或都交于同一點(diǎn).答案④解析分l∥α和l與α相交兩種情況作答，對(duì)應(yīng)的結(jié)果是都平行或都交于同一點(diǎn).2.如圖，已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，則c與a，b的位置關(guān)系是__________.答案平行解析∵a∥b，a?γ，b?γ，∴a∥γ.又∵a?α，α∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.3.已知異面直線a，b外的一點(diǎn)M，那么過點(diǎn)M可以作________個(gè)平面與直線a，b都平行.答案0或1解析過點(diǎn)M分別作直線a，b的平行線，若其中一條平行線與已知直線a或b相交，則滿足題意的平面不存在.否則過點(diǎn)M的兩條相交直線確定的平面與a，b都平行.4.如圖，a∥α，A是α另一側(cè)的點(diǎn)，B，C，D∈a，線段AB，AC，AD分別交α于E，F(xiàn)，G，則BD與EG的位置關(guān)系是________.答案BD∥EG解析因?yàn)閍∥α，平面α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.5.如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點(diǎn)，過C，D，E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F，則四邊形DEFC的周長為____________.答案3＋2eq\r(3)解析∵CD∥AB，CD?平面SAB，AB?平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，又CD∥AB，∴AB∥EF.∵SE＝EA，∴EF為△ABS的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝1，又DE＝CF＝eq\r(3)，∴四邊形DEFC的周長為3＋2eq\r(3).6.如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是______.答案平行四邊形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四邊形EFHG是平行四邊形.7.如圖，四邊形ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，則當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，AE∶EB＝________.答案m∶n解析∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝eq\f(BE,AB)m.同理，EH＝FG＝eq\f(AE,AB)n，∴eq\f(BE,AB)m＝eq\f(AE,AB)n，∴AE∶EB＝m∶n.8.已知正方體AC1的棱長為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是平面A1B1C1D1的對(duì)角線B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為________.答案eq\f(\r(2),2)解析如圖，連結(jié)AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1，∴PQ＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2).9.如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為________.答案4eq\r(5)＋6eq\r(2)解析由EF∥平面BCC1B1可知，平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r(5)＋6eq\r(2).10.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是棱AD上一點(diǎn)，AP＝eq\f(1,3)，過點(diǎn)P，E，F(xiàn)的平面與棱CD交于Q，則PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)解析易知EF∥平面ABCD，PQ＝平面PEF∩平面ABCD，∴EF∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2),3).二、解答題11.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一點(diǎn)，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求證：AC∥FG.證明∵AC∥A1C1，A1C1?平面A1EC1，AC?平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.12.如圖所示，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：BC∥l；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.(1)證明∵BC∥AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，∴BC∥l.(2)解MN∥平面PAD.證明如下：如圖所示，取PD的中點(diǎn)E.連結(jié)EN、AE.∵N為PC的中點(diǎn)，∴EN綊eq\f(1,2)AB.∴EN綊AM，∴四邊形ENMA為平行四邊形，∴AE∥MN.又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.13.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上，且PM＝tPC，若PA∥平面MQB，試確定實(shí)數(shù)t的值.解如圖，連結(jié)BD，AC，AC交BQ于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)MN，則O為BD的中點(diǎn).∵BQ為△ABD中AD邊的中線，∴N為正三角形ABD的中心.設(shè)菱形ABCD的邊長為a，則AN＝eq\f(\r(3),3)a，AC＝eq\r(3)a.∵PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，∴PA∥MN，∴PM∶PC＝AN∶AC，即PM＝eq\f(1,3)PC，則t＝eq\f(1,3).三、探究與拓展14.長方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為8的正方形.E，F(xiàn)分別是側(cè)棱AA1，CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，則CF＝________.答案2解析連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)PO，過點(diǎn)C作CQ∥OP交AA1于點(diǎn)Q.∵EF∥平面PBD，EF?平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，∴EF∥PO.又∵CQ∥OP，∴EF∥QC，QE＝CF，∵四邊形ABCD是正方形，CQ∥OP，∴PQ＝AP＝2.∵AE＋CF＝