45-第四章習題課下(概率統(tǒng)計)

第四章隨機變量的數(shù)字特征習題課4（下）習題課4分為上、下兩部分.在

上部分中,我們歸納了第四章的概念、理論與方法等內(nèi)容,并對關(guān)鍵而又容易出錯的地方作了講評.在“例題分類解析”部分,講解了:1.直接按定義計算隨機變量的數(shù)學期望;2.利用數(shù)學期望的性質(zhì)及常見分布的期望進行計算.3.直接按定義計算隨機變量的方差;4.利用方差的性質(zhì)及常見分布的數(shù)字特征進行計算.習題課4（下）內(nèi)容簡介：

在下部分中,在“例題分類解析”部分，講解:6.一維隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征;7.二維隨機變量及其函數(shù)的數(shù)字特征;8.相關(guān)性與獨立性問題;9.有關(guān)數(shù)字特征的證明問題.介紹了學習與研究方法.6.一維隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征分析

例4.11

設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標的次數(shù),每次射中目標的概率為0.4,則的數(shù)學期望____.

解,得到所以本題涉及二項分布及函數(shù)的數(shù)字

特征.擴展本題可擴展到求X(X+1)的數(shù)學期望,或考慮更為一般的形式講評的靈活應(yīng)用.在解題中,我們經(jīng)常需要先計算本題考查方差公式進而算得方差D(X).但有時,如本例也可倒過來,借助常用分布的期望和方差來計算某些隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征.

例4.12

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求分析本題涉及一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算.解由題設(shè)可知X的概率密度于是因此,講評本題主要考查隨機變量函數(shù)的期望公式再次強調(diào)指出,書寫時不要出現(xiàn)類似這樣的低級錯誤.擴展的隨機變量X的函數(shù)數(shù)學期望為使我們可以直接計算Y的期望,

而不必求其分布.

7.二維隨機變量及其函數(shù)的數(shù)字特征的分布律為

例4.13

設(shè)和是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,

已知

又設(shè)(1)寫出二維隨機變量(X,Y)的分布律;

(2)求分析本題涉及二維離散隨機變量的函數(shù)的分布律和期望.解(1)下面實際計算一下注意到因此類似地計算,可得的分布律如下表332121YX000所以講評和是兩個重要的隨機變量函數(shù).對于離散型而言,由獨立通過窮舉法即可得到其分布律,進而可得邊緣分布律及所需數(shù)字特征.

(2)

由的分布律可得關(guān)于X的321X邊緣分布律擴展本題可擴展成求等.和

例4.14

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求分析由于概率密度中含有待定參數(shù),所以應(yīng)首先根據(jù)求得A.解由得因此,于是有利用對稱性,有由于所以,協(xié)方差在二維隨機變量的數(shù)字特征計算中,一定要注意二重積分的“有效積分區(qū)域”.同時,熟悉一些基本的積分結(jié)果將有助于提高我們計算連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的速度和準確性.如本題中的擴展講評本題比較全面地考查了二維隨機變量的數(shù)字特征.

例4.15

設(shè)X和Y是相互獨立且服從正態(tài)分布的兩個隨機變量,則_____.

分析注意到相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布,得X,Y的分布是確解記U=X-Y,則

由此可知講評類似本題這樣的問題利用正態(tài)隨機變量的良好性質(zhì)可以簡化計算.于是擴展本題可擴展成考慮更為一般的期望問題,形如以及8.相關(guān)性和獨立性問題

例4.16

設(shè)二維隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則隨機變量與不相關(guān)的充分必要條().(A)

(B)(C)

(D)分析本題涉及協(xié)方差的計算,因為不相關(guān)等價于協(xié)方差為零.解而等價于與不相關(guān),

所以選(B).講評相關(guān)系數(shù)(相關(guān)性)是二維隨機變量的一個重要數(shù)字特征.擴展本題可擴展為進一步考慮與的獨立性.(A)不相關(guān)的充分條件,但不是必要條件.(B)獨立的充分條件,但不是必要條件.

例4.17

設(shè)隨機變量X和Y的方差存在且不是X與Y().等于0,

則(C)不相關(guān)的充分必要條件.(D)獨立的充分必要條件.分析兩個隨機變量不相關(guān)的充要條件是它們的相關(guān)系數(shù)為零,而后者只是兩個隨機變量立的必要條件.解因為故選項(C)正確.所以X

和Y

不相關(guān)的充分必要條件是即講評注意隨機變量X

和Y

的獨立性僅是的充分條件.擴展事實上,分析本題涉及知識點很多,包括期望、方差和相關(guān)系數(shù)及獨立性等.

