線性代數(shù)-課件8

主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數(shù)大連理工大學(xué)出版社普通高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)試用教材矩陣?yán)碚撛谧匀豢茖W(xué)、社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,以下用三方面實(shí)例來(lái)介紹這類應(yīng)用.在微積分中,介紹了一類特殊形式的二次曲面方程,如:若二次曲面有形如的方程,此曲面為橢球面;若二次曲面有形如的方程,此曲面為單葉雙曲面.這些曲面方程都是以標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn)的,稱其為二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.那么,要知道一般二次方程代表什么曲面就要先將方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再進(jìn)行判斷.二次曲面的一般方程為為了研究一般二次曲面的性質(zhì),化一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,我們將分兩步進(jìn)行:

化二次曲面方程例１為標(biāo)準(zhǔn)形,并指出它的形狀.

答案

1.將下列二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形,并指出它們的形狀:

答案

1.將下列二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形,并指出它們的形狀:

答案

1.將下列二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形,并指出它們的形狀:8.2.1投入產(chǎn)出模型(靜態(tài)價(jià)值型)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是由若干經(jīng)濟(jì)部門(mén)組成的一個(gè)有機(jī)總體.我們把從事一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的消耗稱為投入,把從事經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的結(jié)果稱為產(chǎn)出,則各部門(mén)間的相互依賴關(guān)系即為投入和產(chǎn)出的關(guān)系.現(xiàn)考慮一個(gè)具有n

個(gè)部門(mén)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),各部門(mén)分別稱為部門(mén)1、部門(mén)2、…、部門(mén)n,并假設(shè):(1)部門(mén)i僅生產(chǎn)一種產(chǎn)品i(稱為部門(mén)i的產(chǎn)出),不同部門(mén)的產(chǎn)品不能相互替代.由這一假設(shè)可以看出,部門(mén)與產(chǎn)出之間是一一對(duì)應(yīng)的.

(2)部門(mén)i在生產(chǎn)過(guò)程中至少需要消耗另一部門(mén)j

的產(chǎn)品(稱為部門(mén)j對(duì)部門(mén)i

的投入),并且消耗的各部門(mén)產(chǎn)品的投入量與該部門(mén)的總產(chǎn)量成正比.利用某一年的統(tǒng)計(jì)資料,則可以先編制投入產(chǎn)出表,并得出相應(yīng)的平衡方程組,由此建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型———投入產(chǎn)出模型.投入產(chǎn)出模型按計(jì)量單位的不同,可分為價(jià)值型和實(shí)物型.在價(jià)值型模型中,各部門(mén)的產(chǎn)出、投入均以貨幣單位表示;在實(shí)物型模型中,則按各產(chǎn)品的實(shí)物單位(如噸、米等)為單位.本節(jié)我們主要討論價(jià)值型投入產(chǎn)出模型.見(jiàn)表8-1,假設(shè)我們利用某年的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)編制投入產(chǎn)出表.其中,

xi:部門(mén)i的總產(chǎn)量(i=1,2,…,n);

xij:部門(mén)j在生產(chǎn)過(guò)程中需消耗部門(mén)i產(chǎn)品的數(shù)量,也稱為部門(mén)間的流量,xij≥0(i,j=1,2,…,n);

yi:部門(mén)i的總產(chǎn)量xi

扣除用于其他各部門(mén)(包括本部門(mén))的生產(chǎn)消耗后的余量(用于社會(huì)積累和消費(fèi)),亦稱部門(mén)i的最終產(chǎn)出(i=1,2,…,n);

zj:部門(mén)j的新創(chuàng)造價(jià)值(j=1,2,…,n),它是部門(mén)j的勞動(dòng)報(bào)酬vj(工資、獎(jiǎng)金及其他勞動(dòng)收入)與純收入mj(稅金、利潤(rùn)等)的總和.投入產(chǎn)出表由雙線分成了第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限:左上角的第Ⅰ象限反映了各部門(mén)的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系,第i行表明部門(mén)i

作為生產(chǎn)部門(mén)其產(chǎn)品提供給其他各部門(mén)的消耗數(shù)量,第j列表明部門(mén)j

在生產(chǎn)過(guò)程中消耗其他部門(mén)產(chǎn)品的數(shù)量;第Ⅱ象限反映了可供社會(huì)最終消耗的和使用的產(chǎn)品量,第i行表明部門(mén)i的產(chǎn)出作為最終產(chǎn)品用于積累、消費(fèi)等的情況;第Ⅲ象限反映了各部門(mén)的固定資產(chǎn)折舊和新創(chuàng)造價(jià)值,體現(xiàn)了國(guó)民收入的初次分配以及必要?jiǎng)趧?dòng)與剩余勞動(dòng)的比例,第j列表明部門(mén)j

的新創(chuàng)造價(jià)值,各行則反映了各部門(mén)新創(chuàng)造價(jià)值的構(gòu)成;第Ⅳ象限用于體現(xiàn)國(guó)民收入的再分配,這個(gè)部分因?yàn)楹軓?fù)雜,所以常常被省略,一般不編制表的這一部分.投入產(chǎn)出表的第Ⅰ、Ⅱ象限中的行反映了各部門(mén)產(chǎn)品的去向即分配情況:一部分作為中間產(chǎn)品提供給其他部門(mén)作為原材料,另一部分作為最終產(chǎn)品提供給社會(huì).即例1例2如果規(guī)定計(jì)劃時(shí)期最終產(chǎn)品分別為(單位:億元)630,770,730,求計(jì)劃時(shí)期的總產(chǎn)品.直接消耗系數(shù)aij

