2024-2025學年七年級數(shù)學上冊 數(shù)軸上動點問題綜合的三種考法（北師大版）

專題03數(shù)軸上動點問題綜合的三種考法

【知識點精講】

1.數(shù)軸上兩點間的距離

數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為分別為a、b,則A與B間的距離AB=|a—b|；

2.數(shù)軸上點移動規(guī)律

數(shù)軸上點向右移動則數(shù)變大（增加），向左移動數(shù)變?。p?。?；

當數(shù)a表示的點向右移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a+b；向左移動b個單位長度

后到達點表示的數(shù)為a-b.

類型一、求運動的時間

例.⑴在數(shù)軸上標出數(shù)-4.5,-2,1,3.5所對應的點AB,C,D；

-5-4-3-2-1012345

（2）C,。兩點間距離=；2,C兩點間距離=；

（3）數(shù)軸上有兩點M,N,點"對應的數(shù)為。，點N對應的數(shù)為6,那么N兩點之間的

距離=；

（4）若動點尸,。分別從點仇C同時出發(fā)，沿數(shù)軸負方向運動；已知點尸的速度是每秒1個單

位長度，點。的速度是每秒2個單位長度，設運動時間為乙問：

①，為何值時尸,。兩點重合？

②t為何值時P，Q兩點之間的距離為1?

【答案】（1）見解析；（2）2.5,3；（3）\a-b\（4）①3s；②2或4

【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上的點與有理數(shù)的對應關系即可得出答案；

（2）用數(shù)軸上右邊的點對應的有理數(shù)減去左邊點對應的有理數(shù)即可求出距離；

（3）根據(jù)距離等于兩點表示的數(shù)之差的絕對值即可得出答案；

（4）①分別用含t的代數(shù)式表示出P,Q表示的有理數(shù)，通過題意建立方程，解方程即可；

②根據(jù)兩點之間的距離為1，建立方程，解方程即可.

【詳解】⑴如圖，

A-4.55-2ClD3.5

l.lI|I].I1Tl

-5-4-3-2-1012345

⑵C,。之間的距離為3.5-1=25,B,C兩點間距離為l-（-2）=3；

（3）M,N兩點之間的距離為|a-4；

（4）①設點尸表示的數(shù)為-27,點。表示的數(shù)為1-2/,

令—2—t=l—2t解得t=3,

②尸,0間的為|(-2-)-(1-24="3],令|(-2T)-(1—24=1

解得r=2或r=4.

【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的點與有理數(shù)，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離的求法是解題的關

鍵.

例2.小穎在一張紙上畫一條數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出A、B、C三個點，點A表示的數(shù)是-8,

點B在原點的右邊且與點A相距20個單位長度.

(1)點B表示的數(shù)是.

(2)將這張紙對折，此時點8與表示T的點剛好重合，折痕與數(shù)軸交于點C,求點C表

示的數(shù).

(3)若點。到點A和點8的距離之和為25,求點。所表示的數(shù).

(4)點A和點B同時從初始位置沿數(shù)軸向左運動，它們的速度分別是每秒1個單位長度和

每秒2個單位長度，運動時間是f秒.是否存在/的值，使/秒后點A到原點的距離與點B到

原點的距離相等？若存在，請求出『的值；若不存在，請說明理由.

4

【答案】(1)12；(2)4；(3)-10.5或14.5；(4)t=§或20s

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式，可求出點B表示的數(shù)；

(2)根據(jù)對稱可知點C到-4和12的距離相等，可求點C表示的數(shù)為：(-4+12)+2=4；

(3)分兩種情況討論：①當。點在A點的左邊，②當。點在B點的右邊，然后利用數(shù)軸

上兩點間的距離公式即可解答；

(4)由t秒后點B到原點的距離是點A到原點距離相等，列出一元一次方程即可.

【詳解】解：(1)-8+20=12,所以點B表示的數(shù)為：12;

(2)(-4+12)+2=4,

則折痕與數(shù)軸有一個交點C表示的數(shù)為：4；

(3)EIAB=20,點。到點A和點B的距離之和為25,

回點。應在線段AB的外，

分兩種情況：

①當。點在A點的左邊，設。點表示數(shù)為X,

即DA|=|x-(-8)|=-x-8,

|DB|=|x-12|=12-x,

E(-x-8)+(12-x)=25,

解得：x=-10.5,

所以此時。點所表示的數(shù)為：-10.5,

②當。點在B點的右邊，設。點表示數(shù)為X,

0|OA|=|x-(-8)|=x+8,

IDB|=|x-12|=x-12,

ffl(x+8)+(x-12)=25,

解得：x=14.5,

所以此時。點所表示的數(shù)為：14.5,

故若點。到點A和點B的距離之和為25,則點E所表示的數(shù)為：-10.5或14.5；

(4)存在.

