第21章一元二次方程(基礎(chǔ)、?？肌⒁族e(cuò)、壓軸)分類專項(xiàng)訓(xùn)練(原卷版+解析)2

第21章一元二次方程（基礎(chǔ)、?？肌⒁族e(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一．一元二次方程的定義（共2小題）1．（2022春?南湖區(qū)期末）下列是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣＝2021 B．x（x+6）＝0 C．a(chǎn)2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝22．（2022春?昭平縣期末）當(dāng)k滿足時(shí)，方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是一元二次方程．二．一元二次方程的解（共2小題）3．（2022春?九龍坡區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一個(gè)根是2，則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣44．（2022春?那坡縣期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則m2﹣m+2022的值為．三．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）5．（2022?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣46．（2022?黑龍江模擬）解方程：（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2）．四．根的判別式（共5小題）7．（2022春?二道區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根8．（2022?蘭州）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．19．（2022?盤錦模擬）關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m＝．10．（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）直播帶貨作為一種線上新型銷售模式，繞過了經(jīng)銷商等傳統(tǒng)中間渠道，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品和消費(fèi)者的直接對(duì)接，小剛線上通過直播帶貨銷售家鄉(xiāng)的某種特產(chǎn)水果．已知這種水果的成本價(jià)為10元/千克，通過前幾個(gè)周的銷售他發(fā)現(xiàn)這種水果每周的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)關(guān)系：y＝﹣2x+80．（1）如果小剛本周將這種水果的售價(jià)定為16元/千克，那么本周他銷售這種水果可獲利多少？（2）如果小剛下周繼續(xù)銷售這種水果，是否能獲得500元的利潤(rùn)？11．（2022?西城區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．（1）求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若m為整數(shù)，且此方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，寫出一個(gè)滿足條件的m的值，并求此時(shí)方程的兩個(gè)根．五．根與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）12．（2022?益陽）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．213．（2022?青海）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根為x＝1，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣314．（2022?淮安模擬）方程x2+x﹣1＝0的兩根為x1、x2，則x1+x2的值為．六．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共2小題）15．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個(gè)．設(shè)該廠第二季度平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+x）+50（1+x）2＝182 D．50+50（1+x）＝18216．（2022?倉山區(qū)校級(jí)模擬）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81 C．100x2＝81 D．100（1﹣2x）＝81七．一元二次方程的應(yīng)用（共2小題）17．（2022?鳳翔縣二模）開展農(nóng)技培訓(xùn)，實(shí)施人才強(qiáng)村戰(zhàn)略，因地制宜采用新媒體手段遠(yuǎn)程指導(dǎo)生產(chǎn)，利用廣播電視、微信公眾號(hào)等開展農(nóng)技培訓(xùn)．某地區(qū)加強(qiáng)了培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的投入，2020年投入3000萬元，預(yù)計(jì)2022年投入4320萬元．求該地區(qū)這兩年投入培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率．18．（2022?西安二模）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款標(biāo)價(jià)為400元/件的商品進(jìn)行直播銷售，為了盡快減少庫存，直播期間，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．求該種商品每次降價(jià)的百分率．【常考】一．一元二次方程的解（共1小題）1．（2021秋?濟(jì)陽區(qū)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一個(gè)根是2，則a＝．二．解一元二次方程-因式分解法（共1小題）2．（2022?安徽一模）解方程：2x2﹣5x+2＝0．三．根的判別式（共5小題）3．（2022?徐聞縣模擬）若關(guān)于x的方程mx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠04．（2022?肅州區(qū)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．5．（2022?唐河縣模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．6．（2022?平?jīng)瞿M）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是．7．（2022?玉林模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，寫出一個(gè)符合條件的m的值，并求此時(shí)方程的根．四．根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）8．（2022?龍港區(qū)二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（x1+1）（x2+1）的值等于．9．（2022春?臨淄區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，若x1+x2＝2﹣x1x2，求m的值．五．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共2小題）10．（2022?