02幾何綜合小題原卷版+解析

02幾何綜合小題一、單選題1．（2023·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，直角三角形頂點(diǎn)在矩形的對角線上運(yùn)動(dòng)，連接．，，，則的最小值為(

)．A． B． C． D．2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，，，，點(diǎn)E、F、G分別是、、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為G，連接，取中點(diǎn)E，連接，則線段的最小值為（）A． B． C．3 D．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形紙片中，，E是邊的中點(diǎn)，將菱形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)G處，折痕為，與交于點(diǎn)H，有如下結(jié)論：①；②；③；④，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④5．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰直角．有下列四個(gè)結(jié)論：①；②點(diǎn)在線段上；③當(dāng)時(shí)，平分；④若點(diǎn)在上以一定的速度由向運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的2倍．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，菱形的邊長為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長是（

）A． B．12 C． D．7．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊作，使，，連接．則面積的最大值（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接、，分別交、于點(diǎn)、，過點(diǎn)作交的延長線于，下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形的面積為；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)9．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．610．（2023·江蘇蘇州·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？寄M預(yù)測）在中，，為上一動(dòng)點(diǎn)，若，，則的最小值為（

）A．5 B．10 C． D．11．（2023·江蘇常州·校考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．312．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'與AB交于點(diǎn)E，連接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點(diǎn)D到BC的距離為（

）A． B． C． D．13．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)剛好落在直線上，則的面積為（

） B． C． D．14．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，0），（4，3），以點(diǎn)C為圓心，2為半徑畫⊙C，點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，連接AP，交⊙C于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則線段MN的最小值為（

）A． B．3 C． D．15．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）王同學(xué)用長方形紙片折紙飛機(jī)，前三步分別如圖①、②、③．第一步：將長方形紙片沿對稱軸對折后展開，折出折痕；第二步：將和分別沿翻折，，重合于折痕EF上；第三步：將和分別沿翻折，重合于折痕上．已知，，則的長是（

）A． B． C． D．16．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校校考一模）如圖，在中，，.分別以點(diǎn)C，A為圓心，以2和3為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在的左側(cè)），連接，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題17．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，的頂點(diǎn)E在對角線上運(yùn)動(dòng)，且，，連接，則的最小值為____．18．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿的方向在CB和BA上運(yùn)動(dòng)，將矩形沿EF折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在矩形的對角線上時(shí)（不與矩形頂點(diǎn)重合），點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的距離為__________.19．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，沿翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長為________；若線段的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，則__________.20．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，將沿翻折，點(diǎn)C剛好落在半圓O的點(diǎn)F處，則的長為______．21．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的取值范圍為______．22．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，菱形的邊長為10，，點(diǎn)M為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，連接，則線段長度的最小值是________．23．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)與相交于點(diǎn)G，連接、，當(dāng)最小時(shí)，四邊形的面積是__________．24．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形為正方形，P是以邊為直徑的上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊三角形，連接，若，則線段的最大值為________．25．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，已知為等邊三角形，，將邊繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且．連接，則的最小值為__________________．02幾何綜合小題一、單選題1．（2023·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，直角三角形頂點(diǎn)在矩形的對角線上運(yùn)動(dòng)，連接．，，，則的最小值為(

