2023年二輪復習解答題專題二十一：二次函數(shù)范圍問題-大小比較(原卷版+解析)

2023年二輪復習解答題專題二十二：二次函數(shù)范圍問題——大小比較典例分析例1：（2022自貢中考）已知二次函數(shù)．（1）若，且函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，求此二次函數(shù)的解析式，直接寫出拋物線與軸交點及頂點的坐標；（2）在圖①中畫出（1）中函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值時自變量的取值范圍；（3）若且，一元二次方程兩根之差等于，函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，試比較的大?。畬ｎ}過關1.（2022鄭州外國語三模）在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A．點是拋物線上的任意一點，且不與點A重合，直線經(jīng)過A，B兩點．（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；（2）若點，在拋物線上，則a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；（3）若對于時，總有，求m的取值范圍．2.（2022鄭州一模）拋物線y＝x2﹣2ax﹣a﹣3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點D（4，﹣a﹣3）在拋物線的圖象上．（1）求拋物線的解析式；（2）現(xiàn)規(guī)定平面直角坐標系中橫縱坐標相等的點為“不動點”．已知點N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是拋物線y＝x2﹣2ax﹣a﹣3圖象上的“不動點”，點H是點N，Q之間拋物線上一點（不與點N，Q重合），求點H的縱坐標的取值范圍．3.（2022河南長垣一模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點和點．（1）求拋物線的解析式；（2）結合圖象直接寫出不等式的解集；（3）若點，都在拋物線上，當時，求的取值范圍．4.（2022河南新安一模）如圖，拋物線與直線相交于A，B兩點．（1）求物線的對稱軸及B點坐標．（2）已知和是拋物線上兩點，且，求b的取值范圍．（3）請結合函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．5.（2022河南夏邑一模）如圖，拋物線的頂點G的坐標為，與x軸交于A，B兩點，且AB=4．

（1）求此拋物線的解析式．（2）已知點，均在此拋物線上，且，請直接寫出x1的取值范圍．（3）將該拋物線沿x軸平移，當拋物線與坐標軸有且只有兩個交點時停止移動，得到新拋物線L，點M是線段AB（A，B為原拋物線與x軸的交點）上的一點，過點M作軸交新拋物線L于點N，求點N的縱坐標的取值范圍．6.（2022三門峽一模）已知二次函數(shù)（）．（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線______；（2）若該二次函數(shù)的圖象開口向上，當時，y的最大值是5，求拋物線的解析式；（3）若對于該拋物線上的兩點，，當取大于3的任何實數(shù)時，均滿足，請結合圖象，直接寫出的取值范圍．7.（2022南陽宛城一模）已知拋物線（m為常數(shù)）．（1）當時，設點，），Q（4，）在該拋物線上，若，直接寫出的取值范圍；（2）若點A（1，）、B（4，）在該拋物線上，且，求m的取值范圍；（3）當時，y的最小值為3，求m的值．8.（2022河南上蔡三模）已知拋物線過點，交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），交y軸于點C，且對于任意實數(shù)m，恒有成立．（1）求拋物線的解析式．（2）作直線BC，點是直線BC上一點，將點E向右平移2個單位長度得到點F，連接EF．若線段EF與拋物線只有1個交點，求點E橫坐標的取值范圍，（3）若，，三點都在拋物線上且總有，直接寫出n的取值范圍．9.（2022河南商城一模）如圖，直線與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線經(jīng)過點A，B．（1）求點B的坐標和拋物線的表達式；（2）P（x1，y1），Q（4，y2）兩點均在該拋物線上，若y1≥y2，求P點的橫坐標x1的取值范圍；（3）點M為直線AB上一動點，將點M沿與y軸平行的方向平移一個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標的取值范圍．10.（2022新鄉(xiāng)牧野三模）已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（3，2），且過點（0，11）．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位長度后得到新拋物線．①若新拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新拋物線上的兩點，當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，求n的取值范圍．11.（2022河南林州一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（3，2），且過點（0，11）．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位長度后得到新拋物線．①若新拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新拋物線上的兩點，當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，求n的取值范圍．12.（2022焦作一模）如圖，二次函數(shù)經(jīng)過點，與x軸的負半軸，y軸正半軸交于點B，C，點G為拋物線的頂點．（1）求b的值和點G的坐標；（2）當時，求函數(shù)的最大值和最小值；（3）當時，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若，求t的值．13.（2022許昌一模）已知拋物線．（1）若b＝2a，求拋物線的對稱軸；（2）若a＝1，且拋物線的對稱軸在y軸右側．①當拋物線頂點的縱坐標為1時，求b的值；②點，，在拋物線上，若，請直接寫出b的取值范圍．14.（2022北京七中一模）在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，其中．（1）求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；（2）①當時，求的值；②若，求的值（用含的式子表示）；（3）若對于，都有，求的取值范圍．15.（2022北京西城二模）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，．（1）直接寫出c的值和此拋物線的對稱軸；（2）若此拋物線與直線沒有公共點，求a的取值范圍；（3）點，在此拋物線上，且當時，都有．直接寫出a的取值范圍．16.（2022北京順義二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．（1）當時，①求拋物線的對稱軸；②若點，都在拋物線上，且，求的取值范圍；（2）已知點，將點P向右平移3個單位長度，得到點Q．當時，若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．17.（2022北京燕山二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線．（1）當拋物線過點（2，0）時，求拋物線的表達式；（2）求這個二次函數(shù)的頂點坐標（用含m的式子表示）；（3）若拋物線上存在兩點和，其中．當時，求m的取值范圍．18.