由題意得：|-8-t|=|12-2t|

解之得：8+t=12-2t或8+t=2t-12

4

即t=g或t=20

故存在；t的值是|?或20.

4

所以當t=H或4s時，點B到原點的距離是點A到原點距離相等.

4

故答案為(1)12；(2)4；(3)-10.5或14.5；(4)t=1或20s

【點睛】此題考查了利用數(shù)軸的有關知識解決實際問題，解題的關鍵是：利用分類討論思想

解決問題.

【變式訓練1】定義：若線段A3上有一點P,當時，則稱點尸為線段的中點.

已知數(shù)軸上A,8兩點對應數(shù)分別為“和b,S+2『+|6-4|=0,尸為數(shù)軸上一動點，對應

數(shù)為x.

(1)若點尸為線段A3的中點，則尸點對應的數(shù)x為.若B為線段AP的中點時則尸點

對應的數(shù)x為.

(2)若點A、點8同時向左運動，它們的速度都為1個單位長度/秒，與此同時點尸從-16

處以2個單位長度/秒向右運動.

①設運動的時間為，秒，直接用含r的式子填空

；BP=.

②經過多長時間后，點A、點8、點尸三點中其中一點是另外兩點的中點？

【答案】(1)1,10；(2)①AP=—31+14或14-3/(或者寫|14—3r|),=20-3/或夕一20

(或者寫|20-3f|),②|或g或三

【分析】(1)根據(jù)線段中點的定義得出規(guī)律，再利用規(guī)律解答即可.

⑵①根據(jù)題意得出A、B、P表示的數(shù)，從而得出結論；

②分三種情況討論:若P為AB的中點，若A為BP的中點，若B為AP的中點，根據(jù)⑴所得結論

列方程求解即可.

【詳解】⑴即為線段AB的中點，回AP=PB,

I3x-a=b-x,2x=a+b,

取=；(?+。)=g(-2+4)=1；

若B為線段AP的中點，則2b=a+x,解得:x=2b-a=8-(-2)=10.

故答案為：1,10.

⑵由題意得:A表示的數(shù)為-2-t,B表示的數(shù)為:4-t,P表示的數(shù)為:-16+2t.

①AP=|(-16+2t)-(-2-t)=114-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=120-3t|,EIAP=-3t+14或14-3t;

BP=20-3t或3t-20.

故答案為：-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20.

②分三種情況討論：

17

若P為AB的中點，則:2(-16+2t)=(2t)+(4-t),解得:匕w；

Q

若A為BP的中點，則:212-t)=HL6+2t)+(4-t),解得:t=］；

若B為AP的中點，則:2(4-t)W2t)+(-16+2t),解得:.

o1776

綜上所述:t的值為：:或］或三時，點A、點8、點P三點中其中一點是另外兩點的中點.

【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質，數(shù)軸，兩點間的距離,一元一次方程的應用，運用方程思想、

分類討論思想結合是解題關鍵.

【變式訓練2】已知。是多項式尤3+4fy-5的常數(shù)項，6是項數(shù).

(1)a=_；b=_；

⑵在數(shù)軸上，點A、B分別對應實數(shù)。和。，點P到點A和點B的距離分別為歸山和|P3|,

>|PA|+|PB|=14,試求點尸對應的實數(shù).

(3)動點M從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動；動點N從B點以

每秒3個單位長度的速度向左勻速運動，到達A點后，立即改變方向往右運動到達B點后

停止運動；若M、N同時出發(fā)，在此過程中，經過多少秒時點N為MB或MA的中點.

【答案】⑴-5;3;(2)-8或6;(3)—>亍或了.

【分析】(1)根據(jù)多項式的性質得出a、b即可.

⑵根據(jù)絕對值的幾何意義，分類討論.

⑶根據(jù)數(shù)軸上點運動到不同的位置時，分類討論.

【詳解】(1)。=-56=3.

⑵由題意得:A表示-5,B表示3,則|AB|=8.

41B|R

?8-536

要使得一點P到A的距離和到B的距離為14,則除去AB之間的距離8還差6.

①P點需要距離A點3,距離B點11,則P為-8.

②P點需要距離B點3,距離A點11,則P為6.

故P為:-8或6.

⑶設經過的時間為f秒.N到達A點時/=|,N停止時若

當N未到達A點:M:t-5N:3-3f

①當N為MB的中點時

B—N=N-M

B+M=2N

8

3+r-5=2(3-3r)t=-

②當N為MA的中點時

M-N=N-A

M+A=2N

16

f-5+(-5)=2(3-3f)t^—

Q

當N到達A點時:M"-5N:3(t--)-5

③當N為MA中點時

M-N=N-A

M+A=2N

816

t=—

④當N為MB中點時

B-N=N-M

B+M=2N

Q2816

3+(/-5)=2[3(r--)-5]六行〉了(舍去)

綜上所述，經過3、々或1秒時點N為MB或MA的中點.