集賢縣模擬）在“雙減政策”的推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為a分鐘，經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了70%，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x，則可列方程為（）A．a(chǎn)（1﹣x）2＝70%a B．a(chǎn)（1+x）2＝70%a C．a(chǎn)（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a11．（2022?開福區(qū)校級(jí)二模）《九章算術(shù)》中有一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：如圖，一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺．若設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可以列出關(guān)于x的方程為（）A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2六．一元二次方程的應(yīng)用（共3小題）12．（2022?越秀區(qū)校級(jí)模擬）隨著國(guó)內(nèi)新能源汽車的普及，為了適應(yīng)社會(huì)的需求，全國(guó)各地都在加快公共充電樁的建設(shè)，廣東省2019年公共充電樁的數(shù)量約為4萬個(gè)，2021年公共充電樁的數(shù)量多達(dá)11.56萬個(gè)，位居全國(guó)首位．（1）求廣東省2019年至2021年公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率；（2）按照這樣的增長(zhǎng)速度，預(yù)計(jì)廣東省2022年公共充電樁數(shù)量能否超過20萬個(gè)？為什么？13．（2022?永川區(qū)模擬）某經(jīng)銷商3月份用36000元購(gòu)進(jìn)一批T恤衫售完后，4月份用78000元購(gòu)進(jìn)一批相同的T恤衫，數(shù)量是3月份的2倍，但每件進(jìn)價(jià)漲了10元．（1）4月份進(jìn)了這批T恤衫多少件？（2）該經(jīng)銷商5月份以每件400元賣出一部分T恤衫，6月份，經(jīng)銷商決定將一批T恤衫通過網(wǎng)上銷售以及實(shí)體店銷售兩種形式進(jìn)行，網(wǎng)上銷售的售價(jià)在每件400元的基礎(chǔ)上下調(diào)4a元，實(shí)體店銷售每件仍為400元．結(jié)果，6月份的兩種銷售形式的銷售總量比5月份增加了a%，并且網(wǎng)上銷售量占銷售總量的75%，6月份的銷售總金額比5月份提高了，求a的值．14．（2022?曹縣二模）永佳超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？【易錯(cuò)】一．一元二次方程的定義（共2小題）1．（2022?興化市模擬）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝2 B．x﹣y＝0 C．3x﹣＝2 D．x2+2x﹣52．（2022?七星關(guān)區(qū)二模）若關(guān)于x的方程（m﹣3）x2+x﹣m＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠3 B．m＝3 C．m≥3 D．m≠0二．一元二次方程的解（共2小題）3．（2022?岳陽模擬）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a2﹣6a+1的值是．4．（2022?越秀區(qū)一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1的一個(gè)根為0，則a＝．三．解一元二次方程-配方法（共2小題）5．（2022?聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0時(shí)，將它化為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（）A． B． C．2 D．6．（2022春?任城區(qū)期末）解方程：（1）2（x﹣1）2＝32．（2）2x2﹣4x+1＝0．四．解一元二次方程-因式分解法（共5小題）7．（2022?倉山區(qū)校級(jí)模擬）方程x2＝3x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝±8．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）下面是某同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中解答的填空題：（1）若x2＝a2，則x＝a（2）方程2x（x﹣1）＝x﹣1的解為x＝0．（3）若直角三角形有兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5．其中答案錯(cuò)誤的題目個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．（2022?紅橋區(qū)模擬）方程x2+x﹣2＝0的兩個(gè)根為（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝210．（2022?東陽市模擬）方程x（x﹣1）＝2x的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝011．（2022?梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．五．換元法解一元二次方程（共1小題）12．（2022?蕪湖一模）已知實(shí)數(shù)x滿足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，則代數(shù)式x2﹣x+1的值是（）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3六．根的判別式（共6小題）13．（2022?南召縣模擬）已知關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，則下列分析正確的是（）A．當(dāng)p＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．當(dāng)p＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．當(dāng)p＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根 D．方程的根的情況與p的值無關(guān)14．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）滿足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），使取最小值，此最小值為（）A． B． C． D．15．（2022?瀘州）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，則m的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或316．（2022?肥西縣模擬）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，則關(guān)于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情況是（）A．無實(shí)數(shù)根 B．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)根17．（2022?章丘區(qū)二模）已知等腰△ABC的底邊長(zhǎng)為3，兩腰長(zhǎng)恰好是關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的兩根，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．