（2022北京通州一模）已知拋物線過，，三點．（1）求n的值（用含有a的代數(shù)式表示）；（2）若，求a的取值范圍．19.（2022北京順義一模）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．（1）求該拋物線的對稱軸；（2）已知點，，在拋物線上．若，比較，，的大小，并說明理由．20.（2022北京石景山一模）在平面直角坐標xOy中，點在拋物線上．（1）求拋物線的對稱軸；（2）拋物線上兩點，，且，．①當時，比較，的大小關系，并說明理由；②若對于，，都有，直接寫出t的取值范圍．21.（2022北京石景山二模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）求拋物線的頂點坐標（用含t的代數(shù)式表示）；（2）點在拋物線上，其中．①若的最小值是，求的最大值；②若對于，都有，直接寫出t的取值范圍．22.（2022北京平谷一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2bx．（1）當拋物線過點（2，0）時，求拋物線的表達式；（2）求這個二次函數(shù)的對稱軸（用含b的式子表示）；（3）若拋物線上存在兩點A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），當y1?y2＜0時，求b的取值范圍．23.（2020北京平谷二模）在平面直角坐標系xOy中，點、、是拋物線上三個點．（1）直接寫出拋物線與y軸的交點坐標；（2）當時，求b的值；（3）當時，求b的取值范圍．24.（2022北京密云二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）用含a的代數(shù)式表示b；（2）若該函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為，求二次函數(shù)的解析式；（3）當時，該函數(shù)圖象上的任意兩點、，若滿足，，求的取值范圍．25.（2022門頭溝一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線（是常數(shù)）．（1）求該拋物線的頂點坐標（用含代數(shù)式表示）；（2）如果該拋物線上有且只有兩個點到直線的距離為1，直接寫出的取值范圍；（3）如果點，都在該拋物線上，當它的頂點在第四象限運動時，總有，求的取值范圍．26.（2022北京海淀一模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求該二次函數(shù)的解析式以及圖象頂點的坐標；（2）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點在一次函數(shù)的圖象上，點在二次函數(shù)的圖象上．若，求m的取值范圍．27.（2022北京海淀二模）在平面直角坐標系xOy中，點（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）在拋物線y=x2－2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接寫出該拋物線的對稱軸的表達式（用含a的式子表示）；（2）當m=0時，若y1=y3，比較y1與y2的大小關系，并說明理由；（3）若存在大于1的實數(shù)m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范圍．28.（2022北京豐臺一模）在平面直角坐標系xOy中，點M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求該拋物線的對稱軸；（2）已知點P（﹣1，P）在該拋物線上，設該拋物線的對稱軸為x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范圍．29.（2022北京豐臺二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．（1）求該拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）（2），為該拋物線上的兩點，若，，且，求a的取值范圍．30.（2022北京房山二模）已知二次函數(shù)．（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線__________；（2）當時，y的最大值與最小值的差為9，求該二次函數(shù)的表達式；（3）若，對于二次函數(shù)圖象上的兩點，當時，均滿足，請結合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍．31.（2022北京房山一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，0）與點C（0，-3），其頂點為P．（1）求二次函數(shù)的解析式及P點坐標；（2）當m≤x≤m+1時，y的取值范圍是-4≤y≤2m，求m的值．32.（2022北京昌平二模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）若拋物線過點．①求拋物線的對稱軸；②當時，圖像在軸的下方，當時，圖像在軸的上方，在平面直角坐標系中畫出符合條件的圖像，求出這個拋物線的表達式；（2）若，，為拋物線上的三點且，設拋物線的對稱軸為直線，直接寫出的取值范圍．33.（2022北京朝陽區(qū)一模）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．（1）若，求的值；（2）若，求值的取值范圍．2023年二輪復習解答題專題二十二：二次函數(shù)范圍問題——大小比較典例分析例1：（2022自貢中考）已知二次函數(shù)．（1）若，且函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，求此二次函數(shù)的解析式，直接寫出拋物線與軸交點及頂點的坐標；（2）在圖①中畫出（1）中函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值時自變量的取值范圍；（3）若且，一元二次方程兩根之差等于，函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，試比較的大?。敬鸢浮浚?），；；（2）見詳解；；（3）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，可得所求點的坐標；（2）由題意畫出圖象，結合圖象寫出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分別求出，，將點P點Q的坐標代入分別求出，利用作差法比較大小即可．【小問1詳解】解：∵，且函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，∴，∴二次函數(shù)的解析式為，∵當時，則，解得，，∴拋物線與軸交點的坐標為，，∵，∴拋物線的頂點的坐標為．【小問2詳解】解：函數(shù)的大致圖象，如圖①所示：當時，則，解得，，由圖象可知：當時，函數(shù)值．【小問3詳解】解：∵且，∴，，，且一元二次方程必有一根為，∵一元二次方程兩根之差等于，且∴方程的另一個根為，∴拋物線的對稱軸為直線：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴∵，，∴，，∴，∴．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結合的思想，求出b與c的關系是解題的關鍵．專題過關1.（2022鄭州外國語三模）在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A．點是拋物線上的任意一點，且不與點A重合，直線經(jīng)過A，B兩點．