例4.18

已知隨機變量且X與Y的相關(guān)系數(shù)設(shè)(1)求和(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)(3)問X與Z是否相互獨立?為什么?解(1)由于所以而因此(2)由于所以(3)由知X與Z不相關(guān),因Z不一定服從正態(tài)分布,(X,Z

)更不一定服從正態(tài)分布,X與Z不一定相互獨立.講評性質(zhì),

如“相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布”,“二維正態(tài)隨機變量不相關(guān)和獨立是等價的”等.這些結(jié)果可以簡化問題的計算.正態(tài)隨機變量具有一些非常好的擴展.

9.有關(guān)數(shù)字特征的證明問題分析事實上就是一個以C為參數(shù)的二次函數(shù).證由于本題可擴展為考慮隨機變量X和的獨立性如何依賴X與Y的相關(guān)系數(shù)在

例4.19

設(shè)X是隨機變量,C是常數(shù),證明處取得最小值函數(shù)≥

取得最小值等號僅當時成立,所以在處講評意義,即方差是函數(shù)本題從另一個側(cè)面揭示了方差的在處取最小值.擴展本問題可擴展為考慮二元函數(shù)的極值問題.分析本題涉及隨機變量的方差的性質(zhì).證由于所以從而有

例4.20

證明:對于任意兩個隨機變量X和Y,則有

若擴展關(guān)系式即X和Y不相關(guān).

例4.21

對于任意二事件A,B,講評與數(shù)學期望不同,隨機變量的方差不是線性的.

只有當隨機變量X和Y獨立或不相關(guān)時才有稱做事件A和B的相關(guān)系數(shù).(1)證明事件A和B相互獨立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零;(2)利用隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)證明≤1.分析這里定義了隨機事件的相關(guān)系數(shù),并討論了它的某些性質(zhì).證(1)由的定義可知即二事件A和B獨立.因此是A和B獨立的充分必要條件.(2)考慮隨機變量由條件知,X,Y都服從0-1分布

本題考查了0-1分布的數(shù)字特征的計算.

考查學生的應(yīng)變能力.隨機事件的指示函數(shù)的作用.于是.這樣,可知隨機事件A和B的相關(guān)系數(shù)就等于隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).因此≤1.

講評

.借助于形如這樣一個示性函數(shù)將隨機事件的討論巧妙地轉(zhuǎn)化為關(guān)于隨機變量的討論.這種方法值得重視.

可以擴充到兩個隨機事件的指示函數(shù)討論問題.擴展

例4.22

設(shè)A,B是二隨機事件,隨機變量

試證明隨機變量X和Y不相關(guān)的充要條件是隨機事件A和B相互獨立.分析本問題涉及隨機變量的相關(guān)性和隨機事件的獨性.證記由數(shù)學期望的定義有注意到XY的可能取值為-1,1,又

因此從而由此可見即故X和Y不相關(guān)的充要條件是A和B相關(guān)獨立.講評擴展關(guān)系是一個非常重要的問題,在以往研究生考試中曾多次涉及,參見第三節(jié)歷年考研真題詳解.

隨機變量的獨立性和不相關(guān)性的概念和隨機事件獨立的概念.切記,相互獨立的隨機變量一定是不相關(guān)的,但反之不然.

本題考查了隨機變量的不相關(guān)的10.應(yīng)用題

例4.23

假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作.若一周5個工作日里機器無故障企業(yè)可獲利10萬元;機器發(fā)生一次故障企業(yè)仍可獲利潤5萬元;機器發(fā)生二次故障企業(yè)所獲利潤0元;機器發(fā)生三次或者三次以上故障企業(yè)就虧損2萬元,求一周內(nèi)企業(yè)期望利潤是多少?分析本題涉及離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.

易知一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從二項分布,而所獲利潤是它的函數(shù).

解以X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障天數(shù),

則X服從參數(shù)為5,0.2的二項分布

于是≥以Y表示所獲利潤,則因此

=5.216(萬元).講評擴展正確建立函數(shù)關(guān)系的能力.題型是:X服從已知分布,Y是X的分段函數(shù)關(guān)系,計算E(Y).

本題主要考查在實際應(yīng)用問題中本問題很具有代表性,其方法可擴展到X是其它離散型隨機變量.

例4.24

假設(shè)由自動生產(chǎn)線加工的某種零件

的內(nèi)徑X(單位:mm)服從正態(tài)分布內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品,其余為合格品.銷售每件合格品獲利,銷售每件不合格品虧損.已知銷售利潤T(單位:元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系:問平均內(nèi)徑取何值時,銷售一個零件的平均利潤最大?并求出平均利潤的最大值.

分析

本題是一道綜合題，既涉及到隨機變量的數(shù)學期望的計算,又要用到導(dǎo)數(shù)求最值.解

由于所以

≤≤銷售一個零件的平均利潤為因為得令解得容易驗證是的最大值點,即當

mm時,銷售一個零件的平均利潤最大,最大值為講評

本題考查的是離散型隨機變量的數(shù)學期望的計算.由于數(shù)學期望的