貴州省部分校2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)的虛部為A．-2B．2C．-4D．42．已知命題p：，，命題q：，，則A．p和q都是真命題B．?p和q都是真命題C．p和?q都是真命題D．?p和?q都是真命題3．已知單位向量，滿足，則A．1B．2C．D．4．已知，，則A．B．C．D．5．設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，，過作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若，，則C的離心率為A．B．C．D．6．已知函數(shù)與的圖象恰有一個交點，則a＝A．-1B．C．1D．27．已知數(shù)據(jù)，，…，（，）的平均數(shù)、中位數(shù)、方差均為4，則這組數(shù)據(jù)的極差為A．3B．4C．5D．68．已知定義在（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意的，，都有，且．滿足不等式的x的取值范圍是A．（-∞，2022）B．（2022，2024）C．[2022，＋∞）D．[2024，＋∞）二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則A．f（x）的最小正周期為πB．f（x）的最大值為1C．f（x）是偶函數(shù)D．f（x）的圖象關(guān)于直線對稱10．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論正確的是A．若是等差數(shù)列，且，則B．若是等比數(shù)列，且，則C．若，則是等差數(shù)列D．若是公比大于1的等比數(shù)列，則11．星形線或稱為四尖瓣線，是一個有四個尖點的內(nèi)擺線．已知星形線C：上的點到x軸的距離的最大值為1，則A．B．C上的點到原點的距離的最大值為1C．C上的點到原點的距離的最小值為D．當(dāng)點在C上時，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知的展開式中各項系數(shù)的和為4，則a＝________．13．已知P為函數(shù)圖象上一點，則曲線在點P處的切線的斜率的最小值為________．14．已知某三棱臺的高為，上、下底面分別為邊長為和的正三角形，若該三棱臺各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求C；（2）若△ABC的面積為，求c．16．（15分）已知拋物線C：的焦點為F，且F與圓M：上點的距離的最小值為2．（1）求p；（2）已知點P（-1，-2），PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求|AB|．17．（15分）如圖，在直三棱柱中，，，且，，直線AE與交于點F．（1）證明：．（2）求二面角的正弦值．18．（17分）在一個盒子中有2個白球，3個紅球，甲、乙兩人輪流從盒子中隨機(jī)地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1個，取后不放回，直到2個白球都被取出來后就停止取球．（1）求2個白球都被乙取出的概率；（2）求2個白球都被甲取出的概率；（3）求將球全部取出才停止取球的概率．19．（17分）擬合和插值都是利用已知的離散數(shù)據(jù)點來構(gòu)造一個能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)，并以此預(yù)測或估計未知數(shù)據(jù)的方法．?dāng)M合方法在整體上尋求最好地逼近數(shù)據(jù)，適用于給定數(shù)據(jù)可能包含誤差的情況，比如線性回歸就是一種擬合方法；而插值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過所有的已知數(shù)據(jù)點，適用于需要高精度模型的場景，實際應(yīng)用中常用多項式函數(shù)來逼近原函數(shù)，我們稱之為多項式插值．例如，為了得到的近似值，我們對函數(shù)進(jìn)行多項式插值．設(shè)一次函數(shù)滿足可得f（x）在[0，1]上的一次插值多項式，由此可計算出的“近似值”，顯然這個“近似值”與真實值的誤差較大．為了減小插值估計的誤差，除了要求插值函數(shù)與原函數(shù)在給定節(jié)點處的函數(shù)值相等，還可要求在部分節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等．滿足這種要求的插值多項式稱為埃爾米特插值多項式．已知函數(shù)在[0，1]上的二次埃爾米特插值多項式滿足（1）求H（x），并證明當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，，求λ的取值范圍；（3）利用H（x）計算的近似值，并證明其誤差不超過0.1．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到0.01）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1．B，所以復(fù)數(shù)z的虛部為2．2．A對于p，因為，所以，故p是真命題，?p是假命題．對于q，當(dāng)時，，故q是真命題，?q是假命題．綜上，p和q都是真命題．3．D因為，所以．4．C因為，所以，又因為，所以，，故．5．