（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；（2）若點，在拋物線上，則a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；（3）若對于時，總有，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，可得拋物線的頂點坐標；（2）由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線，可知關于對稱軸對稱的點坐標為，進而可知的關系；（3）將代入，得，則，過A，B兩點的直線解析式為，當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，，即，可得，可得；當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，點關于直線的對稱點為，則，計算求出此時的取值范圍；進而可得的取值范圍．【小問1詳解】解：∵，∴拋物線的頂點坐標為．【小問2詳解】解：由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線，∴關于對稱軸對稱的點坐標為，∴，故答案為：．【小問3詳解】解：將代入，得，∴，將代入，解得，∴，當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，∵，∴，即，解得，∴，∴；當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，點關于直線的對稱點為，∵對于時，總有，∴，解得，∴；綜上所述，的取值范圍為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2.（2022鄭州一模）拋物線y＝x2﹣2ax﹣a﹣3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點D（4，﹣a﹣3）在拋物線的圖象上．（1）求拋物線的解析式；（2）現(xiàn)規(guī)定平面直角坐標系中橫縱坐標相等的點為“不動點”．已知點N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是拋物線y＝x2﹣2ax﹣a﹣3圖象上的“不動點”，點H是點N，Q之間拋物線上一點（不與點N，Q重合），求點H的縱坐標的取值范圍．【22題答案】【答案】（1）y＝x2﹣4x-5；（2）-9＜y＜．【解析】【分析】（1）把點D坐標代入拋物線解析式求出a，問題得解；（2）先根據(jù)“不動點”的定義求出N、Q的坐標，再根據(jù)拋物線性質(zhì)確定對稱軸、開口方向，得到點N、Q位于對稱軸兩側，求出拋物線圖象最低點坐標，進而即可確定點H取值范圍．【詳解】解：（1）∵點D（4，﹣a﹣3）在拋物線y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的圖象上，∴16-8a-a-3=-a-3解得a=2，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x-5；（2）∵點N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是拋物線y＝x2﹣4x-5圖象上的“不動點”，∴x2﹣4x-5=x，即x2﹣5x-5=0，解得，∴點N、Q的坐標分別為、，由拋物線y＝x2﹣4x-5得對稱軸為x=2，開口向上；∴N、Q位于對稱軸兩側，圖象有最低點，坐標為（2，-9），∴點H的縱坐標的取值范圍為-9＜y＜．【點睛】本題考查了拋物線點的坐標特點，拋物線的性質(zhì)等知識，理解“不動點”的定義，構造方程求出點N、Q坐標是解題關鍵．3.（2022河南長垣一模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點和點．（1）求拋物線的解析式；（2）結合圖象直接寫出不等式的解集；（3）若點，都在拋物線上，當時，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）先通過直線解析式得到A、B的坐標，再代入二次函數(shù)解析式進行求解即可；（2）根據(jù)圖象解答即可；（3）先將代入拋物線解析式，得出的值，再解出當時，方程的解，結合圖象，求解即可．【小問1詳解】令，則令，則將A、B分別代入得解得拋物線的解析式為；【小問2詳解】直線與拋物線交于A、B兩點或時，；【小問3詳解】將代入拋物線解析式，得將代入拋物線解析式，得解得根據(jù)圖象，當時，或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問題，涉及一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖像法解一元一次不等式、圖像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．4.（2022河南新安一模）如圖，拋物線與直線相交于A，B兩點．（1）求物線的對稱軸及B點坐標．（2）已知和是拋物線上兩點，且，求b的取值范圍．（3）請結合函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．【答案】（1）x=1，（2）（3）【解析】【分析】（1）先計算直線與x軸的交點，解得點A的坐標，再代入拋物線解析式，解得點B坐標，再利用配方法解得頂點坐標及對稱軸；（2）把點P、Q分別代入拋物線解析式中，解得m，n的值，再根據(jù)即可解答；（3）由圖象解答．【小問1詳解】解：令y=0解得x=2把點A代入拋物線得，對稱軸為【小問2詳解】把、分別代入中得，【小問3詳解】不等式的解集即直線位于拋物線的上方，由圖象可知，當時，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合、二次函數(shù)與一元二次方程、二次函數(shù)與一元一次不等式等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．5.（2022河南夏邑一模）如圖，拋物線的頂點G的坐標為，與x軸交于A，B兩點，且AB=4．

（1）求此拋物線的解析式．（2）已知點，均在此拋物線上，且，請直接寫出x1的取值范圍．（3）將該拋物線沿x軸平移，當拋物線與坐標軸有且只有兩個交點時停止移動，得到新拋物線L，點M是線段AB（A，B為原拋物線與x軸的交點）上的一點，過點M作軸交新拋物線L于點N，求點N的縱坐標的取值范圍．【答案】（1）拋物線的解析式（2）（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)拋物線的對稱性求出A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分別求出，，再由，得到，由此求解即可；（3）將該拋物線沿x軸平移，當拋物線與坐標軸有且只有兩個交點時停止移動，則平移后的拋物線必定經(jīng)過原點，由此分向右平移1個單位和向左平移3個單位兩種情況討論求解即可．【小問1詳解】解：∵拋物線的頂點G的坐標為，∴拋物線的對稱軸為x=1，∵AB=4，∴A，B兩點到對稱軸的距離為2，∴點A（-1,0），點B（3,0），設拋物線的頂點式為，拋物線過點A，∴，解得，此拋物線的解析式．【小問2詳解】解：∵點，均在此拋物線上，∴，，∵，∴，∴，解得；【小問3詳解】解：∵將該拋物線沿x軸平移，當拋物線與坐標軸有且只有兩個交點時停止移動，∴平移后的拋物線必定經(jīng)過原點，當拋物線向左平移3個單位時，如圖3-1所示，此時拋物線L的解析式為，設點M的坐標為（m，0）（），則點N點的坐標為（m，）∴新拋物線的對稱軸為直線，∵，∴對于拋物線L，當時，y隨x增大而減小，當時，y隨x增大而增大，∴當m=-1時，，當m=3時，，∴；當向右平移1個單位長度時，如圖3-2所示，同理可得平移后的拋物線解析式為，點M的坐標為（m，0）（），則點N點的坐標為（m，）∴新拋物線的對稱軸為直線，∵，∴對于拋物線L，當時，y隨x增大而減小，當時，y隨x增大而增大，∵，yN的最大=4∴當m=-1時，,當m=3時，,∴，∴綜上所述．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移等等，熟知二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．6.（2022三門峽一模）已知二次函數(shù)（）．（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線______；（2）若該二次函數(shù)的圖象開口向上，當時，y的最大值是5，求拋物線的解析式；（3）若對于該拋物線上的兩點，，當取大于3的任何實數(shù)時，均滿足，請結合圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）利用對稱軸公式計算即可；

