多邊形知識點與經(jīng)典習題

多邊形考點：三角形的角度，邊長關系，內(nèi)角和與外角和，用正多邊形鋪設地板熱點：內(nèi)角和與外角和知識講解★★★主要知識點：1,三角形的定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2,三角形的分類.三角形(按邊分)三角形(按角分)三角形(按邊分)三角形(按角分)3,一般三角形的性質(zhì)(1)三角形的內(nèi)角和定理及性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.推論1：直角三角形的兩個銳角互補。推論2：三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和。推論3：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。(2)三角形的三邊關系：三角形隨意兩邊之和大于第三邊,隨意兩邊之差小于第三邊.(3)邊與角的大小對應關系：在一個三角形中，等邊對等角；等角對等邊。(4)三角形具有穩(wěn)定性(5)三角形的主要線段的性質(zhì)(見下表)：名稱基本性質(zhì)角平分線①三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點（內(nèi)心）；內(nèi)心到三角形三邊距離相等；②角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。中線三角形的三條中線相交于一點。（重心);性質(zhì)：到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍。高三角形的三條高相交于一點。（垂心）邊的垂直平分線三角形的三邊的垂直平分線相交于一點（外心）；外心到三角形三個頂點的距離相等。中位線連接三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線；性質(zhì)：中位線平行第三邊并且等于第三邊的一半（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。（2）要會區(qū)分三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系。常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線相互平分。結(jié)論5：三角形中隨意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。3.幾種特別三角形的特別性質(zhì)1,等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線,底邊上的高重合。（三線合一）這條線段所在的直線是等腰三角形的對稱軸。推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。直角三角形的特別性質(zhì)：A/直角三角形的兩個銳角互為余角；B/在直角三角形中假如有一個角等于30°，則這個角的對邊等于斜邊的一半；假如有一條邊等于另一條邊的一半，則這條邊所對的角等于30°。C/直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半D/直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即4.三角形的面積一般三角形：S△=ah（h是a邊上的高）4,多邊形,1,隨意多邊形的外角和恒為360°2,多邊形及多邊形的對角線①正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．②凸凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，若整個圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形稱為凸多邊形；，若整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，稱這樣的多邊形為凹多邊形。③多邊形的對角線的條數(shù):A.從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，將多邊形分成（n-2）個三角形。B.n邊形共有條對角線。9,邊形的內(nèi)角和公式及外角和①多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°(n≥3)。②多邊形的外角和等于360°。10,平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。①平面鑲嵌：用形態(tài)相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。②平面鑲嵌的條件：有公共頂點,公共邊；在一個頂點處各多邊形的內(nèi)角和為360°。例1：(基礎題)①在△ABC中，已知∠B=40°，∠C=80°，則∠A=（度）②如圖，△ABC中，∠A=60°，∠C=50°，則外角∠CBD=。③已知，在△ABC中，∠A+∠B=∠C，則△ABC的形態(tài)為（）A,直角三角形B,鈍角三角形C,銳角三角形D,以上都不對④下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cmB.5cm，6cm，11cmC.5cm，6cm，10cmD.3cm，8cm，12cm⑤假如一個三角形的三邊長分別為x，2，3，則x的取值范圍是。⑥小華要從長度分別為5cm,6cm,11cm,16cm的四根小木棒中選出三根擺成一個三角形，則他選的三根木棒的長度分別是_．⑦已知等腰三角形的一邊長為6，另一邊長為10，則它的周長為⑧在△ABC中，AB=AC，BC=10cm,∠A=80°，則∠B=，∠C=。BD=______,CD=________⑨如圖，AB=AC，BC⊥AD，若BC=6，則BD=。