4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念 課件-2023-2024學年高一上學期數(shù)學人教A版

4.2指數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

我是電腦病毒，在傳播時我可以由一個復制成二個，二個復制成四個，……，我復制x次后，得到的病毒個數(shù)y與x有怎樣的函數(shù)關系？問題一:分裂次數(shù)病毒個數(shù)123842x?病毒個數(shù)y與分裂次數(shù)x的函數(shù)關系為

：y=2x

………………….引入：

某種商品的價格從今年起每年降低15%，設原來的價格為1，x年后的價格為y，則y與x的函數(shù)關系式為：

問題二:y=0.85x探究：

問題一中函數(shù)y=2x的解析式與問題二中函數(shù)y=0.85x的解析式有什么共同特征？以上兩個函數(shù)解析式都可以表示為：指數(shù)為自變量y=ax底數(shù)a是一個大于0且不等于1的常數(shù)引入：

一般地，函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x為自變量，定義域為R

.注意：（1）形如y=ax

；一、指數(shù)函數(shù)概念例1：下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？y=4xy=x4y=-4xy=4x+1例2：已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),則a的值為____2例3：已知y=f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)=4,求函數(shù)y=f(x)的解析式。y=2x（2）底數(shù)a＞0，且a≠1一、指數(shù)函數(shù)概念一、指數(shù)函數(shù)概念A

D

為什么規(guī)定a>0,且a1呢？則當x>0時，=0；無意義.當x則對于x的某些數(shù)值，可使

無意義.

如，這時對于在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.①若a=0，②若a<0，③若a=1，沒有研究的必要性.則對于任何

是一個常量，思考：總結：1.指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1.2．求指數(shù)函數(shù)的關鍵是求底數(shù)a，并注意a的限制條件．求指數(shù)函數(shù)解析式的步驟：(1)設指數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(2)利用已知條件求底數(shù)a.(3)寫出指數(shù)函數(shù)的解析式．探究新知二、指數(shù)型函數(shù)模型

形如_______(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)模型．y＝kax

4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)第一課時思考：怎樣得到指數(shù)函數(shù)圖像?

在直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=2x(2)y=(1／2)x(3)y=3x(4)y=(1／3)x

思考：指數(shù)函數(shù)圖像的特點?通過圖像，你能發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)?探究新知

圖象

性質(zhì)定義域

:

值域

:

恒過點：

在R

上單調(diào)遞增在R

上單調(diào)遞減a>10<a<1R(0,+∞)(0,1)

yx1xy1奇偶性:非奇非偶一、指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)思考：題型一：指數(shù)函數(shù)的圖像例1：如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.則a，b，c，d與1的大小關系是 (

)A．a(chǎn)<b<1<c<d

B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d

D．a(chǎn)<b<1<d<cB

總結：指數(shù)函數(shù)的圖象隨底數(shù)變化的規(guī)律可歸納為：在第一象限內(nèi)，圖象自下而上對應的底數(shù)依次增大．題型一：指數(shù)函數(shù)的圖像B

C

解析當0<k<1時，方程有兩解．當k<0時，方程無解；當k＝0或k≥1時，方程有一解；例4：

k為何值時，方程|3x－1|＝k無解？有一解？有兩解？題型一：指數(shù)函數(shù)的圖像題型二：冪式比大小[解析]

(1)∵1.82.2，1.83可看作函數(shù)y＝1.8x的兩個函數(shù)值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上為增函數(shù)，又2.2<3，∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上為減函數(shù)，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.方法總結：利用單調(diào)性比大小題型二：冪式比大小[解析]

(3)法一：構造冪函數(shù)y=x3.2，在第一象限單調(diào)遞增，∵0.5<0.6，∴0.53.2<0.63.2.法二：在同一個坐標系中分別作出y=0.5x和y=0.6x的圖像可得.(4)方法同（3）可得3.7-4.1>3.8-4.1.方法總結：在第一象限底大值大題型二：冪式比大小[解析]

(5)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1，∴1.90.4>0.92.4方法總結：找中間值題型三：指數(shù)型函數(shù)定義域、值域（最值）問題

題型三：指數(shù)型函數(shù)定義域、值域（最值）問題

解：若a>1，則f(x)在[1,2]上遞增，若0<a<1，

則f(x)在[1,2]上遞減，

解：若a>1，若0<a<1，題型三：指數(shù)型函數(shù)定義域、值域（最值）問題

例4：設a>0且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的

最大值是14，求a的值．利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題來求解則原函數(shù)化為y＝(t＋1)2－2．令t＝ax,①當0<a<1時，②當a>1時，∴f(t)max＝f(a)此時f(t)為增函數(shù)．此時f(t)為增函數(shù)．＝(a＋1)2－2＝14，

(舍)．解析(舍)．注意點

換元之后要注意新元等價性

式子名稱

a

x

y指數(shù)函數(shù):y=a

x

冪函數(shù):y=x

a

底數(shù)指數(shù)指數(shù)底數(shù)冪值冪值冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點看看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)復習舊知知識回顧2、研究冪函數(shù)性質(zhì)時，有哪些步驟，研究哪些方面性質(zhì)（1）描點，作出圖象，由圖象得到函數(shù)性質(zhì)（2）研究內(nèi)容：函數(shù)三要素，單調(diào)性，奇偶性，特殊點類比研究冪函數(shù)性質(zhì)的過程和方法，我們來研究指數(shù)函數(shù)。xy-2-1.50.35-1-0.50.7100.51.4111.52.8321xyo123-1-2-30.250.5124xy-2-1.52.83-1-0.51.4100.50.7111.50.352xy-20.25-1.50.35-10.5-0.50.71010.51.41121.52.83244210.50.251xyo123-1-2-3指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【二】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標系中作出底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)圖像.

-3-2-11231一般地，指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)如下表所示：

（1）過定點（0，1）(2)減函數(shù)(3)增函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)【1】指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【2】指數(shù)函數(shù)在y軸右側的圖像，底數(shù)越大

圖像越高.（底大圖高）

-3-2-11231

【3】①當

②當

③當

④當

【4】指數(shù)函數(shù)圖像下端與軸無限接近，

但永不相交.

a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域:(2)值域:(3)過定點:(4)單調(diào)性：(4)單調(diào)性：(5)奇偶性：(5)奇偶性：R(0,+∞)(0,1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)增函數(shù)減函數(shù)非奇非偶非奇非偶(6)當x>0時，y>1.

當x<0時，0<y<1.(6)當x>o時，0<y<1,當x<0時，y>1.xyo1xyo1指數(shù)函數(shù)的應用【例題】比較下列各題中兩個值的大小.

【解】（1）函數(shù)是增函數(shù)，且2.5＜3，則1.72.5＜1.73

（2）函數(shù)是減函數(shù)，且，則

（3）例4：如圖，某城市人口呈指數(shù)增長（1）根據(jù)圖象，估計城市人口每翻一番所需的時間（倍增期）（2）該城市人口從80萬人開始，經(jīng)過20年會增長到多少萬人分析：該城市人口指數(shù)增長，同一個函數(shù)的倍增期是相同。解：（1）從圖象，可發(fā)現(xiàn)該城市人口經(jīng)過20年約為10萬人，經(jīng)過40年約為20萬人，即10萬人增長到20萬人所用的時間為20年，所以該城市人口每一翻一番所需的時間為20年。（2）因為倍增期為20年。所以每經(jīng)過20年，人口將翻一番。因此，從80年人開始，經(jīng)過20年，該城市人口大約會增長到160萬人。課堂練習：完成課本第118