（2）構建方程求出a的值即可解決問題；

（3）畫出函數(shù)圖象，結合圖象，分兩種情況討論求解即可解決問題．【小問1詳解】對稱軸x=-．故答案為1．【小問2詳解】∵該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，且當時，y值最大值為5∴當x=4時，y的最大值為5．∴∴∴【小問3詳解】∵對稱軸為直線x=1，∴x=-1與x=3時的y值相等，∵x2＞3時，均滿足y1＜y2，①當a＜0時，拋物線開口向下，如圖1，不成立；②當a＞0時，拋物線開口向上，如圖2，當x2取大于3的任何實數(shù)時，均滿足y1＜y2，此時，x1的取值范圍是：；∴由①②知：當a＞0時，拋物線開口向上．當x2取大于3的任何實數(shù)時，均滿足y1＜y2，此時，x1的取值范圍是：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值問題等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．7.（2022南陽宛城一模）已知拋物線（m為常數(shù)）．（1）當時，設點，），Q（4，）在該拋物線上，若，直接寫出的取值范圍；（2）若點A（1，）、B（4，）在該拋物線上，且，求m的取值范圍；（3）當時，y的最小值為3，求m的值．【答案】（1）或（2）（3）－1或5【解析】【分析】（1）將m=3代入可得函數(shù)關系式為，此時可得函數(shù)開口向上，與x軸的兩個交點分別為（2，0）（4，0），若即，結合圖象可得此時的取值范圍；（2）將點A和點B的坐標代入函數(shù)關系式，得到，，根據(jù)題意得：，解不等式即可；（3）由題意：，可得拋物線的對稱軸為直線，函數(shù)的最小值為-1，根據(jù)對稱軸在直線x=1左側，在直線x=1與直線x=3之間和在直線x=3右側分情況討論即可．【小問1詳解】解：將m=3代入可得函數(shù)關系式為，此時可得函數(shù)開口向上，與x軸的兩個交點分別為（2，0）（4，0），若即，結合圖象可得當時或；【小問2詳解】解：∵點A（1，）、B（4，）在拋物線上，∴，，又∵，∴，解得：；【小問3詳解】解：由題意：可得拋物線的對稱軸為直線，函數(shù)的最小值為-1，當時，y隨x增大而增大，故當時，y有最小值3．∴，解得（舍去），；當時，對稱軸為直線，函數(shù)的最小值為-1，不合題意舍去；當時，y隨x增大而減小，故當時，y有最小值3，∴，解得（舍去），；綜上所述，m的值為－1或5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關鍵是注意數(shù)形結合和分類討論．8.（2022河南上蔡三模）已知拋物線過點，交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），交y軸于點C，且對于任意實數(shù)m，恒有成立．（1）求拋物線的解析式．（2）作直線BC，點是直線BC上一點，將點E向右平移2個單位長度得到點F，連接EF．若線段EF與拋物線只有1個交點，求點E橫坐標的取值范圍，（3）若，，三點都在拋物線上且總有，直接寫出n的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】【分析】（1）分析可知：點是拋物線的頂點．即，，求出即可求出解析式；（2）求出點，，，頂點坐標為，進一步可知直線BC的解析式為．分情況討論：當點F與拋物線頂點重合時，當點E與點C重合時，當點E與點B重合時，結合圖象求解即可；（3）分析可知點不可能在拋物線的對稱軸上，點在對稱軸的左側，點在對稱軸的右側且點到對稱軸的距離比點近．故可得，解得．再利用點在對稱軸的左側，且點到對稱軸的距離比點近．可知，解得．故可知n的取值范圍為．【小問1詳解】解：∵對于任意實數(shù)m，恒有成立，且拋物線過點，∴點是拋物線的頂點．∴，，即，解得或．∵，∴．∴拋物線的解析式為．【小問2詳解】解：令，解得：，，∴，，令，可得：，∴，∵，∴拋物線的頂點坐標為，∴設直線BC的解析式為，將，代入可得：，解得：，∴直線BC的解析式為．①當點F與拋物線頂點重合時，如解圖1所示，此時點F的坐標為．結合平移的性質(zhì)，可知此時點E的坐標為．∴點E在直線BC上，且線段EF與拋物線只有1個交點．②當點E與點C重合時，如解圖2所示，此時點，點．∴點F在拋物線上，此時線段EF與拋物線有2個交點③當點E與點B重合時，如解圖3所示，此時線段EF與拋物線只有1個交點．綜上所述，當線段EF與拋物線只有1個交點時，點E橫坐標的取值范圍為或．【小問3詳解】解：．理由：當拋物線開口向下時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，且拋物線上的點到對稱軸的距離越近，其對應的y值越大．結合題意，可知點不可能在拋物線的對稱軸上，點在對稱軸的左側，點在對稱軸的右側且點到對稱軸的距離比點近．∴，解得．∴點在對稱軸的左側，且點到對稱軸的距離比點近．∴，解得．∴n的取值范圍為．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．9.（2022河南商城一模）如圖，直線與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線經(jīng)過點A，B．（1）求點B的坐標和拋物線的表達式；（2）P（x1，y1），Q（4，y2）兩點均在該拋物線上，若y1≥y2，求P點的橫坐標x1的取值范圍；（3）點M為直線AB上一動點，將點M沿與y軸平行的方向平移一個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標的取值范圍．【答案】（1）點B（0，2），拋物線；（2）P點的橫坐標x1的取值范圍；（3）點M的橫坐標的取值范圍點M的橫坐標的取值范圍或．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直線與x軸交于點A（3，0）求出，得出直線，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）Q（4，y2）兩點均在該拋物線上，求出；然后當y=-6時，，求出時的橫坐標，根據(jù)函數(shù)的增減性得出P點的橫坐標x1的取值范圍；（3）設點N在拋物線上N（x,），點M（x,），MN=，根據(jù)MN=1，得出方程，解方程求出，得出點M的橫坐標的取值范圍或．【小問1詳解】解：∵直線與x軸交于點A（3，0），∴，解得，∴直線，∵直線，與y軸交于點B，∴x=0，y=2，∴點B（0，2），∵拋物線經(jīng)過點A（3，0），點B（0，2），∴，解得：，∴拋物線；【小問2詳解】解：Q（4，y2）兩點均在該拋物線上，∴；當y=-6時，，因式分解得解得或，∴（），Q（4，-6），∵a=＜0，拋物線開口向下，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，∵y1≥y2，∴P點的橫坐標x1的取值范圍；【小問3詳解】解：設點N在AB上方拋物線上N（x,）為滿足條件的極高點，點M（x,）∴MN=∵MN=1，∴∴，∴當點N在AB下方拋物線上N（x,）為滿足條件的極低點，點M（x,）∴MN=∵MN=1，∴∴，∴∵線段MN與拋物線只有一個公共點，∴點M的橫坐標的取值范圍或．【點睛】本題考查直線上點的特征，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，兩點距離，一元二次方程，掌握直線上點的特征，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，兩點距離，一元二次方程是解題關鍵．