重難點(diǎn)10全等三角形中“雨傘”模型(原卷版+解析)

重難點(diǎn)10全等三角形中“雨傘”模型【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?東港區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的面積為10cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm22．（2022秋?常州期中）如圖，△ABC的面積為12cm2，AP垂直于∠ABC的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．5cm2二．填空題（共1小題）3．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點(diǎn)P，則△PBC的面積為cm2．三．解答題4．（2021秋?荔城區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)連接PB和PC，BP＝AB．（1）若∠BAC＝50°，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC的度數(shù)．（2）取BC的中點(diǎn)D，連接AD交CP延長線于點(diǎn)M，當(dāng)∠ABP＝2∠ACP時(shí)，試判斷∠BAC與∠ABP之間的關(guān)系，畫出圖形并說明理由．5．（2021秋?濱湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E．求證：CE＝BD．6．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．7．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．8．（2023春·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE點(diǎn)F在AB上，且BF=DE（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論

9．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，如圖中，，，的平分線交于點(diǎn)，，求證：.10．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD的大小為_________；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大??；（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫出的大?。?1．（江蘇省無錫市宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）【初步探索】截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為BC邊上一點(diǎn)，∠ADE交直線a于點(diǎn)E，且∠ADE＝60°．求證：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，滿足EF＝BE＋FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．

重難點(diǎn)10全等三角形中“雨傘”模型【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?東港區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的面積為10cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2【解答】解：延長AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝5cm2，故選：B．2．（2022秋?常州期中）如圖，△ABC的面積為12cm2，AP垂直于∠ABC的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．5cm2【解答】解：延長AP交BC于點(diǎn)D，∵BP平分∠ABD，∴∠ABP＝∠DBP，∵BP⊥AP，∴∠BPA＝∠BPD＝90°，∵BP＝BP，∴△BAP≌△BDP（ASA），∴AP＝PD，∴△ABP的面積＝△BDP的面積，△APC的面積＝△DPC的面積，∵△ABC的面積為12cm2，∴△PBC的面積＝△BPD的面積+△DCP的面積＝△ABC的面積＝×12＝6（cm2），故選：C．二．填空題（共1小題）3．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點(diǎn)P，則△PBC的面積為cm2．【解答】解：延長AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，故答案為：4．三．解答題4．（2021秋?荔城區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)連接PB和PC，BP＝AB．（1）若∠BAC＝50°，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC的度數(shù)．（2）取BC的中點(diǎn)D，連接AD交CP延長線于點(diǎn)M，當(dāng)∠ABP＝2∠ACP時(shí)，試判斷∠BAC與∠ABP之間的關(guān)系，畫出圖形并說明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠PBC＝∠ACP，又∵∠APB＝∠ABC﹣∠PBC，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACP，∴∠APB＝∠PCB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠PBC+∠APB）＝180°﹣∠ABC＝180°﹣65°＝115°；（2）∠BAC+∠ABP＝120°，理由：過點(diǎn)A作底邊BC的中線AD，連接BM，畫圖如下，∵AB＝AC，∴AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，∴BM＝CM，∵點(diǎn)M在底邊BC的中線上，∴點(diǎn)M在∠BAC的平分線AD上，即AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝β，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴∠ACM＝∠ABM＝α，∵∠ABP＝2∠ACP＝2∠ACM＝2α，∠ABP＝∠ABM+∠PBM＝α+∠PBM＝2α，∴∠ABM＝∠PBM＝α，在△ABM和△PBM中，，∴△ABM≌△PBM（SAS），∴∠AMB＝∠PMB，在△ABM中，∠BMA＝α+β，在△ACM中，∠CMD＝α+β，由∠AMB＝∠PMB得：180°﹣α﹣β＝2（α+β），∴α+β＝60°，則∠BAC+∠ABP＝2α+2β＝120°．5．（2021秋?濱湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E．求證：CE＝BD．【解答】證明：如圖，延長CE，BA交于點(diǎn)F．∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．又∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ACF．在△ABD與△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）．∴BD＝CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE．在△BCE與△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA）．∴CE＝FE，即CE＝CF．∴CE＝BD．6．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．7．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【詳解】（1），，，，直線平分，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，．（2），證明：如圖，延長交軸于點(diǎn)，直線平分，，，，又，（ASA），，，，即，，又，（ASA），，即．8．（2023春·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE點(diǎn)F在AB上，且BF=DE（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論

【詳解】（1）證明：延長CE交AB于點(diǎn)G∵AECE∴在和∴∴GE=EC∵BD=CD∴DE為的中位線∴DEAB∵DE=BF∴四邊形BDEF是平行四邊形（2）理由如下：∵四邊形BDEF是平行四邊形∴BF=DE∵D，E分別是BC，GC的中點(diǎn)∴BF=DE=BG∵∴AG=ACBF=（AB-AG）=（AB-AC）．9．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，如圖中，，，的平分線交于點(diǎn)，，求證：.【詳解】證明：如圖，延長交的延長線于，平分10．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD的大小為_________；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫出的大小．【詳解】解：（1）解（1）∵，，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴．又∵，∴為等腰三角形，∴，∴．（2）方法1：如圖作等邊，連接、．，．，，．，．．①，，．②，③由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下圖所示，構(gòu)造等邊三角形ADE，連接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可證．結(jié)合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．∵，∴四邊形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．（3）由（1）知道，若，時(shí)，則；①由（1）可知，設(shè)時(shí)可得，，，．②由（2）可知，翻折到△，則此時(shí)，，，③以為圓心為半徑畫圓弧交的延長線于點(diǎn)，連接，，．綜上所述，為或或時(shí)，．11．（江蘇省無錫市宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）【初步探索】截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為BC邊上一點(diǎn)，∠ADE交直線a于點(diǎn)E，且∠ADE＝60°．求證：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，滿足EF＝BE＋FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）如圖1，延長DC到點(diǎn)E，使CE=BD，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（