818．（2022?簡(jiǎn)陽市模擬）關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．七．一元二次方程的應(yīng)用（共3小題）19．（2022?安國(guó)市一模）可以用如圖所示的圖形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以點(diǎn)A為圓心作弧交AB于點(diǎn)D，使AD＝AC，則該方程的一個(gè)正根是（）A．CD的長(zhǎng) B．BD的長(zhǎng) C．AC的長(zhǎng) D．BC的長(zhǎng)20．（2022?錦江區(qū)模擬）已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，如果存在另外一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的三分之一，則a，b應(yīng)該滿足的條件為．21．（2022?江岸區(qū)校級(jí)模擬）某公司以3萬元/噸的價(jià)格收購(gòu)20噸某種水果后，分成A，B兩類（A類直接銷售，B類深加工成果醬后再銷售），并全部售出：A類水果的銷售價(jià)格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x為正整數(shù)，單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣x+13．B類水果深加工總費(fèi)用m（單位：萬元）與加工數(shù)量n（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是m＝12+3n，B類果醬每噸利潤(rùn)率（不考慮深加工費(fèi)用）是A類水果每噸利潤(rùn)率的2倍，按此標(biāo)準(zhǔn)定B類的銷售價(jià)格．注：總利潤(rùn)＝售價(jià)﹣總成本；利潤(rùn)率＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)．（1）設(shè)其中A類水果有x噸，用含x的代數(shù)式表示下列各量．①B類果醬有噸；②A類水果所獲得總利潤(rùn)為萬元；③B類果醬所獲得總利潤(rùn)為萬元．（2）若A類水果比B類果醬獲得總利潤(rùn)低24萬元，問A，B兩類水果各有多少噸？（3）若A，B兩類水果獲得總利潤(rùn)和不低于48萬元，直接寫出x的取值范圍．八．配方法的應(yīng)用（共2小題）22．（2022?臨淄區(qū)一模）已知關(guān)于x的分式方程有增根，且ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，則a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．423．（2022?武漢模擬）若實(shí)數(shù)a，b，x滿足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，則多項(xiàng)式a2+ab﹣b2的值可能為（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【壓軸】一．選擇題（共2小題）1．（2022?瑤海區(qū)三模）若關(guān)于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y＝（n+1）x﹣n的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022?合肥二模）已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2+nx﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則式子的值是（）A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2二．填空題（共2小題）3．（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是．4．（2022?常熟市校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m﹣n2＝1，則代數(shù)式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．三．解答題（共7小題）5．（2022?雙峰縣一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a是方程的解．6．（2022?江岸區(qū)校級(jí)模擬）某公司以3萬元/噸的價(jià)格收購(gòu)20噸某種水果后，分成A，B兩類（A類直接銷售，B類深加工成果醬后再銷售），并全部售出：A類水果的銷售價(jià)格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x為正整數(shù)，單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣x+13．B類水果深加工總費(fèi)用m（單位：萬元）與加工數(shù)量n（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是m＝12+3n，B類果醬每噸利潤(rùn)率（不考慮深加工費(fèi)用）是A類水果每噸利潤(rùn)率的2倍，按此標(biāo)準(zhǔn)定B類的銷售價(jià)格．注：總利潤(rùn)＝售價(jià)﹣總成本；利潤(rùn)率＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)．（1）設(shè)其中A類水果有x噸，用含x的代數(shù)式表示下列各量．①B類果醬有噸；②A類水果所獲得總利潤(rùn)為萬元；③B類果醬所獲得總利潤(rùn)為萬元．（2）若A類水果比B類果醬獲得總利潤(rùn)低24萬元，問A，B兩類水果各有多少噸？（3）若A，B兩類水果獲得總利潤(rùn)和不低于48萬元，直接寫出x的取值范圍．7．（2021秋?和平縣期末）某學(xué)校計(jì)劃利用一片空地建一個(gè)學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，這堵墻的長(zhǎng)度為12米．計(jì)劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長(zhǎng)為26米．（1）為了方便學(xué)生出行，學(xué)校決定在與墻平行的一面開一個(gè)2米寬的門，那么這個(gè)車棚的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)為多少米？（2）如圖，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？8．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)自主招生）在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個(gè)數(shù)是關(guān)于x的方程的解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．9．（2021秋?利通區(qū)期末）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD（圍墻MN最長(zhǎng)可利用25m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長(zhǎng)的墻的材料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．10．（2021秋?紫金縣期末）如圖，某市近郊有一塊長(zhǎng)為60米，寬為50米的矩形荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng)，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個(gè)矩形（其中三個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)均為a米）區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．