線性代數(shù)-課件8

主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數(shù)大連理工大學(xué)出版社普通高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)試用教材矩陣理論在自然科學(xué)、社會科學(xué)和經(jīng)濟管理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,以下用三方面實例來介紹這類應(yīng)用.在微積分中,介紹了一類特殊形式的二次曲面方程,如:若二次曲面有形如的方程,此曲面為橢球面;若二次曲面有形如的方程,此曲面為單葉雙曲面.這些曲面方程都是以標準形式出現(xiàn)的,稱其為二次曲面的標準方程.那么,要知道一般二次方程代表什么曲面就要先將方程化成標準方程的形式,然后再進行判斷.二次曲面的一般方程為為了研究一般二次曲面的性質(zhì),化一般方程為標準方程,我們將分兩步進行:

化二次曲面方程例１為標準形,并指出它的形狀.

答案

1.將下列二次曲面方程化為標準形,并指出它們的形狀:

答案

1.將下列二次曲面方程化為標準形,并指出它們的形狀:

答案

1.將下列二次曲面方程化為標準形,并指出它們的形狀:8.2.1投入產(chǎn)出模型(靜態(tài)價值型)經(jīng)濟系統(tǒng)是由若干經(jīng)濟部門組成的一個有機總體.我們把從事一項經(jīng)濟活動的消耗稱為投入,把從事經(jīng)濟活動的結(jié)果稱為產(chǎn)出,則各部門間的相互依賴關(guān)系即為投入和產(chǎn)出的關(guān)系.現(xiàn)考慮一個具有n

個部門的經(jīng)濟系統(tǒng),各部門分別稱為部門1、部門2、…、部門n,并假設(shè):(1)部門i僅生產(chǎn)一種產(chǎn)品i(稱為部門i的產(chǎn)出),不同部門的產(chǎn)品不能相互替代.由這一假設(shè)可以看出,部門與產(chǎn)出之間是一一對應(yīng)的.

(2)部門i在生產(chǎn)過程中至少需要消耗另一部門j

的產(chǎn)品(稱為部門j對部門i

的投入),并且消耗的各部門產(chǎn)品的投入量與該部門的總產(chǎn)量成正比.利用某一年的統(tǒng)計資料,則可以先編制投入產(chǎn)出表,并得出相應(yīng)的平衡方程組,由此建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型———投入產(chǎn)出模型.投入產(chǎn)出模型按計量單位的不同,可分為價值型和實物型.在價值型模型中,各部門的產(chǎn)出、投入均以貨幣單位表示;在實物型模型中,則按各產(chǎn)品的實物單位(如噸、米等)為單位.本節(jié)我們主要討論價值型投入產(chǎn)出模型.見表8-1,假設(shè)我們利用某年的經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)據(jù)編制投入產(chǎn)出表.其中,

xi:部門i的總產(chǎn)量(i=1,2,…,n);

xij:部門j在生產(chǎn)過程中需消耗部門i產(chǎn)品的數(shù)量,也稱為部門間的流量,xij≥0(i,j=1,2,…,n);

yi:部門i的總產(chǎn)量xi

扣除用于其他各部門(包括本部門)的生產(chǎn)消耗后的余量(用于社會積累和消費),亦稱部門i的最終產(chǎn)出(i=1,2,…,n);

zj:部門j的新創(chuàng)造價值(j=1,2,…,n),它是部門j的勞動報酬vj(工資、獎金及其他勞動收入)與純收入mj(稅金、利潤等)的總和.投入產(chǎn)出表由雙線分成了第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限:左上角的第Ⅰ象限反映了各部門的技術(shù)經(jīng)濟聯(lián)系,第i行表明部門i

作為生產(chǎn)部門其產(chǎn)品提供給其他各部門的消耗數(shù)量,第j列表明部門j

在生產(chǎn)過程中消耗其他部門產(chǎn)品的數(shù)量;第Ⅱ象限反映了可供社會最終消耗的和使用的產(chǎn)品量,第i行表明部門i的產(chǎn)出作為最終產(chǎn)品用于積累、消費等的情況;第Ⅲ象限反映了各部門的固定資產(chǎn)折舊和新創(chuàng)造價值,體現(xiàn)了國民收入的初次分配以及必要勞動與剩余勞動的比例,第j列表明部門j

的新創(chuàng)造價值,各行則反映了各部門新創(chuàng)造價值的構(gòu)成;第Ⅳ象限用于體現(xiàn)國民收入的再分配,這個部分因為很復(fù)雜,所以常常被省略,一般不編制表的這一部分.投入產(chǎn)出表的第Ⅰ、Ⅱ象限中的行反映了各部門產(chǎn)品的去向即分配情況:一部分作為中間產(chǎn)品提供給其他部門作為原材料,另一部分作為最終產(chǎn)品提供給社會.即例1例2如果規(guī)定計劃時期最終產(chǎn)品分別為(單位:億元)630,770,730,求計劃時期的總產(chǎn)品.直接消耗系數(shù)aij