【點睛】本題考查多項式性質、絕對值得幾何意義和線段動點問題，關鍵在于結合數(shù)軸分類

討論.

【變式訓練3】已知〃、b為常數(shù),且關于x、y的多項式(-20%2+〃％-y+12)-(Z?x2+12x+6y

-3)的值與字母無取值無關，其中。、b分別為點4點B在數(shù)軸上表示的數(shù)，如圖所示.動

點￡、尸分別從A、B同時開始運動，點E以每秒6個單位向左運動，點廠以每秒2個單位

向右運動，設運動時間為/秒.

(1)求a、b的值；

(2)請用含/的代數(shù)式表示點E在數(shù)軸上對應的數(shù)為：，點/在數(shù)軸上對應的數(shù)

為：?

(3)當E、B相遇后，點E繼續(xù)保持向左運動，點廠在原地停留4秒后向左運動且速度變

為原來的5倍.在整個運動過程中，當E、尸之間的距離為2個單位時，求運動時間t的值

(不必寫過程).

___________III.

BOA

15132729

【答案】(1)<2—12,b=-20；(2)12-63-20+2/；(3)1秒或1秒萬?秒或方■秒

【分析】(1)由題意根據(jù)關于x、y的多項式(-20N+QX-尹12)-(Z?x2+12x+6y-3)的值

與字母工取值無關，即可求出。、b；

(2)由題意根據(jù)點從廠的運動方向和速度可得解；

(3)根據(jù)題意分相遇前和相遇后兩種情況，然后正確列出方程進行分析計算即可.

【詳解】解：(1)團關于x、y的多項式(-20/+依->[2)-(te2+12x+6y-3)的值與字

母x取值無關，

0(-20x2+or-J/+12)-(0/+i2x+6y-3)

=-20x2+ax-y+12-bx2-12x-6y+3)=(-20-/?)x2+(a-12)x-7y+15,

0-20-b=0或〃-12=0,

解得b=-20,〃=12；

(2)設運動時間為1秒.

由題意得：點石在數(shù)軸上對應的數(shù)為：12-63點/在數(shù)軸上對應的數(shù)為：-20+23

故答案為：12-63-20+2/；

(3)設當民產之間的距離為2個單位時，運動時間為/秒，

相遇前：12-6Z=-20+2/+2,解得：/="；

4

相遇后：E、尸相遇的時間為：(20+12)4-(2+6)—4(秒)，

相遇點為-20+2x4=-12,

13

點尸在原地停留4秒時，6(L4)=2,解得：

由題意得：當E、b相遇后，點E在數(shù)軸上對應的數(shù)為：12-63點/在數(shù)軸上對應的數(shù)為：

-12-2x5(Z-4-4)=68-10t.

當E在尸左側時，68-10/-(12-6/)=2,解得：r=；

29

當E在歹右側時，12-6f-(68-10f)—2,解得：/=萬.

15132729

答：當E、尸之間的距離為2個單位時，運動時間為今秒或2秒0秒或?秒

【點睛】本題考查數(shù)軸和一元一次方程的應用，能根據(jù)題意列出代數(shù)式和方程是解答此題的

關鍵.

類型二、定值問題

例1.如圖,在數(shù)軸上A點表示數(shù)一3,B點表示數(shù)b,C點表示數(shù)c,且b.c滿足優(yōu)+1)2+|c-4|=0

ill」>

ABOC

(1)b=_,c=_.

(2)若使C.B兩點的距離是A.B兩點的距離的2倍，則需將點C向左移動一個單位長度.

(3)點A.B.C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒m個單位長度的速度向左運動，同時,

點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，設運動時間為t秒;

①點A.B.C表示的數(shù)分別是用含m.t的代數(shù)式表示)；

②若點B與點C之間的距離表示為山，點A與點B之間的距離表示為d2,當m為何值時，

的值不會隨著時間的變化而改變，并求出此時的值.

2di-d2t2ck—d2

【答案】(1)b=-l,c=4；

⑵1或9；

(3)①-3-mt；-l+2t；4+5t；②m=4；2由一ch的值為12.

【分析】(1)由(6+1)2+卜-4|=0,根據(jù)平方及絕對值的非負性可得b+l=0,c-4=0,據(jù)此可

求得b、c的值；

(2)先求出AB和BC的長度，結合數(shù)軸即可得出點C向左移動的距離，有兩解；

(3)①結合路程=時間x速度寫出答案；

②根據(jù)①先表示出山、ch,從而表示出2山書2,然后根據(jù)2dl—ch的值不會隨著時間t的變

化而改變得出t的系數(shù)為0,即可求出m的值，繼而求出2山一d2的值.

