5.2.1三角函數(shù)的概念-教學設(shè)計-2023-2024學年人教版高一上

.2.1三角函數(shù)的概念1.教學內(nèi)容【引入】師：請大家觀察以下三張圖片（地球自轉(zhuǎn)，月亮圓缺，摩天輪）并說說它們有什么共性？生：都在做圓周運動。師：圓周運動具有什么特點？具有循環(huán)往復、周而復始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性。那我們今天這節(jié)課就來一起試試能不能建立一種函數(shù)模型來刻畫周期性呢？師：我們以摩天輪作為代表模型來研究圓周運動，這是我暑假去游樂場坐摩天輪的照片，請問如何確定我在摩天輪的位置？生：坐標師：要有坐標就需要建立直角坐標系，如何建系呢？生：以o為原點建立直角坐標系。師：除了坐標還有沒有別的變量能確定我的位置？為了方便計算，我不妨設(shè)摩天輪半徑為1.生：角度教師需做出引導:要點出利用初中解直角三角形解題;引導學生在長度上添加符號獲得坐標;借助Geogebra畫板展示，任意角α，觀察它的終邊OP與單位圓交點為P（x,y),無論是橫坐標，還是縱坐標y,都是唯一確定的。教師小結(jié):綜合以上大家的回答,得到比較清晰的兩個函數(shù)關(guān)系,在弧度制下任意角為自變量,分別以橫、縱坐標為函數(shù)值的兩個函數(shù)了,不妨記為f和g(板書如下)根據(jù)上述分析，f:R[-1,1]和g:R[-1,1]都是從集合R到集合[-1,1]的函數(shù)。明確要素、理解概念教師給出三角函數(shù)的定義并黑板板書:給出三角函數(shù)的常用記法:(1)正弦函數(shù):y=sinx(x∈R)(2)余弦函數(shù):y=cosx(x∈R)(3)正切函數(shù):y=tanx,（x≠kπ教師要給學生特別指出此處的x、y,與初始定義中的x、y是不一樣的!【設(shè)計意圖】(1)在建構(gòu)三角函數(shù)概念過程中,通過再次明確函數(shù)三要素,較為準確地理解三角函數(shù)定義.(2)給出三角函數(shù)的常用記號,為后續(xù)章節(jié)的學習做好知識和符號鋪墊.三角函數(shù)的初步應(yīng)用例1:求5π/3的正弦、余弦和正切值。變式1：已知角α的終邊過點P（-12，3變式2：已知角α的終邊過點P（3，?3），求角α的正弦、余弦和正切值。變式3：已知角α的終邊過點P（x，y），求角α的正弦、余弦和正切值。教師注意引導:1.當r=1時,則為初始定義形式,體現(xiàn)了數(shù)學簡潔和形式美;2.當α是銳角時,則函數(shù)值則等價于邊長比,再次認識初高中定義的聯(lián)系.設(shè)角α的終邊上任意一點的坐標為(x,y),它與原點的距離為r,則sinα=y【設(shè)計意圖】1.通過進階和變式訓練鞏固所學定義,也通過練習層層遞進,為三角函數(shù)的“坐標比”定義證明做了鋪墊.最終使學生認識到:只要終邊上任意一點,便可以求得相應(yīng)的三角函數(shù)值,得到三角函數(shù)的“坐標比”定義.2.使學生同時對單位圓這一數(shù)學模型的再認識:單位圓對三角函數(shù)定義起到更易理解、運算的便捷性.關(guān)聯(lián)探究,深化認識課堂小結(jié)1.知識小結(jié):三角函數(shù)定義,以及如何求三角函數(shù)值2.思想歸納:(1)從引入坐標表示感受數(shù)形結(jié)合的思想和方法,從如何建系及在單位圓中探究體會數(shù)學化繁為簡的方法;從具體問題—定義—例題—新結(jié)論的學習路徑,體會數(shù)學中特殊與一般不斷轉(zhuǎn)化的研究方法.(2)經(jīng)歷從認識任意角三角函數(shù)新概念統(tǒng)一兼容初中三角函數(shù)概念;從三角函數(shù)歷史中,看到數(shù)學發(fā)展的曲折和嚴謹追求.