反映了第j

部門對第i

部門產(chǎn)品的直接消耗,但是第j部門還有可能通過第k

部門的產(chǎn)品(第k部門要消耗第i

部門產(chǎn)品)而間接消耗第i部門的產(chǎn)品.例如汽車生產(chǎn)部門除了直接消耗鋼鐵之外還會通過使用機床而間接消耗鋼鐵,所以下面引進刻畫部門之間的完全聯(lián)系的量———完全消耗系數(shù).8.2.2完全消耗系數(shù)一般的,部門j除直接消耗部門i

的產(chǎn)品外還要通過一系列中間環(huán)節(jié)形成對部門i

產(chǎn)品的間接消耗.直接消耗與間接消耗的和,稱為完全消耗.故定義:第j部門生產(chǎn)單位價值量直接和間接消耗的第i

部門的價值量總和,稱為第j部門對第i

部門的完全消耗系數(shù),記作bij(i,j=1,2,…,n),并稱由bij

構(gòu)成的n

階方陣為各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣.根據(jù)完全消耗的意義,有上式右端第一項為直接消耗,第二項為全部間接消耗.矩陣形式為于是有又因所以這表明,完全消耗系數(shù)可由直接消耗系數(shù)獲得.例３假設(shè)某公司三個生產(chǎn)部門間的報告價值型投入產(chǎn)出表見表8-3:求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣.解依次用各部門的總產(chǎn)值除以中間消耗欄中各列,得到直接消耗系數(shù)矩陣為于是故所求完全消耗系數(shù)矩陣為由此例可知,完全消耗系數(shù)矩陣的值比直接消耗系數(shù)矩陣的值要大很多.完全消耗系數(shù)是一個經(jīng)濟體系的經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析以及經(jīng)濟預(yù)測的重要參數(shù),完全消耗系數(shù)的求得是投入產(chǎn)出模型的最顯著的特點,它全面反映了各部門之間相互依存相互制約的關(guān)系,利用完全消耗系數(shù)可以分析最終產(chǎn)品Y

與總產(chǎn)品X

的關(guān)系.例4一個經(jīng)濟系統(tǒng)有三個部門,下一個生產(chǎn)周期的最終產(chǎn)品為:A

部門60億元,B

部門70億元,C

部門60億元,該系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣為問各部門的總產(chǎn)品要達到多少才能完成計劃?解因為由X=(B+E)Y,有即三個部門應(yīng)完成的總產(chǎn)品分別為100億元,200億元,100億元.1.設(shè)三個經(jīng)濟部門某年的投入產(chǎn)出情況,見表8-4:答案(1)560,340,280;(2)168,136,140.2.設(shè)某一經(jīng)濟系統(tǒng)在所考察期內(nèi)部門投入產(chǎn)出情況,見表8-5:答案3.某經(jīng)濟系統(tǒng)報告期的直接消耗系數(shù)矩陣為答案250,200,320.

如果計劃期最終產(chǎn)品分別確定為y1=60(萬元),y2=55(萬元),y3=120(萬元),試求計劃期的各部門總產(chǎn)品.

4.已知某經(jīng)濟系統(tǒng)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)的直接消耗系數(shù)矩陣A

和最終產(chǎn)品Y(單位:萬元)分別為答案試求:(1)各部門總產(chǎn)品X;(2)當最終產(chǎn)品分別增加40萬元,20萬元,25萬元時的總產(chǎn)品.8.3.1多元函數(shù)的極值在微積分中,我們已經(jīng)得到了判定二元函數(shù)f(x,y)極值的一個充分條件為:設(shè)f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù),存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且(x0,y0)是f(x,y)的駐點(即f′x(x0,y0)=f′y(x0,y0)=0),記例１已知某企業(yè)生產(chǎn)三種相關(guān)產(chǎn)品,其價格與需求的關(guān)系分別為:8.3.2條件極值在實際問題中,我們常常還會遇到這樣的最優(yōu)化問題:求f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的極值.通常,這種需要滿足約束條件的最優(yōu)化問題稱為約束最優(yōu)化問題,而稱前面的最優(yōu)化問題為無約束最優(yōu)化問題.在微積分中,已經(jīng)給出了求解約束最優(yōu)化問題的有效方法———拉格朗日乘數(shù)法.我們這里將討論一種具有特殊意義的條件優(yōu)化問題:求f(x)在約束條件φ(x)=0下的條件極值,其中x=(x1,x2,…,xn)T,f(x)是二次型xTAx,φ(x)=xTx-1.這類問題自然可以使用拉格朗日乘數(shù)法求解,但由于f(x)是二次型,我們可以采用純代數(shù)的求解方法.例２定理2設(shè)A

是實對稱矩陣,m和M分別是二次型xTAx在約束條件xTx=1下的最小和最大值,那么m

是A

的最小特征值,M

是A

的最大特征值,且m

和M

分別在A

的最小和最大特征值對應(yīng)的單位特征向量處取得.證明略.例３

解二次型的矩陣為

A的特征多項式為最大特征值為9,由定理2,得M=9.