【詳解】解：(1)0(fo+l)2+|c-4|=O

團b+l=0,c-4=0

回b=-l,c=4

⑵由數(shù)軸可知：AB=2,

0BC=4,

回點C向左移動后的數(shù)是3或-5

團需將點C向左移動1或9個單位；

故答案是：1或9；

(3)①點A表示的數(shù)是-3-mt；點B表示的數(shù)是-l+2t；點C所表示的數(shù)是4+5t.

故答案是：-3-mt；-l+2t；4+5t；

②回點A表示的數(shù)是-3-mt；點B表示的數(shù)是-l+2t；點C所表示的數(shù)是4+5,

13dl=4+5t-(-l+2t)=3t+5,d2=-l+2t-(-3-mt)=(m+2)t+2,

02di-d2=2(3t+5)-[(m+2)t+2]=(4-m)t+12,

02di-d2的值不會隨著時間t的變化而改變

04-m=O,

13m=4,

故當m=4時，2di—d2的值不會隨著時間t的變化而改變，此時2di-d2的值為12.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離及動點問題，掌握距離公式及平移規(guī)律是解決問題

的關鍵.本題體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.

例2.如圖，在數(shù)軸上A點表示的數(shù)是-8,B點表示的數(shù)是2.動線段CD=4(點。在點C的

右側)，從點C與點A重合的位置出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，運動時間為1秒.

ACDB

_____IiII?

-82

(1)①已知點C表示的數(shù)是-6,試求點。表示的數(shù)；

②用含有t的代數(shù)式表示點。表示的數(shù)；

(2)當AC=2B。時，求t的值.

(3)試問當線段8在什么位置時，AD+BC或的值始終保持不變？請求出它的

值并說明此時線段8的位置.

【答案】(1)①-2；②方-4；(2)6或2；(3)當線段8在線段A3上時或當點3在線段

內，AD+BC值保持不變，值為14,當線段8在點B的右側時AD-BC的值保持不變，

值為14

【分析】(1)①已知點C表示的數(shù)是-6,CD=4(點。在點C的右側)，即可得到點D的

坐標；②點C與點A重合的位置出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，運動時間為/秒.

AC=2t,AD=2t+4,即可表示點。表示的數(shù)；

(2)先求出AC=2f,再分當點。在點8左側和當點。在點B右側討論，列方程求解即可；

(3)分當線段8在線段A3上時(圖1)或當點B在線段8內時(圖2)和當線段8在

點8的右側時(圖3)討論，求出AD+3C或的值即可得出結論.

【詳解】解：(1)①已知點C表示的數(shù)是-6,CD=4(點。在點C的右側)，

團點。表示的數(shù)是-2；

②團點C從與點A重合的位置出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，運動時間為，秒，

回AC=2t,AD=2t+4,

回點。表示的數(shù)2t+4-8=2t-4;

（2）回f>0且線段CO移動的速度為每秒2個單位，

0AC=2?

①當點。在點B左側（圖1）

ACDB

______|_______L_______I_______I?

-8_________________2

圖1

^\AC=2BD,

回2/=2[2-⑵-初

回/=2

②當點。在點B右側（圖2,3）

^\AC=2BD,

回2/=2[（2-4）-2]

回％=6

綜上所述，％=6或%=2

（3）①當線段CO在線段上時（圖1）或當點B在線段CO內時（圖2）

ACDB

______IiII?

-82

圖1

ACBD

____????A

-82

圖2

AQ+BC的值保持不變，S.AD+BC=AB+CD=14

②當線段8在點5的右側時（圖3）

___AI______________BICI______DI__

-82

圖3

AD—3C的值保持不變，S.AD-BC=AC+CD-BC^AB+CD=14

【點睛】此題主要考查了數(shù)軸和一元一次方程的應用.正確的畫出圖形，進行分類討論是解

決問題的關鍵.

【變式訓練1】如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)點示數(shù)b,C點表示數(shù)Gb是最大的負整數(shù)，A

在8左邊兩個單位長度處，C在8右邊5個單位處

⑴。=_；b=_；c=__.

(2)若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)—表示的點重合；

(3)點4B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點B

和點C分別以每秒3個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，若點A與

點B之間的距離表示為A氏點A與點C之間的距離表示為AC,點8與點C之間的距離表示

為BC,貝UAB=_,AC=_,BC=—；(用含r的代數(shù)式表示)

(4)請問：53C-2AB的值是否隨著時間，的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請

求其值.

ABC

【答案】(1)-3,-1,4；(2)2；(3)2+5t,7+7t,2t+5；(4)5BC-2AB的值不會隨著

時間t的變化而改變，該值是21.