10.（2022新鄉(xiāng)牧野三模）已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（3，2），且過點（0，11）．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位長度后得到新拋物線．①若新拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新拋物線上的兩點，當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，求n的取值范圍．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①或6；②【解析】【分析】（1）設拋物線解析式為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣3）2+2，把點（0，11）代入求值即可；（2）①利用拋物線解析式求得點A、B的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)和方程思想求得m的值即可；②根據(jù)拋物線對稱性質(zhì)知：當x＝4和x＝﹣2時，函數(shù)值相等．結合圖象，得n≥﹣2且n+1≤4．解該不等式組得到：﹣2≤n≤3．【詳解】解：（1）∵頂點為（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y(tǒng)＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵拋物線過點（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性質(zhì)知，平移后的拋物線的表達式為y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情況討論：若點A，B均在x軸正半軸上，設A（x，0），則B（3x，0），由對稱性可知：（x+3x）＝1，解得x＝，故點A坐標為（，0），將點A的坐標代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝﹣1+3﹣m，解得m＝若點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，設A（x，0），則B（﹣3x，0），由對稱性可知：（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故點A的坐標為（﹣1，0），同理可得m＝6，綜上：m＝或m＝6；②∵新拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當x＝4和x＝﹣2時，函數(shù)值相等．又∵當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，∴結合圖象，得，∴﹣2≤n≤3．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．11.（2022河南林州一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（3，2），且過點（0，11）．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位長度后得到新拋物線．①若新拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新拋物線上的兩點，當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，求n的取值范圍．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①或6；②【解析】【分析】（1）設拋物線解析式為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣3）2+2，把點（0，11）代入求值即可；（2）①利用拋物線解析式求得點A、B的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)和方程思想求得m的值即可；②根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)知：當x＝4和x＝﹣2時，函數(shù)值相等．結合圖象，得n≥﹣2且n+1≤4．解該不等式組得到：﹣2≤n≤3．【詳解】解：（1）∵頂點為（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y(tǒng)＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵拋物線過點（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性質(zhì)知，平移后的拋物線的表達式為y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情況討論：若點A，B均在x軸正半軸上，設A（x，0），則B（3x，0），由對稱性可知：（x+3x）＝1，解得x＝，故點A的坐標為（，0），將點A的坐標代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝﹣1+3﹣m，解得m＝若點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，設A（x，0），則B（﹣3x，0），由對稱性可知：（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故點A的坐標為（﹣1，0），同理可得m＝6，綜上：m＝或m＝6；②∵新拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當x＝4和x＝﹣2時，函數(shù)值相等．又∵當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，∴結合圖象，得，∴﹣2≤n≤3．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．12.（2022焦作一模）如圖，二次函數(shù)經(jīng)過點，與x軸的負半軸，y軸正半軸交于點B，C，點G為拋物線的頂點．（1）求b的值和點G的坐標；（2）當時，求函數(shù)的最大值和最小值；（3）當時，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若，求t的值．【答案】（1），點G的坐標為（2）函數(shù)的最大值為4，最小值為0（3）t的值為0或1【解析】【分析】（1）代入A點坐標后求出解析式即可；（2）根據(jù)頂點及二次函數(shù)增減性判斷求值即可；（3）根據(jù)對稱軸是否在范圍內(nèi)分類討論，結合二次函數(shù)增減性判斷計算即可．【小問1詳解】把代入得：；∴點G的坐標為【小問2詳解】∵，∴拋物線開口向下．∵頂點G的坐標為，當時，函數(shù)的最大值為4．當，y隨x的增大而增大∴當時，y的最小值為0．當，y隨x的增大而減小∴當，y的最小值為3∴當時，函數(shù)的最大值為4，最小值為0．【小問3詳解】①當時，，y隨x的增大而增大在時，在時，∴∴解得：（舍去）②當時，頂點的橫坐標在取值范圍內(nèi)，所以m的值為4，（?。┊敃r，在時，，∴，∴，解得：（舍去）；（ⅱ）當時，在時，，∴∴，解得：（舍去）．③當時，y隨x的增大而減小，在時，，在時，，∴，∴，解得：．綜上所述：t值為0或1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，重點是帶取值范圍的二次函數(shù)的最值，一般情況下頂點出取最值，有取值范圍時需要根據(jù)對稱軸是否在范圍內(nèi)分類討論，解題的關鍵是熟記二次函數(shù)的增減性．13.（2022許昌一模）已知拋物線．