A由題可知A，B，三點的橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將代入，得，即，，故，．因為，解得，所以，，，所以．6．A令，即，可得．由題意可得函數(shù)與的圖象恰有一個交點．因為函數(shù)與都是偶函數(shù)，所以交點只能在y軸上，即，解得．若，令，可得，即．令函數(shù)，，所以h（x）在R上單調(diào)遞增．因為，所以方程有且僅有一個實根0，即函數(shù)與的圖象恰有一個交點，所以符合題意．7．D不妨設(shè)，因為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)均為4，所以，①．因為這組數(shù)據(jù)的方差為4，所以，即．因為，所以．要使得4個非負(fù)整數(shù)的平方和等于20，這4個數(shù)為0，0，2，4或1，1，3，3．若為0，0，2，4，不存在使得①成立，所以為1，1，3，3，分別為1，3，5，7，所以這組數(shù)據(jù)的極差為6．8．B不妨設(shè)，則，所以，即．設(shè)函數(shù)，則，所以g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減．，即，因為，所以，即，解得．9．BCf（x）的部分圖象如圖所示：由圖可得，A，D錯誤，B，C正確．10．AB由，可得，，．因為是等差數(shù)列，所以，解得，A正確．由，可得，，．因為是等比數(shù)列，所以，解得，B正確．若，則．當(dāng)時，．顯然時不滿足，所以故不是等差數(shù)列，C錯誤．，，所以．因為，所以．當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，D錯誤．11．ABD令，得，所以C與y軸的交點為（0，±a）．由圖可得，C上的點到x軸的距離的最大值為|a|，即，因為，所以，A正確．由圖可得，C上的點到原點的距離的最大值為1，B正確．設(shè)C上的點為，則，所以．點P到原點的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以C上的點到原點的距離的最小值為，C錯誤．當(dāng)點在C上時，，所以，D正確．12．3令，則，解得．13．2f（x）的定義域為．，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故曲線在點P處的切線的斜率的最小值為2．14．144π如圖，設(shè)H，G分別為△DEF和△ABC的中心．由題意可得，，，，．因為，所以，所以，解得，即點O與點G重合．球O的半徑即，則球O的表面積為144π．15．解：（1）因為，所以．由余弦定理有．因為，所以．因為，所以．因為，所以，即．因為，所以．（2）由（1）可得，．由正弦定理有，從而，．，解得．16．解：（1）拋物線C的焦點為，記圓M的圓心為M（-2，0），．F與圓M：上點的距離的最小值為，解得．（2）拋物線C的方程為．設(shè)過點P的直線方程為．聯(lián)立得．令，解得或，所以直線PA，PB的方程分別為，．聯(lián)立得，解得，．聯(lián)立得，解得，．所以點A，B的坐標(biāo)分別為（2，1），（-4，4）．．17．（1）證明：因為，所以，所以，所以，所以，，．在直三棱柱中，，所以．因為，，所以，所以．因為，所以．（2）解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（2，0，0），E（0，2，1），，C（0，2，0），，，．設(shè)平面的法向量為，則取，得．由（1）可得為平面ABE的法向量．設(shè)二面角的大小為θ，，，所以二面角的正弦值為．18．解：（1）若2個白球都被乙取出，則第一次甲取出紅球，第二次乙取出白球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出白球，結(jié)束取球，其概率為．（2）若2個白球都被甲取出，有三種情況．第一種情況：第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，結(jié)束取球，其概率為．第二種情況：第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出紅球，第五次甲取出白球，結(jié)束取球，其概率為．第三種情況：第一次甲取出紅球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，第四次乙取出紅球，第五次甲取出白球，結(jié)束取球，其概率為．故所求概率為．（3）若將球全部取出才停止取球，則最后一次即第五次取出的一定是白球，共四種情況．①第一次和第五次取出的是白球，另外三次取出的是紅球，其概率為．②第二次和第五次取出的是白球，另外三次取出的是紅球，其概率為．③第三次和第五次取出的是白球，另外三次取出的是紅球，其概率為．④第四次和第五次取出的是白球，另外三次取出的是紅球，其概率為．故所求概率為．19．解：（1），，，，，，．由得解得所以．設(shè)，，．令函數(shù)，則．令函數(shù)，則，所以在[0，1]上單調(diào)遞減．又因為，，所以存在，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以F′（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為，，，所以F′（x）在（0，1）上存在唯一的零點，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以F（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為，所