【分析】(1)根據(jù)b為最大的負整數(shù)可得出b的值，再根據(jù)A在8左邊兩個單位長度處，C

在8右邊5個單位處即可得出a、c的值；

(2)根據(jù)折疊的性質結合a、b、c的值，即可找出與點B重合的數(shù)；

(3)根據(jù)運動的方向和速度結合a、b、c的值，即可找出t秒后點A、B、C分別表示的數(shù)，

利用數(shù)軸上兩點間的距離即可求出AB、AC、BC的值；

(4))將(3)的結論代入5BC-2AB中，可得出5BC-2AB的值不會隨著時間的變化而變

化，即為定值，此題得解.

【詳解】(1)b是最大的負整數(shù)，.?〃=」

A在B左邊兩個單位長度處，C在5右邊5個單位處

Q=-3,c=4

(2)將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合

a+c—b——3+4—(-1)=2

(3).?點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點8和點C分別以每秒3個單位長

度和5個單位長度的速度向右運動

，t秒鐘過后,根據(jù)s=歷得:sA=2t,sB=3t,sc=5f

又i?=—3,b=-l,c=4

???點A表示的數(shù)為-2/-3,點5表示的數(shù)為1-1,點C表示的數(shù)為57+4,

AB=2+5t,AC=7+7t,BC=22

(4)由(3)可知：

AB=2+5t,BC=2t+5

5BC-2yW=5x（2r+5）-2（2+5r）=10r+25-4-10r=21

53C-2AB的值為定值21.

故答案為：（1）-3,-1,4；（2）2；（3）2+5t,7+7t,2t+5；（4）5BC-2AB的值不會隨

著時間t的變化而改變，該值是21.

【點睛】本題考查了數(shù)軸及兩點間的距離，根據(jù)點運動的方向和速度找出點A、B、C運動

后代表的數(shù)是解題的關鍵.

【變式訓練2】如圖，記數(shù)軸上4、8兩點之間線段長為AB,AB=2（單位長度），CD=1

（單位長度），在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12,點。在數(shù)軸上表示的數(shù)是15.

AB6CD>

⑴點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是,點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是，線段BC的長=.

⑵若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段8以2個單位長度/秒的

速度向左勻速運動，當點8與C重合時，點8與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？

⑶若線段A2以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的

速度也向左勻速運動，設運動時間為f秒，當0<t<24時，用為AC中點，N為BD中點、.

①若數(shù)軸上兩個數(shù)為。、b,則它們的中點可表示為?.則點M表示的數(shù)為，點N

表示的數(shù)為.（用代數(shù)式表示）

②線段的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由.

【答案】⑴-10,14,24

⑵當點8與C重合時，點8與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是-2

⑶①氣二；??；②MN的長是定值，MN=j

【分析】（1）數(shù)軸上點A右邊的點2表示的數(shù)是點A表示的數(shù)加上這兩個點的距離，數(shù)軸

上點。左邊的點C表示的數(shù)是點。表示的數(shù)減去這兩個點的距離，依此方法可求出點B和

點C表示的數(shù)，因為點C在點B的右邊，所以用點C表示的數(shù)減去點2表示的數(shù)即得到線

段的長；

（2）設運動的時間為/秒，先確定點B表示的數(shù)為-10+f,點8與點C相距24個單位長

度，兩個點相向運動，則點B與點C重合時，點B與點C運動的距離和為24,列方程求出

/的值再求出點8表示的數(shù)即可；

（3）①先用f的代數(shù)式表示出A、B、C、。四點對應的數(shù)，再根據(jù)中點公式即可求解；

②用兩點間距離公式即可求解.

【詳解】（1）解：因為點A表示的數(shù)是-12,點3在點A右側，且筋=2,

所以一12+2=-10,

所以點8表示的數(shù)是-10；

因為點。表示的數(shù)是15,點C在點。的左側，且CD=1,

所以15-1=14,

所以點C表示的數(shù)是14,

點8與點C的距離是14-(-10)=24(單位長度)，

所以線段BC的長為24個單位長度，

故答案為：-10,14,24.

(2)設運動的時間為r秒，則點B表示的數(shù)是-10+t,

根據(jù)題意得r+2/=24,

解得f=8,

所以—10+/=-10+8=-2,

答：當點B與C重合時，點8與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是-2.

(3)①根據(jù)題意得，f秒后點A對應的數(shù)為：-127,點C對應的數(shù)為：14-21,

13M為AC中點，

-12—f+14—2f2—3f

團點M對應的數(shù)為:

22

t秒后點2對應的數(shù)為：點D對應的數(shù)為：15-2t,

BIN為中點,

-io-r+15-2z5-3t

團點N對應的數(shù)為:

22

5-37

故答案為:

2

②線段的長為定值,

回點M對應的數(shù)為平，點N對應的數(shù)為六；

2—3，5—3,3

^\MN=

~~22~2

國線段"N的長為定值.