（1）設(shè)通道的寬度為x米，則a＝（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地總占地面積為2430平方米．請(qǐng)問通道的寬度為多少米？11．（2021秋?任丘市期末）k取什么值時(shí)，方程組：有一個(gè)實(shí)數(shù)解并求出這時(shí)方程組的解．第21章一元二次方程（基礎(chǔ)、常考、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一．一元二次方程的定義（共2小題）1．（2022春?南湖區(qū)期末）下列是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣＝2021 B．x（x+6）＝0 C．a(chǎn)2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．【解答】解：A．是分式方程，故本選項(xiàng)不合題意；B．是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)a＝0時(shí)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不合題意；D．未知數(shù)是最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．2．（2022春?昭平縣期末）當(dāng)k滿足k≠1時(shí)，方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是一元二次方程．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，必須滿足k﹣1≠0，據(jù)此即可求解．【解答】解：由一元二次方程的定義可得k﹣1≠0，解得k≠1；故答案為：k≠1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．二．一元二次方程的解（共2小題）3．（2022春?九龍坡區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一個(gè)根是2，則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】把x＝2代入方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0得關(guān)于k的方程，解方程即可確定k的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一個(gè)根是2，∴k×22﹣2（k﹣2）+4＝0，即2k＝﹣8，∴k＝﹣4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．4．（2022春?那坡縣期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則m2﹣m+2022的值為2023．【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到m2﹣m＝1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2022＝1+2022＝2023．故答案為：2023．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．三．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）5．（2022?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022?黑龍江模擬）解方程：（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2）．【分析】應(yīng)用解一元二次方方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2），（x+4）（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+4﹣3）＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，x1＝2，x2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程﹣因式分解，熟練掌握解一元二次方程的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．四．根的判別式（共5小題）7．（2022春?二道區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【分析】先計(jì)算根的判別式的值，然后利用根的判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．8．（2022?蘭州）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．9．（2022?盤錦模擬）關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m＝﹣1．【分析】由方程mx2﹣mx﹣＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得Δ＝0，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，求解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，∴b2﹣4ac＝0，即m2﹣4×m×（﹣）＝0，解得：m＝0或m＝﹣1，當(dāng)m＝0時(shí)，原方程不是一元二次方程，不符合題意，故舍去，∴m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac之間的關(guān)系．10．（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）直播帶貨作為一種線上新型銷售模式，繞過了經(jīng)銷商等傳統(tǒng)中間渠道，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品和消費(fèi)者的直接對(duì)接，小剛線上通過直播帶貨銷售家鄉(xiāng)的某種特產(chǎn)水果．已知這種水果的成本價(jià)為10元/千克，通過前幾個(gè)周的銷售他發(fā)現(xiàn)這種水果每周的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)關(guān)系：y＝﹣2x+80．（1）如果小剛本周將這種水果的售價(jià)定為16元/千克，那么本周他銷售這種水果可獲利多少？（2）如果小剛下周繼續(xù)銷售這種水果，是否能獲得500元的利潤(rùn)？【分析】（1）利用本周他銷售這種水果獲得的利潤(rùn)＝每千克的銷售利潤(rùn)×每周的銷售量，即可求出結(jié)論；（2）不能獲得500元的利潤(rùn)，利用本周他銷售這種水果獲得的利潤(rùn)＝每千克的銷售利潤(rùn)×每周的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝﹣100＜0，可得出該方程無實(shí)數(shù)根，即不能獲得500元的利潤(rùn)．【解答】解：（1）（16﹣10）×（﹣2×16+80）＝（16﹣10）×（﹣32+80）＝6×48＝288（元）．答：本周他銷售這種水果可獲利288元．（2）不能獲得500元的利潤(rùn)，理由如下：依題意得：（x﹣10）（﹣2x+80）＝500，整理得：x2﹣50x+650＝0，∵Δ＝（﹣50）x2﹣4×1×650＝﹣100＜0，∴該方程無實(shí)數(shù)根，∴不能獲得500元的利潤(rùn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）牢記“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”．11．