（1）若b＝2a，求拋物線的對稱軸；（2）若a＝1，且拋物線的對稱軸在y軸右側．①當拋物線頂點的縱坐標為1時，求b的值；②點，，在拋物線上，若，請直接寫出b的取值范圍．【答案】（1）拋物線的對稱軸為直線x＝－1（2）①；②－2<b<0．【解析】分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸公式求解即可；（2）①先根據(jù)拋物線對稱軸在y軸右側求出，再根據(jù)拋物線頂點坐標公式求解即可；②根據(jù)拋物線的增減性以及對稱性求解即可．【小問1詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，∵b＝2a，∴x＝－1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝－1．【小問2詳解】解：①當a＝1時，拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴，∴，∵該拋物線頂點的縱坐標為1，∴，解得：，，又∵b<0，∴．②∵拋物線對稱軸在y軸右側，且，拋物線對稱軸為直線，且拋物線開口向上∴，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的增減性，對稱軸公式，頂點坐標公式是解題的關鍵．14.（2022北京七中一模）在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，其中．（1）求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；（2）①當時，求的值；②若，求的值（用含的式子表示）；（3）若對于，都有，求的取值范圍．【答案】（1）（2）①，②（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸的公式，代值求解即可；（2）①根據(jù)拋物線表達式，代入求值即可；②根據(jù)可知，即求拋物線與軸交點坐標，得出方程求解即可；（3）根據(jù)拋物線對稱軸及，結合條件，都有，列出不等式求解即可．【小問1詳解】解：拋物線，對稱軸；【小問2詳解】解：①拋物線，當時，；②若，則，為拋物線與軸的交點，，十字相乘分解因式得，或，，；【小問3詳解】解：點，在拋物線上，，，即，若，則，即，，即，，即，，當時，對于，都有，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上的點的坐標特點、二次函數(shù)與一元二次方程的關系及一元一次不等式等知識點，熟練掌握二次函數(shù)圖象上的點的坐標特點及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．15.（2022北京西城二模）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，．（1）直接寫出c的值和此拋物線的對稱軸；（2）若此拋物線與直線沒有公共點，求a的取值范圍；（3）點，在此拋物線上，且當時，都有．直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）c=-2，拋物線的對稱軸為直線x=1（2）0<a<4（3）或【解析】【分析】（1）把，分別代入，求得c=-2，b=-2a，再把c=-2，b=-2a代入得y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，根據(jù)拋物線的頂點式，即可求出拋物線的對稱軸；（2）把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，根據(jù)拋物線與直線沒有公共點，則Δ=(-2a)2-4a×4<0，即a(a-4)<0，當a>0時，則a-4<0，即a<4，則0<a<4；當a<0時，則a-4>0，即a>4，此時，無解；即可得出答案；（3）把點，分別代入y=ax2-2ax-2，得y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2a(t-1)-2=at2-a-2，所以|y2-y1|=|(at2-2at-2)-(at2-a-2)|=|-at|=|at|，根據(jù)當-2≤t≤4時，都有|y2-y1|<，所以-<at<，分兩種情況：當a<0時，則；當a>0時，-<t<，則；分別求解即可．【小問1詳解】解：把，分別代入，得<t<-，則，解得：，當c=-2時，拋物線解析式為：y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，∴拋物線的對稱軸為直線x=1；【小問2詳解】解：把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，∵拋物線與直線沒有公共點，∴Δ=(-2a)2-4a×4<0，即a(a-4)<0，當a>0時，則a-4<0，即a<4，∴0<a<4，當a<0時，則a-4>0，即a>4，此時，無解；綜上，a的取值范圍為0<a<4；【小問3詳解】解：∵點，在此拋物線上，∴y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2a(t-1)-2=at2-a-2，∴|y2-y1|=|(at2-2at-2)-(at2-a-2)|=|-at|=|at|，∵當-2≤t≤4時，都有|y2-y1|<，∴-<at<,∵a≠0，∴當a<0時，<t<-，∴，解得：，當a>0時，-<t<，∴，解得：,綜上，a的取值范圍是或．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與直線無交點問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)和利用不等式求參數(shù)的范圍是解題的關鍵．16.（2022北京順義二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．（1）當時，①求拋物線的對稱軸；②若點，都在拋物線上，且，求的取值范圍；（2）已知點，將點P向右平移3個單位長度，得到點Q．當時，若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【答案】（1）①直線；②（2）或或【解析】【分析】（1）①將代入解析式即可求解．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸；②根據(jù)拋物線的開口向上，根據(jù)點與對稱軸的距離越大函數(shù)值越大，即可求解．（2）根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，結合函數(shù)圖象即可求解．【小問1詳解】①當時，，對稱軸為直線；②拋物線的對稱軸為直線，開口向上，則點與對稱軸的距離越大函數(shù)值越大，點，都在拋物線上，且，，，，【小問2詳解】點，將點P向右平移3個單位長度，得到點Q．則,，，當拋物線經(jīng)過時，，解得，當拋物線的頂點在上時，，，則，即，解得或，當拋物線經(jīng)過點時，，解得，此時與拋物線有2個交點，則當時，符合題意，綜上所述，結合函數(shù)圖象，得或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．17.（2022北京燕山二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線．（1）當拋物線過點（2，0）時，求拋物線的表達式；（2）求這個二次函數(shù)的頂點坐標（用含m的式子表示）；（3）若拋物線上存在兩點和，其中．當時，求m的取值范圍．【答案】（1）y＝x2﹣2x（2）（m，）（3）m＜﹣2或m＞2或﹣1＜m＜1．【解析】【分析】（1）將（2，0）代入解析式求得m，即可得到解析式；（2）由拋物線的頂點坐標公式即可求得；（3）根據(jù)拋物線開口方向及點A，B到對稱軸的距離可得y1＞0，y2＞0或y1＜0，y2＜0，將兩點坐標代入解析式求解即可．【小問1詳解】解：將（2，0）代入得，解得m＝1，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣2x．