【點睛】此題考查數(shù)軸上兩點的距離的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解應用題等

知識與方法，解題的關鍵是正確理解行程問題中相遇問題和追及問題的數(shù)量關系并且用代數(shù)

式和等式表示這些關系.

類型三、點的位置

例.如圖所示，在數(shù)軸上有AB,C三點，點P從數(shù)軸上表示4的點開始往左運動，速度為1

個單位/s,運動時間為然.

(1)當f=3s時，線段PC=；線段PB=；

(2)當r=6s時，PB+PC=；

(3)當/為何值時，P3+PC的值最??？

(4)當點尸運動到何處時，PA+PB+PC最小?

【答案】(1)1,2；(2)5；(3)2<t<5；(4)運動到點B處

【分析】(1)求出t=3s時點P表示的數(shù)，再求出PC和PB；

(2)求出t=6s時點P表示的數(shù)，再求出PC和PB,再相加；

(3)可知PB+PC的值最小時，點P在線段BC上，求出t的最值即可；

(4)由題意可得PA+PB+PC的值最小時，點P與點B重合.

【詳解】解：(1)當t=3s時，

點P表示的數(shù)為4-3=1,

則PC=1,PB=2,

故答案為：1,2；

(2)當t=6s時，

點P表示的數(shù)為4-6=-2,

則PC=4,PB=1,

回PB+PC=5,

故答案為：5；

(3)當PB+PC的值最小時，

點P在線段BC上，

則t的最大值為：5,最小值為2,

回t的取值為2<t<5；

(4)若PA+PB+PC的值最小，

即點P到A、B、C三點的距離之和最小，

回此時點P與點B重合.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，解題的關鍵是理解題意，

結合圖像解決問題.

【變式訓練1】已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖所示).

-5-4-3-2-1012345

⑴操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)-1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示

數(shù)_的點重合；

(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)-2的點重合，回答下列問題：

①表示數(shù)9的點與表示數(shù)一的點重合；

②若這樣折疊后，數(shù)軸上的4B兩點也重合，且42兩點之間的距離為10(點A在點B

的左側），求A,B兩點所表示的數(shù)分別是多少？

③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點尸，設點尸表示的數(shù)為x.當小+尸2=12時，直接寫

出x的值.

【答案】①-4

（2）①-5；②A、8兩點表示的數(shù)分別是-3,7；③龍的值為-4或8.

【分析】（1）先求出中心點，再求出對應的數(shù)即可；

（2）①求出中心點是表示2的點，再根據(jù)對稱求出即可；②求出中心點是表示2的點，

求出A、B到表示2的點的距離是5,即可求出答案；③根據(jù)點P在數(shù)軸上的位置，分類討

論，當點尸在點A的左側時，當點尸在點A、3之間時，當點尸在點A的右側時，根據(jù)各種

情形求解即可.

【詳解】（1）解：回折疊紙面，使數(shù)字1表示的點與：表示的點重合，可確定中心點是表示

0的點，

E4表示的點與-4表示的點重合，

故答案為瓦4；

（2）解：①團折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)-2的點重合，可確定中心點是表示2

的點，

國表示數(shù)9的點與表示數(shù)-5的點重合；

故答案為團-5；

②回折疊后，數(shù)軸上的42兩點也重合，且42兩點之間的距離為10（點A在點2的左

側），

0A、8兩點距離中心點的距離為10+2=5,

回中心點是表示2的點，

胡、8兩點表示的數(shù)分別是-3,7；

③當點P在點A的左側時，

^PA+PB=12,

0-3-x+7-x=12,

解得x=-4；

當點尸在點A、3之間時，此時科+尸8=12不成立，故不存在點尸在點A、2之間的情形；

當點P在點A的右側時，

0/54+PB=12,

Ete-（-3）+x-7=12,

解得x=8,

綜上x的值為-4或8.

【點睛】本題考查了數(shù)軸的應用，能求出折疊后的中心點的位置是解此題的關鍵.

【變式訓練2］已知A,B兩點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,A,B兩點之間的距離表示

為AB,在數(shù)軸上A,B兩點之間的距離AS=|a-4.已知數(shù)軸上42兩點對應的數(shù)分別為

—1,3,P為數(shù)軸上一動點.

⑴若點尸到A,8兩點之間的距離相等，則點尸對應的數(shù)為.

(2)若點尸到A,B兩點的距離之和為6,則點P對應的數(shù)為.

⑶現(xiàn)在點A以2個單位長度/秒的速度運動，同時點B以0.5個單位長度/秒的速度運動，A

和8的運動方向不限，當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，求點B所對應的數(shù)是

多少？

【答案】⑴L

(2)4或-2；

⑶點B表示的數(shù)為g或或g或1.