)．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由，推出、、、四點(diǎn)共圓，再證為定值，推出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，然后求出與，即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示：，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，四邊形是矩形，，，，，即，，在中，由勾股定理得：，的最小值．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、四點(diǎn)共圓、圓周角定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，利用垂線段最短解決最值問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，，，，點(diǎn)E、F、G分別是、、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)H，連接、，根據(jù)等腰三角形三線合一，可知，可證，進(jìn)一步證明為等腰直角三角形，得到，所以，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)，此時(shí)最小等于，求出的長度即為的最小值．【詳解】解：∵，，∴為等腰直角三角形，取中點(diǎn)H，連接、，如圖所示，∴（等腰三角形三線合一），，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，即為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)，此時(shí)最小等于，∵，H為的中點(diǎn)，∴，∴，，∴的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，正確判斷最短距離時(shí)各點(diǎn)的位置是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為G，連接，取中點(diǎn)E，連接，則線段的最小值為（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】取AP的中點(diǎn)F，連接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根據(jù)已知得出，分別求得，進(jìn)而求得，在中，勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)F，連接，作于H，作于T，設(shè)，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，∴，∴，，，，在中，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∵，∴的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形紙片中，，E是邊的中點(diǎn)，將菱形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)G處，折痕為，與交于點(diǎn)H，有如下結(jié)論：①；②；③；④，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】連接，得到是等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到，由折疊得，求出的度數(shù)即可判斷①；利用30度角的性質(zhì)求出，勾股定理求出，即可判斷②；連接，由折疊得，根據(jù)等邊對等角求出，得到，即可判斷③；過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，先求出，由折疊得，，設(shè)，則，求出，再得到，根據(jù)求出四邊形的面積，即可判斷④．【詳解】解：連接，∵四邊形是菱形，∴，，∴是等邊三角形，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，由折疊得，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，即，故②正確；連接，由折疊得，∴，∵，∴，∴，故③正確；過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，∵，∴，由折疊得，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形的面積，∴，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，三線合一的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰直角．有下列四個(gè)結(jié)論：①；②點(diǎn)在線段上；③當(dāng)時(shí)，平分；④若點(diǎn)在上以一定的速度由向運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的2倍．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)得：，從而可判定①；由可得，由正方形的性質(zhì)可證明，可得，即有，再由可得，從而、分別平分、，即可判定③；連接交于點(diǎn)，由知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，即可判斷②，由知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的倍，即可判斷④，因而可確定答案．【詳解】解：四邊形是正方形，是對角線，，，，是等腰直角三角形，，，，故①正確；、都是等腰直角三角形，，，，，，，即點(diǎn)E在線段上，故②正確；，，在和中，，，，，，，，、分別平分、，故③正確；如圖，連接交于點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，，且點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，，故④錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的確定等知識，熟練運(yùn)用這些知識是正確解答本題的關(guān)鍵．確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是本題的難點(diǎn)所在．6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，菱形的邊長為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長是（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】如圖，連接、、，設(shè)、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接、，根據(jù)菱形及等邊三角形得性質(zhì)可得，，可得出，可得必經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)，可得點(diǎn)在以為直徑的圓上，根據(jù)、的速度及菱形性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)，，可得點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長是的長，利用勾股定理可求出的長，根據(jù)圓周角定理可得，利用弧長公式即可得答案．【詳解】如圖，連接、、，設(shè)、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接、，∵菱形的邊長為，，∴，是等邊三角形，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴，，，∵點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位，點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位，∴，∵，∴，∴，∴，，∴必經(jīng)過點(diǎn)，∵，，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，且、、、四點(diǎn)共圓，∵當(dāng)點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)，，∴點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長是的長，∵，，∴，∴，即點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的證明、勾股定理、圓周角定理及弧長公式，正確得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．7．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊作，使，，連接．則面積的最大值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作，交的延長線于，易證得及，得到，，從而求得，，由面積公式求得，即可求解．【詳解】解：過作，交的延長線于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即面積的最大值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和性質(zhì)的應(yīng)用，解直角三角形；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的證明和性質(zhì)．