（2022?西城區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．（1）求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若m為整數(shù)，且此方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，寫出一個(gè)滿足條件的m的值，并求此時(shí)方程的兩個(gè)根．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判別式Δ＝b2﹣4ac的符號(hào)來判定該方程的根的情況；（2）將m＝1代入原方程，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．【解答】（1）證明：Δ＝b2﹣4ac＝＝m2﹣2m+10＝（m﹣1）2+9，∵（m﹣1）2≥0，∴（m﹣1）2+9＞0，∴無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）將m＝1代入方程﹣mx+m﹣5＝0中，得（x﹣1）2＝9，解得：x＝4或﹣2．∴當(dāng)m＝1時(shí)，x的值為4或﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）將m＝1代入原方程求出x值．五．根與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）12．（2022?益陽）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解答】解：設(shè)x2+x+m＝0另一個(gè)根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．13．（2022?青海）已知關(guān)于x的方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根為x＝1，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】根據(jù)方程根的定義，將x＝1代入方程，解出m的值即可．【解答】解：關(guān)于x的方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根為x＝1，所以1+m+3＝0解得m＝﹣4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握由方程的根求待定系數(shù)的方法是將根代入方程求解．14．（2022?淮安模擬）方程x2+x﹣1＝0的兩根為x1、x2，則x1+x2的值為﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接可得答案．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的兩根為x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．六．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共2小題）15．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個(gè)．設(shè)該廠第二季度平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+x）+50（1+x）2＝182 D．50+50（1+x）＝182【分析】由題意根據(jù)增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），如果該廠五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么可以用x分別表示五、六月份的產(chǎn)量，進(jìn)而即可得出方程．【解答】解：設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么得五、六月份的產(chǎn)量分別為50（1+x）、50（1+x）2，根據(jù)題意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的增長(zhǎng)率問題，注意掌握其一般形式為a（1+x）2＝b，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，x為增長(zhǎng)率．16．（2022?倉山區(qū)校級(jí)模擬）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81 C．100x2＝81 D．100（1﹣2x）＝81【分析】利用該藥品經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣每次降價(jià)的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：100（1﹣x）2＝81．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．七．一元二次方程的應(yīng)用（共2小題）17．（2022?鳳翔縣二模）開展農(nóng)技培訓(xùn)，實(shí)施人才強(qiáng)村戰(zhàn)略，因地制宜采用新媒體手段遠(yuǎn)程指導(dǎo)生產(chǎn)，利用廣播電視、微信公眾號(hào)等開展農(nóng)技培訓(xùn)．某地區(qū)加強(qiáng)了培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的投入，2020年投入3000萬元，預(yù)計(jì)2022年投入4320萬元．求該地區(qū)這兩年投入培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率．【分析】設(shè)該地區(qū)這兩年投入培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為m，利用2022年投入培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)金額＝2020年投入培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)金額×（1+年平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該地區(qū)這兩年投入培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為m，依題意得：3000（1+m）2＝4320，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該地區(qū)這兩年投入培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18．（2022?西安二模）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款標(biāo)價(jià)為400元/件的商品進(jìn)行直播銷售，為了盡快減少庫存，直播期間，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．求該種商品每次降價(jià)的百分率．【分析】設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x，利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣每次降價(jià)的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x，依題意得：400（1﹣x）2＝324，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．答：該種商品每次降價(jià)的百分率為10%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【?？肌恳唬辉畏匠痰慕猓ü?小題）1．（2021秋?濟(jì)陽區(qū)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一個(gè)根是2，則a＝6．