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離計算方法進行計算即可得出答案；

(2)設點尸對應的數(shù)為尤，根據(jù)題意可得|x+l|+|x-3|=6；分類討論，當T<x<3時，

②當x>3時，③當x<-l時，計算即可得出答案；

(3)設經過f秒，分情況討論①當點A點B相向而行時，經過f秒，點A表示的數(shù)為-1+27,

點B表示的數(shù)為3-0勺，即可得出|(-l+2r)-(3-0勺)|=3,②當點A點8同向向右運動時，

經過，秒，點A表示的數(shù)為一1+2人點B表示的數(shù)為3+0勺，貝1」|(-1+2。-(3+0.5/)|=3,③當

點A點3同向向左運動時，求出f的值，即可算出點8對應的數(shù).

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可得，

=|-1-31-4,

因為點P到A,8兩點之間的距離相等，所以點尸到點-1和點3的距離為2,

則點P對應的數(shù)為：1;

故答案為：工：

(2)解：設點P對應的數(shù)為x,

則Ix+11+1x-31=6；

①當-1〈尤<3時，最大值為4,不滿足題意；

②當x>3時，解得：x=4；

③當x<-l時，解得：X--2,

點尸對應的數(shù)為4或-2；

故答案為：4或-2；

(3)解：設經過t秒，

①當點A點B相向而行時，

經過f秒，點人表示的數(shù)為-1+2乙點3表小的數(shù)為3-0.5f,

則|(_1+2。_(3_().53=3,

解得r弋14或通2，

點B對應的數(shù)為3-：1x弓|4=；?或3—31,29=言?0；

②當點A點3同向向右運動時，

經過f秒，點A表示的數(shù)為-1+2b點3表示的數(shù)為3+05,

則|(_l+2,)_(3+0.5f)|=3,

解得：」=方14或語2,

點8表示的數(shù)為3+gx弓或3+gxg=1；

③當點A點B同向向左運動時，

因為=4,點A的運動速度大于點8的運動速度，

不能滿足題意.

綜上：點8表示的數(shù)為1或T或4或1.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點間距離的

計算方法進行求解.

課后訓練

1.如圖，數(shù)軸上有A,B兩點,分別表示的數(shù)為。，b,5.(a+25)2+|Z?-35|=0.點尸從

A點出發(fā)以每秒13個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，當它到達8點后立即以相同的

速度返回往A點運動，并持續(xù)在A,B兩點間往返運動.在點尸出發(fā)的同時，點。從B點出

發(fā)以每秒2個單位長度向左勻速運動，當點。達到A點時，點P,。停止運動.

(1)填空：a=,b=；

(2)求運動了多長時間后，點尸，Q第一次相遇，以及相遇點所表示的數(shù)；

(3)求當點尸，Q停止運動時，點尸所在的位置表示的數(shù)；

(4)在整個運動過程中，點尸和點。一共相遇了幾次.(直接寫出答案)

P------Q

??..

AOB

AOB，

備用圖

【答案】(1)-25,35(2)運動時間為4秒，相遇點表示的數(shù)字為27；(3)5;⑷一共

相遇了7次.

【分析】（1）根據(jù)0+0式的定義即可解題；（2）設運動時間為X秒,表示出P,Q的運動路程，

利用路程和等于AB長即可解題；（3）根據(jù)點Q達到A點時，點P,Q停止運動求出運動時

間即可解題；（4）根據(jù)第三問點P運動了6個來回后，又運動了30個單位長度即可解題.

【詳解】解：（1）-25,35

（2）設運動時間為x秒

13x+2x=25+35

解得x=4

35-2x4=27

答：運動時間為4秒，相遇點表示的數(shù)字為27

（3）運動總時間：60+2=30（:秒），13x30+60=6...30即點P運動了6個來回后，又運動了30

個單位長度，

0-25+30=5,

回點P所在的位置表示的數(shù)為5.

（4）由（3）得：點P運動了6個來回后，又運動了30個單位長度，

回點P和點Q一共相遇了6+1=7次.

【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，數(shù)軸的應用，難度較大，熟悉路程，時間，速度之

間的關系是解題關鍵.

2.如圖，若點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為。，點B在數(shù)軸上對應的數(shù)為b,且a,＞滿足|。+2|

+（6-1）點A與點8之間的距離表示為A8=|a-勿.

（1）求4B的長；

Q

（2）若點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為鼠在數(shù)軸上是否存在點P,使得PA+PB=PC?若存在，

求出點尸對應的數(shù)；若不存在，說明理由；

（3）在（1）、（2）的條件下，點A,B,C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度

的速度向左運動，同時，點8和C分別以每秒4單位長度和9個單位長度的速度向右運動，

經過f秒后，請問：A8-BC的值是否隨著時間，的變化而改變？若變化，請說明理由；若

不變，請求其常數(shù)值.