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接、，分別交、于點(diǎn)、，過點(diǎn)作交的延長線于，下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形的面積為；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】連接，證明，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可判斷①；利用四點(diǎn)共圓證明即可判斷②；由正方形的邊長為4，則，求出，即可判斷③；根據(jù)正方形的性質(zhì)推出，利用相似三角形的性質(zhì)求得四邊形的面積即可判斷④；先求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可判斷⑤．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則，，，，，故①正確；如圖，連接．，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，故②正確；正方形的邊長為4，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，即，故③正確；，，是的中位線，，，，設(shè)邊上的高為，邊上的高為，，，，，，根據(jù)對稱性可知，，，故④正確；，，，，，，，，，，即，解得：，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述，正確的有①②③④，共4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．9．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．6【答案】A【分析】如圖（見解析），在AD邊上取點(diǎn)H，使得，連接EH、FH，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短可得取得最小值時(shí)，點(diǎn)E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．【詳解】如圖，在AD邊上取點(diǎn)H，使得，連接EH、FH四邊形ABCD是正方形，，，即又，即由三角形的三邊關(guān)系定理得：由題意得：點(diǎn)E的軌跡是在以點(diǎn)A為圓心，AE長為半徑的圓上由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E位于FH與圓A的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為，在中，由勾股定理得即的最小值為故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．10．（2023·江蘇蘇州·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？寄M預(yù)測）在中，，為上一動(dòng)點(diǎn)，若，，則的最小值為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】B【分析】以A為頂點(diǎn)，AC為一邊在下方作45°角，過作于，過作于，交于，由，要使最小，只需最小，即BD的長，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)和解直角三角形求解．【詳解】解：以為頂點(diǎn)，為一邊在下方作，過作于，過作于，交于，如圖：，要使最小，只需最小，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴最小即是最小，此時(shí)與重合，與重合，即最小值是線段的長度，∵，，∴，∵，∴，，又，∴，，∵，∴，而，∴，∴，∴的最小值是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是做45°角，將求的最小值轉(zhuǎn)化為求垂線段的長．11．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題中條件確定出點(diǎn)的軌跡是線段，則線段的最小值就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡線段的距離問題．【詳解】解：與固定夾角是，，點(diǎn)的軌跡是線段，的軌跡也是一條線段．兩點(diǎn)確定一條直線，取點(diǎn)分別與重合時(shí)，所對應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)Q，來確定點(diǎn)的軌跡，得到如下標(biāo)注信息后的圖形：求的最小值，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡線段的距離問題，,在中，,,，將逆時(shí)針繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后得到，為等邊三角形，,為的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一知，,過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),在中，對應(yīng)的邊等于斜邊的一半，，的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題中，兩點(diǎn)間距離的最小值問題，解題的關(guān)鍵是：需要確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，才能方便找到解決問題的突破口．12．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'與AB交于點(diǎn)E，連接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點(diǎn)D到BC的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接CC'，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥BC'于點(diǎn)H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，證△ADC'為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的長，在△BDC'中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．【詳解】解：如圖，連接CC'，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥BC'于點(diǎn)H，∵AD＝AC′＝2，D是AC邊上的中點(diǎn)，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'為等邊三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD?DM＝3?1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝，∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴點(diǎn)D到BC的距離為．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題關(guān)鍵是會通過面積法求線段的長度．13．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)剛好落在直線上，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由將△BAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由銳角三角函數(shù)可求BD＝a，CE＝a，由面積公式可求a的值，即可求解．【詳解】解：如圖，連接CE，延長EA交BC于F，∵AB＝2AC，設(shè)AC＝a，則AB＝2a，∴BC＝＝a，∵將△BAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△DAE，∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，∴∠DEA＝∠DFA，∴DF＝DE＝a，又∵∠DAE＝90°，∴AF＝AE＝a＝AC，∴∠ECF＝90°，∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，∴＝，∴CE＝a，∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，∴CF＝a，∴CD＝DF﹣CF＝a，∴BD＝BC+DC＝a，∴△BDE的面積＝×a×a＝×a×a×＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用參數(shù)解決問題是本題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，0），（4，3），以點(diǎn)C為圓心，2為半徑畫⊙C，點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，連接AP，交⊙C于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則線段MN的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，連接ON交⊙O于點(diǎn)，連接CM，