【分析】把x＝2代入方程x2+x﹣a＝0得：22+2﹣a＝0，然后解關(guān)于a的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+x﹣a＝0，得22+2﹣a＝0，解得a＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．二．解一元二次方程-因式分解法（共1小題）2．（2022?安徽一模）解方程：2x2﹣5x+2＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵2x2﹣5x+2＝0，∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，則x﹣2＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．三．根的判別式（共5小題）3．（2022?徐聞縣模擬）若關(guān)于x的方程mx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0【分析】利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的方程mx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：m＞﹣1且m≠0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，找出關(guān)于m的一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．4．（2022?肅州區(qū)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≤1且k≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，可得b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k?9＝36﹣36k≥0，再根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零建立不等式，求解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k?9＝36﹣36k≥0，解得k≤1，又∵kx2﹣6x+9＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴k≠0，∴k≤1且k≠0，故答案為：k≤1且k≠0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，掌握根的判別式和一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022?唐河縣模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k＜﹣1．【分析】由方程沒有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0沒有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，解得：k＜﹣1．故答案為：k＜﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，注意記住一元二次方程根的情況與判別式Δ的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．6．（2022?平?jīng)瞿M）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是c＜．【分析】根據(jù)根的判別式和已知條件得出Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，解得：c＜．故答案為：c＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），①當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．7．（2022?玉林模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，寫出一個(gè)符合條件的m的值，并求此時(shí)方程的根．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范圍．（2）根據(jù)方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，確定出m的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到滿足題意的m的值，并求出方程的根（答案不唯一）．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴（2m+1）2﹣4m2＞0，解得：m＞﹣．∴m的取值范圍是m＞﹣．（2）利用求根公式表示出方程的解為x＝，∵方程的解為整數(shù)，∴4m+1為完全平方數(shù)，則當(dāng)m的值為0時(shí)，方程為：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1（不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．四．根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）8．（2022?龍港區(qū)二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（x1+1）（x2+1）的值等于2022．【分析】欲求代數(shù)式（x1+1）（x2+1）的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝2020，x1x2＝1，∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝1+2020+1＝2022．故答案為：2022．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．9．（2022春?臨淄區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，若x1+x2＝2﹣x1x2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝2m﹣1，x1?x2＝m2，結(jié)合x1+x2＝2﹣x1x2，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可確定m的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，解得：m≤．（2）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1?x2＝m2．∵x1+x2＝2﹣x1x2，即2m﹣1＝2﹣m2，整理得：m2+2m﹣3＝0，∴（m+3）（m﹣1）＝0，解得：m1＝﹣3，m2＝1（不合題意，舍去）．答：m的值為﹣3．【點(diǎn)評(píng)】考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x1+x2＝2﹣x1x2，找出關(guān)于m的一元二次方程．五．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共2小題）10．（2022?集賢縣模擬）在“雙減政策”的推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為a分鐘，經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了70%，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x，則可列方程為（）A．a(chǎn)（1﹣x）2＝70%a B．a(chǎn)（1+x）2＝70%a C．