例3：(提高)①△ABC中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，則∠A=，∠B=③在等腰三角形中，一個角是另一個角的2倍，求三個角？_______________________④：在等腰三角形中，，周長為40cm,例6.ABC為等邊三角形，D是AC中點，E是BC延長線上一點，且CE=BC求證：BD=DE一,選擇題：等腰三角形中，一個角為50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）A.150°B.80°C.50°或80°D.70°2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B，∠C的角平分線相交于點O，則∠BOC的度數(shù)是()2C3NMB1AA．65°B．1152C3NMB1A3．如圖，假如∠1＝∠2＝∠3，則AM為△的角平分線，AN為△的角平分線。三,解答題：14,如圖4，∠1+∠2+∠3+∠4=度；BBCAD15,如圖；ABCD是一個四邊形木框，為了使它保持穩(wěn)定的形態(tài)，需在AC或BD上釘上一根木條，現(xiàn)量得AB=80㎝，BC=60㎝，CD=40㎝，AD=50㎝，試問所需的木條長度至少要多長？16,圖1-4-27，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分線BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度數(shù).18。已知等腰三角形的周長是25，一腰上的中線把三角形分成兩個，兩個三角形的周長的差是4。求等腰三角形各邊的長。23．,如圖，BE,CD相交于點A，CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線。摸索求∠F與∠B,∠D之間的關系，并說明理由。EEFDCBA例1,填空：（6）正二十邊形的每個內(nèi)角都等于。（7）一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，則它的邊數(shù)為。（8）n多邊形的每一個外角是36°，則n是。（9）多邊形的每一個內(nèi)角都等于150°，則從今多邊形一個頂點動身引出的對角線有條。（10）假如把一個多邊形截去一個三角形，剩下的多邊形的內(nèi)角和是2160°，則原來的多邊形的邊數(shù)是。（11）一多邊形除一內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2570°，則這個內(nèi)角等于。與三角形有關的線段與三角形有關的線段一,三角形的基本概念：⑴三角形的定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三角形．三角形具有穩(wěn)定性．⑵三角形的內(nèi)角：三角形的每兩條邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角．在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角．⑶三角形的外角：三角形的隨意一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角．⑷三角形的分類：留意：每個三角形至少有兩個銳角，而至多有一個鈍角．三角形的三個內(nèi)角中，最大的一個內(nèi)角是銳角(直角或鈍角)時，該三角形即為銳角三角形(直角三角形或鈍角三角形)．二,與三角形相關的邊⑴三角形中的三種重要線段①三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線．注：每個三角形都有三條角平分線且相交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，而且它一定在三角形內(nèi)部．②三角形的中線：在三角形中，連結(jié)一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線．注：每個三角形都有三條中線，且相交于一點，這個點叫做三角形的中心，而且它一定在三角形內(nèi)部．③三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線．注：每個三角形都有三條高且三條高所在的直線相交于一點，這個點叫做三角形的垂心．銳角三角形的高均在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的高線中有兩個垂足落在邊的延長線上，這兩條高落在三角形的外部，直角三角形有兩條高分別與兩條直角邊重合．反之也成立．畫三角形的高時，只須要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L線作垂線，連接頂點與垂足的線段就是該邊的高．⑵三角形三條邊的關系①三角形三邊關系：三角形任何兩邊的和大于第三邊．②三角形三邊關系定理的推論：三角形任何兩邊之差小于第三邊．即,,三條線段可組成三角形兩條較小的線段之和大于最大的線段．留意：在應用三邊關系定理及推論時，可以簡化為：當三條線段中最長的線段小于另兩條線段之和時，或當三條線段中最短的線段大于另兩條線段之差時，即可組成三角形．一.三角形的周長小于13，且各邊長為互不相等的整數(shù)，則這樣的三角形共有（）A.2個 B.3個C.4個 D.5個為解決四個村莊用電問題，政府投資在已建電廠與這四個村莊之間架設輸電線路．現(xiàn)已知這四個村莊及電廠之間的距離如圖所示（距離單位：公里），則能把電力輸送到這四個村莊的輸電線路的最短總長度應當是（）A.19.5 BC.21.5 D.25.5下列長度的三條線段，不能組成三角形的是（）A.3，8，4 B.4，9，6C.15，20，8 D.9，15，8為估計池塘兩岸,間的距離，楊陽在池塘一側(cè)選取了一點，測得m，m，則間的距離不可能是（）A.5m BC.20m D如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5個三角形，第3個圖中共有9個三角形，依次類推，則第6個圖中共有三角形_________個．