【小問2詳解】解：∵，∴這個二次函數(shù)的頂點坐標為（m，）．【小問3詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝，∵m﹣（m﹣1）＝1，m+2﹣m＝2∴m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，∴點A與對稱軸距離小于點B與對稱軸距離，∴y1＜y2，∵，∴＜0，∴拋物線的頂點（m，）在第四象限，∵y1?y2＞0，∴y1＜0，y2＜0或y1＞0，y2＞0，將（m﹣1，y1）代入y＝x2﹣2mx得y1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1＜0，解得m＜﹣1或m＞1，將（m+2，y2）代入y＝x2﹣2mx得y2＝（m+2）2﹣2m（m+2）＝﹣m2+4＜0，解得m＜﹣2或m＞2，∴m＜﹣2或m＞2滿足題意．將（m﹣1，y1）代入y＝x2﹣2mx得y1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1＞0，解得﹣1＜m＜1，將（m+2，y2）代入y＝x2﹣2mx得y2＝（m+2）2﹣2m（m+2）＝﹣m2+4＞0，解得﹣2＜m＜2，∴﹣1＜m＜1滿足題意．綜上所述，m的取值范圍m＜﹣2或m＞2或﹣1＜m＜1．【點睛】此題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．18.（2022北京通州一模）已知拋物線過，，三點．（1）求n的值（用含有a的代數(shù)式表示）；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【小問1詳解】解：點在拋物線上，把代入得：，即．【小問2詳解】、都在拋物線上，把，分別代入得：，，拋物線的對稱軸為：直線，與軸的交點坐標為，①當時，函數(shù)的最小值為，，，∴要使，則，，即，解不等式組得：；②當時，函數(shù)有最大值為，∵函數(shù)圖象與軸的交點坐標為，∴最大值一定是一個正的，即此時，∴要使，必須時使m、p一個為正一個為負，點A離對稱軸比C較遠，，，，即，解不等式組得：，綜上分析可知，a的取值范圍是或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元一次不等式組，根據(jù)a正負情況進行分類討論是解題的關鍵．19.（2022北京順義一模）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．（1）求該拋物線的對稱軸；（2）已知點，，在拋物線上．若，比較，，的大小，并說明理由．【答案】（1）x=1；（2）．【解析】【分析】（1）利用拋物線的對稱軸公式求得即可；（2）結合函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得結論；【小問1詳解】∵點在拋物線上，∴，∴b=-2a，∴拋物線函數(shù)關系式為：，拋物線的對稱軸為：直線；；【小問2詳解】∵a＜0，開口向下，且對稱軸為：x=1，∴結合函數(shù)圖象可知，當拋物線開口向下時，距離對稱軸越近，值越大，∵，∴，，，∴，，這三個點，離對稱軸最近，離對稱軸最遠，∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題等，題目難度適中，數(shù)形結合思想及求二次函數(shù)與一次函數(shù)交點需要聯(lián)立方程是解題基礎．20.（2022北京石景山一模）在平面直角坐標xOy中，點在拋物線上．（1）求拋物線的對稱軸；（2）拋物線上兩點，，且，．①當時，比較，的大小關系，并說明理由；②若對于，，都有，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）（2）①，理由見詳解；②或【解析】【分析】（1）對于拋物線，令，可得，可知點（0，2）在拋物線上，根據(jù)點也在拋物線上，由拋物線的對稱性，可知該拋物線的對稱軸為；（2）根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象．①當時，根據(jù)題意可計算、的取值范圍，再結合拋物線圖象判斷，的大小即可；②分情況討論，當、、三種情況下，區(qū)域和區(qū)域的位置及移動方向，確定滿足條件的t的取值范圍．【小問1詳解】解：對于拋物線，令，可得，即該拋物線與y軸的交點為點（0，2），又∵點也在拋物線上，∴根據(jù)拋物線的對稱性，可知該拋物線的對稱軸為；【小問2詳解】根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象，如下圖，①當時，根據(jù)題意可知，，，，即有，，由圖象可知，；②若對于，，都有，可分情況討論，如下圖：當時，，，由圖象對稱性可知，成立；當時，區(qū)域向左移動，區(qū)域向右移動且都移動t個單位，由圖象對稱性可知，成立；當時，區(qū)域、區(qū)域相向移動，兩區(qū)域相遇時，有，解得，在時，成立；相遇后，再繼續(xù)運動，兩區(qū)域分離時，有，解得；分離后，即時，隨著t的增大，由圖象對稱性可知，成立；綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，用數(shù)形結合和分情況討論的數(shù)學思想分析問題．21.（2022北京石景山二模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）求拋物線的頂點坐標（用含t的代數(shù)式表示）；（2）點在拋物線上，其中．①若的最小值是，求的最大值；②若對于，都有，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）（2）①時，的最大值為2；②或【解析】【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可求解；（2）①根據(jù)拋物線的性質(zhì)，對稱軸為，開口向上，則當時，有最小值，進而求得的值，結合函數(shù)圖象，當時，的最大值為2．②根據(jù)拋物線開口向上，離對稱軸越遠的點的函數(shù)值越大，分情況討論結合函數(shù)圖象即可求解．【小問1詳解】解：（1）∵，∴拋物線的頂點坐標為．【小問2詳解】①∵，∴拋物線開口向上∴當時，y有最小值．∵，∴當時，有最小值．∴．∴．∴．∵，∴結合函數(shù)圖象，當時，的最大值為2．②根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為，設到對稱軸的距離為，，即即到對稱軸距離最大為2，1）當點在的右側，且，，到的距離為，拋物線開口向上，離對稱軸越遠則，函數(shù)值越大，解得2）當點在的左側，且，同理可得，到的距離為解得綜上所述：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．22.（2022北京平谷一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2bx．（1）當拋物線過點（2，0）時，求拋物線的表達式；（2）求這個二次函數(shù)的對稱軸（用含b的式子表示）；（3）若拋物線上存在兩點A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），當y1?y2＜0時，求b的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）把代入解析式，解答即可；（2）根據(jù)對稱軸為直線計算即可；（3）把坐標代入解析式后，整理，最終轉(zhuǎn)化為解不等式問題．【小問1詳解】解：把代入解析式，，解得，拋物線的解析式為：．【小問2詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為直線：，【小問3詳解】解：將A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入得，，整理得：，，當y1?y2＜0時，則，，，令，解得：，根據(jù)高次不等式的求解法則，的解集為，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，對稱軸的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，對稱軸的公式，靈活運用拋物線的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．