~AO_B*

1114

【答案】（1）3；（2）存在，■或-§；（3）不變，值為］.

【分析】（1）先利用幾個非負數(shù)的和為零，則每個數(shù)都為零，列式求出a,b的值，最后根

據(jù)已知的關系式即可求出AB；

（2）根據(jù)數(shù)軸上表示兩點距離的方法設出P點代表的數(shù)字為x,再分別表示出對應的B4、

PB、PC,最后代入關系式即可解答；

(3)由于運動時間為f秒，A、B、C的運動方向和運動速度已知，利用路程=速度x時間可

表示出和BC,再計算出A2-BC的值，再與運動前的值比較即可得出結論，

進而求出這個常數(shù)值.

【詳解】解：(1)即。+2|+(Z?-1)2=0,

又即a+2|N0,(6-1)2＞0,

回。+2=0,b-1=0.

回。=-2,b—1.

國點A與點2之間的距離表示為AB=\a-b\,

EL4B=|-2-1|=3

答：AB的長為3；

(2)存在點P,使得R1+P2=PC.

設點尸對應的數(shù)為x,

當點尸在點A的左側時，即尤＜-2,

0fi4=|-2-A|=-2-x,

PB=11-x|=1-x,

PC=11-五|=g-x.

^PA+PB=PC,

8

團-2-x+1-x=----x.

3

解得：x---.

當點尸在點A的右側，點5的左側時，即-2＜冗＜1,

團B4=|-2-x|=x+2,

PB=\1-x\=1-x,

88

PC=|--x|=§-x.

??8

取+2+1-％=--x.

3

解得：x=-g.

當點尸在點5的右側時，PA+PB＞PC,不合題意.

綜上，點P對應的數(shù)為或-1;

(3)AB-8C的值不隨著時間/的變化而改變.

由(1)知：AB=3,

oc

由（2）知：BC=--1=—,

4

0AB-BC=一.

3

回點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，

同時，點2以每秒4單位長度的速度向右運動，

0AB=f+3+4f=5f+3.

回點8和C分別以每秒4單位長度和9個單位長度的速度向右運動，

85

0BC=(9-4)f+(--1)=5rH—.

33

54

EL4B_BC=(5/+3)-(St~\—)=—.

33

a4B-BC的值不隨著時間t的變化而改變.

4

SAB-BC的值不會隨著時間t的變化而改變且這個常數(shù)的值為.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸兩點之間的距離公式的應用，掌握根據(jù)數(shù)字的大小去掉絕對值

符號，再結合已知條件列出方程并求解成為解答本題的關鍵.

3.如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-6,點8表示的數(shù)為10,點M、N分別從原點。、點

8同時出發(fā)，都向左運動，點M的速度是每秒1個單位長度，點N的速度是每秒3個單位

長度，運動時間為f秒.

(1)求點加、點N分別所對應的數(shù)(用含/的式子表示)；

(2)若點A/、點N均位于點A右側，且AN=2AAf,求運動時間/；

(3)若點尸為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，點M、N在整個運動過程中，當

PQ+AA/=17時，求運動時間

------?----?------?—>

AOB

【答案】(1)點M、點N分別所對應的數(shù)分別為T,10-3/；(2)?=4；(3)"1或18

【分析】(1)根據(jù)題意進行求解即可；

(2)由(1)所求，根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式可得40=--(-6)=6-乙

/W=10-3r-(-6)=16-3r,再由AN=2AAf,得到16—3/=12-2才，由此即可得到答案；

(3)分當M、N均在A點右側時，當N在A點左側，M在A點右側時，當M、N都在A點

左側時，三種情況討論求解即可.

【詳解】解：(1)由題意得：點M、點N分別所對應的數(shù)分別為T,10-3人

(2)回點A表示的數(shù)為-6,點M、點N分別所對應的數(shù)分別為V,10-37,

團AM=—t—(-6)=6—t,AN=10—3,—(—6)=16—3,，

^\AN=2AMf

團16—3，=12—2,，

回1=4；

(3)如圖1所示，當M、N均在A點右側時,

由(1)(2)得點M、點N分別所對應的數(shù)分別為10-3r,AM=-t-(-6)=6-t

團點尸為線段AM的中點，點。為線段BN的中點,

.pr.士,_.,,業(yè)心八口［、r—6—t10—31+1020—3t

回點尸和點。表本的數(shù)分別為「一，---------二--一

20-3r-6-t26—21

團尸

Q=~~22~

團PQ+AM=17,

26—21

團------+6-=17,

回，二1

-?----?--?--?---?---?------?-

APMONQB

圖1

如圖2所示，當N在A點左側，M在A點右側時，

同圖1可知點尸和點。表示的數(shù)分別為，—6—t，f20—3t

n八20-3/-6-t26-2t

回尸Q=-------------------=---------

2