反映了第j

部門(mén)對(duì)第i

部門(mén)產(chǎn)品的直接消耗,但是第j部門(mén)還有可能通過(guò)第k

部門(mén)的產(chǎn)品(第k部門(mén)要消耗第i

部門(mén)產(chǎn)品)而間接消耗第i部門(mén)的產(chǎn)品.例如汽車生產(chǎn)部門(mén)除了直接消耗鋼鐵之外還會(huì)通過(guò)使用機(jī)床而間接消耗鋼鐵,所以下面引進(jìn)刻畫(huà)部門(mén)之間的完全聯(lián)系的量———完全消耗系數(shù).8.2.2完全消耗系數(shù)一般的,部門(mén)j除直接消耗部門(mén)i

的產(chǎn)品外還要通過(guò)一系列中間環(huán)節(jié)形成對(duì)部門(mén)i

產(chǎn)品的間接消耗.直接消耗與間接消耗的和,稱為完全消耗.故定義:第j部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值量直接和間接消耗的第i

部門(mén)的價(jià)值量總和,稱為第j部門(mén)對(duì)第i

部門(mén)的完全消耗系數(shù),記作bij(i,j=1,2,…,n),并稱由bij

構(gòu)成的n

階方陣為各部門(mén)間的完全消耗系數(shù)矩陣.根據(jù)完全消耗的意義,有上式右端第一項(xiàng)為直接消耗,第二項(xiàng)為全部間接消耗.矩陣形式為于是有又因所以這表明,完全消耗系數(shù)可由直接消耗系數(shù)獲得.例３假設(shè)某公司三個(gè)生產(chǎn)部門(mén)間的報(bào)告價(jià)值型投入產(chǎn)出表見(jiàn)表8-3:求各部門(mén)間的完全消耗系數(shù)矩陣.解依次用各部門(mén)的總產(chǎn)值除以中間消耗欄中各列,得到直接消耗系數(shù)矩陣為于是故所求完全消耗系數(shù)矩陣為由此例可知,完全消耗系數(shù)矩陣的值比直接消耗系數(shù)矩陣的值要大很多.完全消耗系數(shù)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析以及經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的重要參數(shù),完全消耗系數(shù)的求得是投入產(chǎn)出模型的最顯著的特點(diǎn),它全面反映了各部門(mén)之間相互依存相互制約的關(guān)系,利用完全消耗系數(shù)可以分析最終產(chǎn)品Y

與總產(chǎn)品X

的關(guān)系.例4一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有三個(gè)部門(mén),下一個(gè)生產(chǎn)周期的最終產(chǎn)品為:A

部門(mén)60億元,B

部門(mén)70億元,C

部門(mén)60億元,該系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣為問(wèn)各部門(mén)的總產(chǎn)品要達(dá)到多少才能完成計(jì)劃?解因?yàn)橛蒟=(B+E)Y,有即三個(gè)部門(mén)應(yīng)完成的總產(chǎn)品分別為100億元,200億元,100億元.1.設(shè)三個(gè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)某年的投入產(chǎn)出情況,見(jiàn)表8-4:答案(1)560,340,280;(2)168,136,140.2.設(shè)某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在所考察期內(nèi)部門(mén)投入產(chǎn)出情況,見(jiàn)表8-5:答案3.某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)報(bào)告期的直接消耗系數(shù)矩陣為答案250,200,320.

如果計(jì)劃期最終產(chǎn)品分別確定為y1=60(萬(wàn)元),y2=55(萬(wàn)元),y3=120(萬(wàn)元),試求計(jì)劃期的各部門(mén)總產(chǎn)品.

4.已知某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的直接消耗系數(shù)矩陣A

和最終產(chǎn)品Y(單位:萬(wàn)元)分別為答案試求:(1)各部門(mén)總產(chǎn)品X;(2)當(dāng)最終產(chǎn)品分別增加40萬(wàn)元,20萬(wàn)元,25萬(wàn)元時(shí)的總產(chǎn)品.8.3.1多元函數(shù)的極值在微積分中,我們已經(jīng)得到了判定二元函數(shù)f(x,y)極值的一個(gè)充分條件為:設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù),存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且(x0,y0)是f(x,y)的駐點(diǎn)(即f′x(x0,y0)=f′y(x0,y0)=0),記例１已知某企業(yè)生產(chǎn)三種相關(guān)產(chǎn)品,其價(jià)格與需求的關(guān)系分別為:8.3.2條件極值在實(shí)際問(wèn)題中,我們常常還會(huì)遇到這樣的最優(yōu)化問(wèn)題:求f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的極值.通常,這種需要滿足約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題稱為約束最優(yōu)化問(wèn)題,而稱前面的最優(yōu)化問(wèn)題為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題.在微積分中,已經(jīng)給出了求解約束最優(yōu)化問(wèn)題的有效方法———拉格朗日乘數(shù)法.我們這里將討論一種具有特殊意義的條件優(yōu)化問(wèn)題:求f(x)在約束條件φ(x)=0下的條件極值,其中x=(x1,x2,…,xn)T,f(x)是二次型xTAx,φ(x)=xTx-1.這類問(wèn)題自然可以使用拉格朗日乘數(shù)法求解,但由于f(x)是二次型,我們可以采用純代數(shù)的求解方法.例２定理2設(shè)A

是實(shí)對(duì)稱矩陣,m和M分別是二次型xTAx在約束條件xTx=1下的最小和最大值,那么m

是A

的最小特征值,M

是A

的最大特征值,且m

和M

分別在A

的最小和最大特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量處取得.證明略.例３

解二次型的矩陣為

A的特征多項(xiàng)式為最大特征值為9,由定理2,得M=9.