必修二課件第一章立體幾何初步1.3.2-1

空間幾何體的體積第1章

1.3

空間幾何體的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，會(huì)利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.3.會(huì)求簡(jiǎn)單組合體的體積及表面積.題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式1.柱體的體積公式

(S為底面面積，h為高).2.錐體的體積公式

(S為底面面積，h為高).3.臺(tái)體的體積公式

(S′、S為上、下底面面積，h為高).V＝Sh4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二球的表面積和體積公式1.球的表面積公式S＝

(R為球的半徑).2.球的體積公式V＝

.4πR2知識(shí)點(diǎn)三球體的截面的特點(diǎn)1.球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓.2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.題型探究例1

(1)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為_____.類型一柱體、錐體、臺(tái)體的體積答案解析解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，(2)現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中.當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降______cm.解得h＝0.6cm.0.6答案解析(1)常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解.②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可.③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.(2)求幾何體體積時(shí)需注意的問題柱、錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

(1)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.解答解設(shè)AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.(2)已知一個(gè)三棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20cm和30cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積.解答解如圖，在三棱臺(tái)ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分別為O′，O，BC，B′C′的中點(diǎn)分別為D，D′，則DD′是梯形BCC′B′的高.命題角度1與球有關(guān)的切、接問題例2

(1)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比.類型二球的表面積與體積解答解如圖，等邊△ABC為圓錐的軸截面，截球面得圓O.設(shè)球的半徑OE＝R，∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，∴V球∶V圓錐＝4∶9.(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.答案解析6πa2(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝

，過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖①.(2)球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面有r2＝

a，如圖②.反思與感悟(3)長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r3＝

，如圖③.(4)正方體的外接球正方體棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝

a.(5)正四面體的外接球正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝

a.跟蹤訓(xùn)練2

(1)將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為____.答案解析解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球.根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為______.答案解析命題角度2球的截面例3

已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面積與球的體積.解答解如圖所示，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1⊥平面ABC于點(diǎn)O1，由于OA＝OB＝OC＝R，則O1是△ABC的外心，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于AC＝BC，則O1∈CM.設(shè)O1M＝x，易知O1M⊥AB，則O1A＝

，又O1A＝O1C，∠OO1A＝90°，OA＝R，設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形，在解答球心的截面問題時(shí)，常用該直角三角形求解，并常用過球心和截面圓心的軸截面.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

用過球心的平面將一個(gè)球分成兩個(gè)半球，則兩個(gè)半球的表面積之和是原來整球表面積的____倍.答案解析解析設(shè)球的半徑為R，則S球表＝4πR2.分成兩個(gè)半球后，表面積為原來球的表面積再加上兩個(gè)圓面面積，S圓＝πR2，∴兩個(gè)半球的表面積之和S＝S球表＋2S圓＝6πR2.∴S∶S球表＝3∶2.解答例4

如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會(huì)溢出杯子嗎？請(qǐng)用你的計(jì)算數(shù)據(jù)說明理由.類型三組合體的體積解不會(huì)溢出杯子.理由如下：所以V半球＜V圓錐，所以冰淇淋融化了不會(huì)溢出杯子.代公式計(jì)算幾何體的體積時(shí)，注意柱體與錐體的體積公式的區(qū)別.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積.解答解如圖，過點(diǎn)C作CE垂直于AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則所求幾何體的體積可看成是由梯形ABCE繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積，減去△EDC繞DE所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積.所以所求幾何體的體積V＝V圓臺(tái)－V圓錐當(dāng)堂訓(xùn)練1.已知一個(gè)銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊(不計(jì)損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)是____cm.答案234145解析解析∵銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，∴銅質(zhì)的五棱柱的體積V＝16×4＝64(cm3).設(shè)熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊的棱長(zhǎng)為acm，則a3＝64，解得a＝4(cm).2.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于____.答案234152π解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則S側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，得r＝1，則圓柱的體積為πr2×2r＝2π.解析3.正方體的外接球的體積是其內(nèi)切球的體積的______倍.答案23415解析4.設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為

，那么它的體積為______.2341答案解析55.如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子可以看成是由底面半徑為1cm和底面半徑為3cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體.當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20cm，當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28cm，則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為______cm.23415

29答案解析23415解析在圖(2)和圖(3)中，瓶子上部沒有液體的部分容積相等，設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為hcm，則有π×12×(h－20)＝π×32×(h－28)，解得h＝29(cm).規(guī)律與方法1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系2.在三棱錐A－BCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝

.這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V一般用換頂點(diǎn)法求解，即VA－BC