基本計數(shù)原理高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修二

第三章排列、組合與二項式定理人教B版（2019）3.1.1

基本計數(shù)原理課標要點核心素養(yǎng)1.了解分類加法計數(shù)原理及其意義數(shù)學(xué)抽象2.了解分步乘法計數(shù)原理及其意義數(shù)學(xué)抽象3.能利用計數(shù)原理解決簡單的實際問題數(shù)學(xué)運算情境與問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中，我們經(jīng)常會遇到類似“共有多少種情況”的計數(shù)問題.例如:（1）一個由3個元素組成的集合，共有多少個不同的子集？（2）由3個數(shù)字組成的密碼鎖，如圖所示，如果忘記了密碼，最多要試多少次才能打開密碼鎖？（3）有4位同學(xué)和1位老師站成一排照相，如果老師要站在正中間，如圖所示，則有多少種不同的站法？嘗試與發(fā)現(xiàn)你能解答下述兩個問題嗎？試著由此歸納出一般的規(guī)律.（1）已知某天從北京到上海的G字頭列車有43班，D字頭列車有2班，其他列車有3班，小張想在這一天坐火車從北京到上海旅游，不考慮其他因素，小張有多少種不同的選擇？（2）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.假定火車每日有1班，汽車每日有3班，輪船每日有2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法呢？嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題（1），小張乘坐的列車可以分為3類，即G字頭列車、D字頭列車或其他列車，其中任何一類的任何一班車都可以讓小張從北京到達上海，因此不同的選擇有

43+2+3=48

種.類似地，問題（2）中，從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：火車、汽車或輪船，每類交通工具又各有若干個班次，選擇其中任何一類的任何一個班次都可以從甲地到達乙地，因此一天中不同的走法有

種.1+3+2=61.分類加法計數(shù)原理例1

在某設(shè)計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？嘗試與發(fā)現(xiàn)試給出一種滿足條件的涂法，在明確要完成的事情是什么的前提下思考：（1）怎樣用符號表示填涂結(jié)果？（2）可以將填涂結(jié)果分類嗎？3+3=6嘗試與發(fā)現(xiàn)已知某公園的示意圖如圖所示，其中從西門到景點A共有3條不同的路，從景點A到東門共有兩條不同的路.

王瑞從公園的西門進入公園后，想去A景點游玩，然后從東門出公園.只考慮路的選擇，王瑞共有多少種不同的走法？你能用適當?shù)姆柋硎境鏊械那闆r嗎？2.分步乘法計數(shù)原理例2

用1，2，3，4，5可以排成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？分析：要排成一個三位數(shù)，只需分別指定這個三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字即可，因此可以分為三步完成.解：排成一個三位數(shù)，可以分為三步：第一步，確定百位上的數(shù)字，共有5種方法；第二步，確定十位上的數(shù)字，因為數(shù)字不能重復(fù)，所以不能是百位上已有的數(shù)字，共有4種方法；第三步，確定個位上的數(shù)字，共有3種方法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可以排成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為5×4×3=60.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理合稱為基本計數(shù)原理.3.基本計數(shù)原理的應(yīng)用例3

某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成，現(xiàn)要從該班班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動，要求至少要有1位女同學(xué)參加，則不同的選法共有多少種？1+6=7解：按照選擇的女同學(xué)人數(shù)分為兩種情況，即2位都是女同學(xué)和只有1位女同學(xué).2位都是女同學(xué)的選法顯然只有1種.只有1位女同學(xué)的選法，可以分為兩步完成：先從2位女同學(xué)中選出1人，有2種選法；再從3位男同學(xué)中選出1人，有3種選法。依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的選法2×3=6種.依據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選法共有