反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

九級(jí)數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題一、基礎(chǔ)知識(shí)

（一）反比例函數(shù)的概念

1．（）可以寫(xiě)成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件；

2．（）也可以寫(xiě)成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；

3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn)．

（二）反比例函數(shù)的圖象

在用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0，且x應(yīng)對(duì)稱(chēng)取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）．

（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

1．函數(shù)解析式：（）

2．自變量的取值范圍：

3．圖象：

（1）圖象的形狀：雙曲線．

越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越大．

（2）圖象的位置和性質(zhì)：

與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線．

當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．

（3）對(duì)稱(chēng)性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上．

圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上．

4．k的幾何意義

如圖1，設(shè)點(diǎn)P（a，b）是雙曲線上任意一點(diǎn)，作⊥x軸于A點(diǎn)，⊥y軸于B點(diǎn)，則矩形的面積是（三角形和三角形的面積都是）．

如圖2，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q也在雙曲線上，作⊥的延長(zhǎng)線于C，則有三角形的面積為．

圖1圖2

5．說(shuō)明：

（1）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論．

（2）直線與雙曲線的關(guān)系：

當(dāng)時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．

（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系．

（四）實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)

1．求函數(shù)解析式的方法：

（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式．

2．注意學(xué)科間知識(shí)的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究上．

（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．

三、例題分析

1．反比例函數(shù)的概念

（1）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．3xB．C．31D．

（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．B．C．D．

答案：（1）C；（2）A．

2．圖象和性質(zhì)

（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，

①若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，則．

②若y隨x的增大而減小，則．

（2）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第象限．

（3）若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2），則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)第象限．

（4）已知a·b＜0，點(diǎn)P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上，

則直線不經(jīng)過(guò)的象限是（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，

則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（）．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限

（6）已知函數(shù)和（k≠0），它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）．

A．B．C．D．

答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．

3．函數(shù)的增減性

（1）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，且，則的值為（）．

A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù)D．非負(fù)數(shù)

（2）在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，則函數(shù)值、、的大小關(guān)系是（）．

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

（3）下列四個(gè)函數(shù)中：①；②；③；④．

y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）．

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

（4）已知反比例函數(shù)的圖象與直線2x和1的圖象過(guò)同一點(diǎn)，則當(dāng)x＞0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而（填“增大”或“減小”）．

答案：（1）A；（2）D；（3）B．

注意，（3）中只有②是符合題意的，而③是在“每一個(gè)象限內(nèi)”y隨x的增大而減小．

4．解析式的確定

（1）若與成反比例，與成正比例，則y是z的（）．

A．正比例函數(shù)B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù)D．不能確定

（2）若正比例函數(shù)2x與反比例函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為（2，m），則，，它們的另一個(gè)交點(diǎn)為．

（3）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值．

（4）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P（x0，3）．

①求x0的值；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．

（5）為了預(yù)防“非典”，某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克．請(qǐng)根據(jù)題中所提供的信息解答下列問(wèn)題：

①藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍是；藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．

②研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，則從消毒開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)分鐘后，學(xué)生才能回到教室；

③研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，則此次消毒是否有效？為什么？

答案：（1）B；（2）4，8，（，）；

（3）依題意，且，解得．

（4）①依題意，解得

②一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為．

（5）①，，；

②30；③消毒時(shí)間為（分鐘），所以消毒有效．

5．面積計(jì)算

（1）如圖，在函數(shù)的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、，則（）．

A．B．C．D．

第（1）題圖第（2）題圖

（2）如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，軸，軸，△的面積S，則（）．

A．1B．1＜S＜2C．2D．S＞2

（3）如圖，△的頂點(diǎn)A在雙曲線上，且S△3，求m的值．

第（3）題圖第（4）題圖

（4）已知函數(shù)的圖象和兩條直線，2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點(diǎn)，過(guò)P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1，P1R1，垂足分別為Q1，R1，過(guò)P2分別作x軸、y軸的垂線P2Q2，P2R2，垂足分別為Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周長(zhǎng)，并比較它們的大?。?/p>

（5）如圖，正比例函數(shù)（k＞0）和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A作x軸垂線交x軸于B，連接，若△面積為S，則．

第（5）題圖第（6）題圖

（6）如圖在△中，頂點(diǎn)A是雙曲線與直線在第四象限的交點(diǎn)，⊥x軸于B且S△．

①求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

②求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和△的面積．

（7）如圖，已知正方形的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)P（m，n）是函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F，設(shè)矩形在正方形以外的部分的面積為S．

①求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；

②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③寫(xiě)出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

答案：（1）D；（2）C；（3）6；

（4），，矩形OQ1P1R1的周長(zhǎng)為8，OQ2P2R2的周長(zhǎng)為，前者大．

（5）1．

（6）①雙曲線為，直線為；

②直線與兩軸的交點(diǎn)分別為（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），

因此面積為4．

（7）①B（3，3），；

②時(shí)，E（6，0），；

③．

6．綜合應(yīng)用

（1）若函數(shù)1x（k1≠0）和函數(shù)（k2≠0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，則k1和k2（）．

A．互為倒數(shù)B．符號(hào)相同C．絕對(duì)值相等D．符號(hào)相反

（2）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)：A（，1），B（1，n）．

①求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

②根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．

（3）如圖所示，已知一次函數(shù)（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，垂直于x軸，垂足為D，若1．

①求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．

（4）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)，（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

①利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；

②雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得△和△的面積相等？若存在，給出證明并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明