已知三角形的兩邊為,，求第三邊的范圍，求周長的范圍．下列長度的三條線段能組成三角形的是()A．1，2，5B．4，5，9C．5，8，15D．6，8，911,已知三角形的三邊長分別為,,，則不可能是()A．B．C．D．14,已知三角形中兩邊長為2和7，（1）若第三邊長為奇數(shù)，則這個三角形的周長為_________．（2）若這個三角形的周長為奇數(shù)，則第三邊長為_________．15,有三條線段，其中兩條線段的長為和，第三條線段的長為，若這三條線段不能構(gòu)成三角形，則的取值范圍是．16,已知有兩邊長為,，其中，則其周長一定滿意()．A．B．C．D．17,,,為三角形的三邊長，化簡，若此三角形周長為，求上面式子的值．18,下列長度的線段能否組成三角形：,,()；21,周長為整數(shù)的三角形三邊長分別為,,，且滿意不等式，這樣的三角形有個．22,如圖，在中取一點，使，求證：．已知，如圖，為三角形內(nèi)兩點，構(gòu)成凸四邊形，求證：．多邊形的內(nèi)角和與外角和1.n邊形的內(nèi)角和=________度，外角和=_______度。2.從n邊形(n>3)的一個頂點動身，可以畫_______條對角線，這些對角線把n邊形分成______三角形，分得三角形內(nèi)角的總和與多邊形的內(nèi)角和_______。3.假如一個多邊形的內(nèi)角和與它的外角和相等，則這個多邊形是____邊形。4.假如一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和5倍，則這個多邊形是____邊形。5.若n邊形的每個內(nèi)角都是150°，則n=____。6.一個多邊形的每個外角都是36°，這個多邊形是______邊形。7.假如一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，且內(nèi)角的度數(shù)是與它相鄰的外角度數(shù)的2倍，則這個邊形的每個內(nèi)角是_____度，其內(nèi)角和等于______度。8.若一個多邊形的內(nèi)角和是1800°，則這個多邊形的邊數(shù)是_______。9.若一個多邊形的邊數(shù)增加１，則它的內(nèi)角和（）Ａ.不變Ｂ.增加１Ｃ.增加180°Ｄ.增加360°10.當一個多邊形的邊數(shù)增加時，其外角和（）Ａ.增加Ｂ.削減Ｃ.不變Ｄ.不能確定11.某學生在計算四個多邊形的內(nèi)角和時，得到下列四個答案，其中錯誤的是（）A.180°B.540°C.1900°12.分別畫出下列各多邊形的對角線，并視察圖形完成下列問題：（１）試寫出用n邊形的邊數(shù)n表示對角線總條數(shù)Ｓ的式子：__________。（２）從十五邊形的一個頂點可以引出________條對角線，十五邊形共有______條對角線：（３）假如一個多邊形對角線的條數(shù)與它的邊數(shù)相等，求這個多邊形的邊數(shù)。13.n邊形的內(nèi)角和等于______度。隨意多邊形的外角和等于______度。14.一個多邊形的外角和是它的內(nèi)角和的，這個多邊形是______邊形。15.假如十邊形的每個內(nèi)角都相等，則它的每個內(nèi)角都等于______度，每個外角都等于______度。16.若多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個多邊形是______邊形。17.假如一個多邊形的內(nèi)角和是720°，則這個多邊形的對角線的條數(shù)是（）Ａ.6Ｂ.9Ｃ.14Ｄ.2018.假如一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的n倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）Ａ.nＢ.2n-2Ｃ.2nＤ.2n+219.一個多邊形截去一個角（不過頂點）后，形成的多邊形的內(nèi)角和是2520°，則原多邊形的邊數(shù)是（）Ａ.13Ｂ.14Ｃ.15Ｄ.13或1520.若兩個多邊形的邊數(shù)之比為1：2，兩個多邊形的內(nèi)角和之和為1440°，求這兩個多邊形的邊數(shù)。21.推斷:外角和等于內(nèi)角和的多邊形一定是四邊形。（）22.一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的4倍，這個多邊形是（）Ａ.四邊形Ｂ.六邊形Ｃ.八邊形Ｄ.十邊形23.一個多邊形中，除一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和是120°，則這個角的度數(shù)是（）Ａ.60°Ｂ.80°Ｃ.100°Ｄ.120°24.假如一個多邊形的內(nèi)角和等于1800°，則這個多邊形是______邊形；假如一個ｎ邊形每一個內(nèi)角都是135°，則＝ｎ______；假如一個ｎ邊形每一個外角都是36°，則＝ｎ______。25.某學校藝術館的地板由三種正多邊形的小木板鋪成，設這三種多邊形的邊數(shù)分別為ｘ,ｙ,ｚ，求的值。多邊形及鑲嵌同步練習一．選擇題：1.n邊形全部對角線的條數(shù)是()A.B.C.D.2.假如多邊形的內(nèi)角和是外角和的k倍，則這個多邊形的邊數(shù)是()A.kB.2k+1C.2k+2D.2k-23.若把一個多邊形的頂點數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和是25200，則原多邊形的頂點數(shù)為()A.8B.9C.6D.104.下列命題中，正確的有()①沒有對角線的多邊形只有三角形②內(nèi)角和小于外角和的多邊形只有三角形③邊數(shù)最少的多邊形是三角形④三角形的外角和小于任何一個多邊形的外角和A.0個B.1個C.2個D.3個5.某中學新科技館鋪設地面，已有正三角形形態(tài)的地磚，現(xiàn)準備購買另一種不同形態(tài)的正多邊形地磚，與正三角形地磚在同一頂點處作平面鑲嵌，則該學校不應當購買的地磚形態(tài)是A正方形B正六邊形C正八邊形D正十二邊形4,C6.某人到瓷磚商店去購買一種多邊形形態(tài)的瓷磚，用來鋪設無縫地板，他購買的瓷磚形態(tài)不