1.溫故知新，復習鞏固（1）復習:任意角的三角函數(shù)定義:角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合。設(shè)點P(x,y)為α終邊上不同于原點的任一點，|OP|=r,則三角函數(shù)的定義三角函數(shù)定義域值域y=sinαR[-1,1]y=cosαR[-1,1]y=tanαR創(chuàng)設(shè)情景，興趣導入根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，將正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各個象限的符號填入圖中的括號xyoxyoxyoxyo（）（）()()()()（）（）()()()()y=tanαy=cosy=tanαy=cosαy=sinα3.動腦思考，探索新知(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義得出其他三個函數(shù)的符號(2)形成口訣：一正二正弦、三切四余弦4.學以致用，知行合一例1、判定下列各角的各三角函數(shù)符號：（1）4327o；（2）．分析關(guān)鍵是判定角所在的象限．解：（1）因為，所以，4327o角為第一象限角，故，，．（2）因為，所以，角為第三象限角，故，，．例2.根據(jù)條件且,確定是第幾象限的角.解由可知,是第三或第四象限的角(或的終邊在軸的負半軸上的界限角)；由,可知是第二或第四象限的角.由于同時要滿足兩個條件，所以是第四象限的角.5.運用知識達標測試練習1．判斷下列角的各三角函數(shù)符號：（1）?235o；（2）480o；（3）；（4）．練習2．根據(jù)條件且,確定是第幾象限的角.6.歸納小結(jié)強化思想本節(jié)的重點就是三角函數(shù)值在各個象限中的符號，要求牢記口訣。已知角會判斷三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值會確定角所在的象限。作業(yè)：課本第182頁練習第3題第4題板書設(shè)計

三角函數(shù)在各象限的符號1.溫故知新，復習鞏固4.學以致用，知行合一2.創(chuàng)設(shè)情景，興趣導入例13.動腦思考，探索新知例21.創(chuàng)設(shè)情景，表明意圖（1）復習任意角三角函數(shù)定義：（2）計算并觀察：2.新知探究（引導探索、演示歸納）（1）探究對同角三角函數(shù)基本關(guān)系根據(jù)學生探究出的結(jié)果，得出結(jié)論.引導學生注意“正弦的平方”的表示方法是“”，而不是：“”，進而得到符號表達式：；開方計算時，注意“分類”的思想在象限角正負號問題處理時的應(yīng)用.（2）探究正弦、余弦和正切函數(shù)三者的關(guān)系：.以上的探究由學生自由完成，可以從圖形角度，也可以從定義角度加以探究，讓學生體會圖形語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，體會兩種語言的區(qū)別于聯(lián)系.（3）探究上述兩個關(guān)系式的等價變形式教師點明：由等價變形式已知余弦值可以求正弦值；由等價變形式已知余弦值可以求正弦值，學生可能得到:的結(jié)論，此時，應(yīng)該向?qū)W生說明：、的符號受所在象限的限制，不是無條件的，不同于“由可以推出”這種情形，此情況類似于“”而不是“”.等價變形式可以將分式可以化為整式.3.例題講解例1已知且是第三象限角，求，的值.解：由，得∵是第三象限角∴，即.∴變式已知，求，的值.解：∵，是第三象限角或者第四象限角由，得①若是第三象限角，則：∴，即.∴②若是第四象限角，則：∴，即.∴4.課堂練習練習1已知,求，的值.練習2已知求的值.5.課堂小結(jié)（1）.同角三角函數(shù)基本關(guān)系：平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系.（2）.數(shù)學思想：從特殊到一般，從具體到抽象，數(shù)形結(jié)合、分類討論.6.作業(yè)布置同角三角函數(shù)的配套訓練.教學評價(1)“評價不是為了證明，而是為了促進”，本節(jié)課在教學中，關(guān)注學生的認知心理過程