由點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，得，從而得點(diǎn)M在⊙O上，由勾股定理得，進(jìn)而求得MN的最小值．【詳解】解：以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，連接ON交⊙O于點(diǎn)，連接CM，點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，，點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)，N（4，3），，即，，MN的最小值為3，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理，構(gòu)造輔助線，找出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）王同學(xué)用長方形紙片折紙飛機(jī)，前三步分別如圖①、②、③．第一步：將長方形紙片沿對稱軸對折后展開，折出折痕；第二步：將和分別沿翻折，，重合于折痕EF上；第三步：將和分別沿翻折，重合于折痕上．已知，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得出，，，，利用正方形的判定得出平行四邊形為正方形，再由勾股定理得出，繼續(xù)利用折疊的性質(zhì)及等角對等邊即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，，，∴，由第一步折疊得，，，由第一步折疊得，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴平行四邊形為正方形，∴，∴在中，，根據(jù)第三步折疊可得，，∴，∴，∴，∴，∴故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的折疊問題及其性質(zhì)，勾股定理解三角形及等角對等邊的性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．16．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在中，，.分別以點(diǎn)C，A為圓心，以2和3為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在的左側(cè)），連接，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，且，連接，，，證明，求出，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)取最大值，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：，則，設(shè)，，由，可得，則，作，且，連接，，，由可知，，∵，即，∴，∴，即，則：，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∵，∴，由題意可知，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)取等號，即：的最大值為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造．二、填空題17．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，的頂點(diǎn)E在對角線上運(yùn)動(dòng)，且，，連接，則的最小值為____．【答案】【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，連接．由推出四點(diǎn)共圓，證明定值，推出點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，求出，，可得結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，連接，如圖，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴∵∴，∴定值，∴點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，∵四邊形是矩形，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值．故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、軌跡、三角形面積以及最小值問題等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，利用垂線段最短解決最值問題是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿的方向在CB和BA上運(yùn)動(dòng)，將矩形沿EF折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在矩形的對角線上時(shí)（不與矩形頂點(diǎn)重合），點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的距離為__________.【答案】3或【分析】分點(diǎn)落在對角線上和點(diǎn)落在對角線上兩種情況分別進(jìn)行討論求解，即可得出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的距離．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)落在對角線上時(shí)，連接，如圖1所示：∵將矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，且點(diǎn)恰好落在矩形的對角線上，∴，∵點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)D、C、在以E為圓心，DE為半徑的圓上∴，即，∴，∴∴點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∵在矩形中，，∴，∴，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的距離為3；②當(dāng)點(diǎn)落在對角線上時(shí)，作于H，則，四邊形為矩形，如圖2所示：在矩形中，∴∴∵∴∴∵四邊形為矩形，∴∴∵∴∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的距離為綜上所述：點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的距離為3或故答案為：3或【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題，需要利用翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、圓周角定理的推論、解直角三角形等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，熟記翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，沿翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長為________；若線段的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，則__________.【答案】5【分析】先根據(jù)正方形性質(zhì)和中點(diǎn)定義求出的長，再由折疊性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程即可求出的長；過點(diǎn)作于，連接，通過勾股定理列出方程求出的長，從而求得的長，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，，，從而再根據(jù)勾股定理列方程求出求出的長，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，由折疊性質(zhì)可知，設(shè)，則，由勾股定理得，即，解得，∴；如圖，過點(diǎn)作于，連接，易知，，由折疊性質(zhì)可知，，，設(shè)，則，由勾股定理得，即，解得，∴，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，，，設(shè)，則，∵，，∴，解得，∴，∴，在中，由勾股定理得．故答案為：5；．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問題，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，并能夠正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度校大．20．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，將沿翻折，點(diǎn)C剛好落在半圓O的點(diǎn)F處，則的長為______．【答案】/【分析】連接，，首先根據(jù)定理，可以判定，從而可以得到的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，從而可以得到點(diǎn)O、F、E三點(diǎn)共線，然后根據(jù)勾股定理，即可求得的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，利用解直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖：連接，，與相交于點(diǎn)G，四邊形是正方形，將沿翻折得到，，，垂直平分，，在與中，，，，，又，，∴點(diǎn)O、F、E三點(diǎn)共線，設(shè)，則，，，，，，解得，即，垂直平分，，，，，，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，求一個(gè)角的正弦值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．21．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的取值范圍為______．【答案】【分析】連接并延長，過作，交的延長線于，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可證出，從而可證是的平分線，同理可證：是的平分線，可得出、的運(yùn)動(dòng)軌跡便可求解．【詳解】解：如圖，連接并延長，過作，交的延長線于，四邊形是正方形，，，，在和中，即：是的平分線同理可證：是的平分線在上運(yùn)動(dòng)，在上運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；或當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；此時(shí)最長，當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)、分別是、的中點(diǎn)，此時(shí)最小故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了以正方形為背景的旋轉(zhuǎn)問題，三角形的全等的判定及性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等，找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．22．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，菱形的邊長為10，，點(diǎn)M為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，連接，則線段長度的最小值是________．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于直線對稱，得到，取的中點(diǎn)K，是的中位線，則，作，根據(jù)可求出，在中，由勾股定理求得的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)K，連接，作于H．∵四邊形是菱形，∴，∵點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)N為線段的中點(diǎn),點(diǎn)K是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為，故答案為