23.（2020北京平谷二模）在平面直角坐標系xOy中，點、、是拋物線上三個點．（1）直接寫出拋物線與y軸的交點坐標；（2）當時，求b的值；（3）當時，求b的取值范圍．【答案】（1）（0，1）；（2）-2；（3）-2＜b＜-1；【解析】【分析】（1）令x=0，代入拋物線求得y值即可解答；（2）利用拋物線的對稱性求得對稱軸，再計算求值即可；（3）根據(jù)，，將x的值代入拋物線解不等式，再求不等式的解的公共部分即可；【小問1詳解】解：令x=0，得：y=0+0+1=1，∴拋物線與y軸的交點坐標（0，1）；【小問2詳解】解：當時，由點，可得拋物線對稱軸為x=1，∴，∴b=-2，【小問3詳解】解：由可得：1+b+1＜1，b＜-1，由可得：1-b+1＞1，b＜1，由可得：9+3b+1＞1-b+1，b＞-2，∴當時，-2＜b＜-1；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，一元一次不等式的應用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．24.（2022北京密云二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）用含a的代數(shù)式表示b；（2）若該函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為，求二次函數(shù)的解析式；（3）當時，該函數(shù)圖象上的任意兩點、，若滿足，，求的取值范圍．【答案】（1）b=-a（2）y=-x2+x+2（3）x2<-2或x2>3【解析】【分析】（1）直接把(1,2)代入，求解即可；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【小問1詳解】解：把(1,2)代入，得2=a+b+2，∴b=-a，【小問2詳解】解：把(1,2)，(-1,0）分別代入，得，解得：，∴y=-x2+x+2；【小問3詳解】解：由（1）知：b=-a，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-=，又∵a<0，∴當x<時，y隨x增大而增大，∵，，∴x2<x1，即x2<-2；∴當x>時，y隨x增大而減小，∵，，又∵關于直線x=對稱點從標為(3,y1),∴x2>3,綜上，若滿足，時，x2<-2或x2>3．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．25.（2022門頭溝一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線（是常數(shù)）．（1）求該拋物線的頂點坐標（用含代數(shù)式表示）；（2）如果該拋物線上有且只有兩個點到直線的距離為1，直接寫出的取值范圍；（3）如果點，都在該拋物線上，當它的頂點在第四象限運動時，總有，求的取值范圍．【答案】（1）拋物線的頂點坐標（m，m-2）；（2）2＜m＜4；（3）a≥1．【解析】【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．（2）由拋物線上有且只有兩個點到直線的距離為1，及拋物線開口向下可得頂點在直線y=0和直線y=2之間，進而求解．（3）由頂點在第四象限可得m的取值范圍，由y1＜y2可得點B到對稱軸距離大于點A到對稱軸距離，進而求解．小問1詳解】∵，∴拋物線的頂點坐標（m，m-2）；【小問2詳解】∵拋物線開口向下，頂點坐標為（m，m-2），∴0＜m-2＜2，解得2＜m＜4；【小問3詳解】∵拋物線頂點在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=m且y1＞y2，∴在對稱軸右側，∴a+2-m＞|a-m|，即a+2-m＞a-m或a+2-m＞m-a，解得a＞m-1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．26.（2022北京海淀一模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求該二次函數(shù)的解析式以及圖象頂點的坐標；（2）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點在一次函數(shù)的圖象上，點在二次函數(shù)的圖象上．若，求m的取值范圍．【答案】（1），（1，-1）；（2）【解析】【分析】（1）把點代入，即可求解；（2）先求出一次函數(shù)的解析式為，再根據(jù)題意列出不等式，即可求解．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．∴，解得：a=1，∴該二次函數(shù)的解析式為，∵，∴圖象頂點的坐標為（1，-1）；【小問2詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，∴，解得：b=5，∴一次函數(shù)的解析式為，∵點在一次函數(shù)的圖象上，點在二次函數(shù)的圖象上．∴，，∵，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．27.（2022北京海淀二模）在平面直角坐標系xOy中，點（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）在拋物線y=x2－2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接寫出該拋物線的對稱軸的表達式（用含a的式子表示）；（2）當m=0時，若y1=y3，比較y1與y2的大小關系，并說明理由；（3）若存在大于1的實數(shù)m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范圍．【答案】（1）（2），理由見解析（3）a的取值范圍是【解析】分析】（1）直接根據(jù)對稱軸公式求即可；（2）當時，這三個點分別為（，），（0，），（2，），再結合y1=y3，即可求出函數(shù)解析式，判斷即可；（3）將（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）代入y=x2－2ax+1中，再解不等式即可；【小問1詳解】解：；【小問2詳解】當時，這三個點分別為（，），（0，），（2，），∵，∴（，）與（2，）關于對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為，即．∴函數(shù)解析式為∴（0，）為拋物線的頂點．∵拋物線的開口向上，∴當時，為函數(shù)的最小值．∴．【小問3詳解】將，和分別代入，得：，，．則有：，，于是成立，即為和同時成立，也即為和同時成立．①當時，，故，不存在大于1的實數(shù)m；②當時，，要使，則，也不存在大于1的實數(shù)m；③當時，，不符合題意；④時，只需取滿足的m即可滿足前述兩個不等式同時成立，即成立．綜上所述，a的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵，（3）需要注意分類討論．28.（2022北京豐臺一模）在平面直角坐標系xOy中，點M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求該拋物線的對稱軸；（2）已知點P（﹣1，P）在該拋物線上，設該拋物線的對稱軸為x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范圍．【答案】（1）x=3（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值相同的兩個點關于對稱軸對稱求解即可；（2）根據(jù)題意列出相應不等式，然后將不等式化簡為對