a(chǎn)（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a【分析】設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x，根據(jù)現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了70%，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x，可列方程為a（1﹣x）2＝30%a，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022?開福區(qū)校級(jí)二模）《九章算術(shù)》中有一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：如圖，一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺．若設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可以列出關(guān)于x的方程為（）A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】由竹子的原高可得出竹梢到折斷處的長(zhǎng)度為（10﹣x）尺，利用勾股定理，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵竹子原高一丈（1丈＝10尺），折斷處離地面的高度為x尺，∴竹梢到折斷處的長(zhǎng)度為（10﹣x）尺．依題意得：x2+32＝（10﹣x）2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．六．一元二次方程的應(yīng)用（共3小題）12．（2022?越秀區(qū)校級(jí)模擬）隨著國(guó)內(nèi)新能源汽車的普及，為了適應(yīng)社會(huì)的需求，全國(guó)各地都在加快公共充電樁的建設(shè)，廣東省2019年公共充電樁的數(shù)量約為4萬個(gè)，2021年公共充電樁的數(shù)量多達(dá)11.56萬個(gè)，位居全國(guó)首位．（1）求廣東省2019年至2021年公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率；（2）按照這樣的增長(zhǎng)速度，預(yù)計(jì)廣東省2022年公共充電樁數(shù)量能否超過20萬個(gè)？為什么？【分析】（1）設(shè)2019年至2021年廣東省公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)廣東省2019年及2021年公共充電樁，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)廣東省2022年公共充電樁數(shù)量＝廣東省2022年公共充電樁數(shù)量×增長(zhǎng)率，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)廣東省2019年至2021年公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得4（1+x）2＝11.56，解得x1＝0.7，x2＝﹣2.7（不合題意，舍去），答：年平均增長(zhǎng)率為70%．（2）11.56×（1+0.7）＝19.652＜20，答：預(yù)計(jì)廣東省2022年公共充電樁數(shù)量不能超過20萬個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2022?永川區(qū)模擬）某經(jīng)銷商3月份用36000元購(gòu)進(jìn)一批T恤衫售完后，4月份用78000元購(gòu)進(jìn)一批相同的T恤衫，數(shù)量是3月份的2倍，但每件進(jìn)價(jià)漲了10元．（1）4月份進(jìn)了這批T恤衫多少件？（2）該經(jīng)銷商5月份以每件400元賣出一部分T恤衫，6月份，經(jīng)銷商決定將一批T恤衫通過網(wǎng)上銷售以及實(shí)體店銷售兩種形式進(jìn)行，網(wǎng)上銷售的售價(jià)在每件400元的基礎(chǔ)上下調(diào)4a元，實(shí)體店銷售每件仍為400元．結(jié)果，6月份的兩種銷售形式的銷售總量比5月份增加了a%，并且網(wǎng)上銷售量占銷售總量的75%，6月份的銷售總金額比5月份提高了，求a的值．【分析】（1）設(shè)3月份購(gòu)進(jìn)的數(shù)量為x件，則4月份購(gòu)進(jìn)的數(shù)量為2x件，根據(jù)每件進(jìn)價(jià)漲了10元，列出方程計(jì)算即可求解；（2）設(shè)5月份銷售出m件T恤衫，則6月份銷售出m（1+a%）件T恤衫，根據(jù)6月份的銷售總金額比5月份提高了，列出方程計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）設(shè)3月份購(gòu)進(jìn)的數(shù)量為x件，則4月份購(gòu)進(jìn)的數(shù)量為2x件，根據(jù)題意得：+10＝，解得x＝300，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝300是原方程的解，則2x＝2×300＝600．答：4月份進(jìn)了這批T恤衫600件；（2）設(shè)5月份銷售出m件T恤衫，則6月份銷售出m（1+a%）件T恤衫，根據(jù)題意得：（400﹣4a）×75%×m（1+a%）+400×25%×m（1+a%）＝400×m（1+a%），解得a1＝0（舍去），x2＝20．故a的值為20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確的理解題意，找到其蘊(yùn)含的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2022?曹縣二模）永佳超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？【分析】設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，根據(jù)每天的銷售利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合每件商品盈利不少于25元，即可確定x的值．【解答】解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，依題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20應(yīng)舍去，故x＝10為所求．答：每件商品應(yīng)降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)】一．一元二次方程的定義（共2小題）1．（2022?興化市模擬）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝2 B．x﹣y＝0 C．3x﹣＝2 D．x2+2x﹣5【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：A．是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；B．方程x﹣y＝0是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D．x2+2x﹣5是代數(shù)式，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程定義，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2．（2022?七星關(guān)區(qū)二模）若關(guān)于x的方程（m﹣3）x2+x﹣m＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠3 B．m＝3 C．m≥3 D．m≠0【分析】利用一元二次方程定義可得答案．只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m﹣3）x2+x﹣m＝0是一元二次方程，∴m﹣3≠0，解得：m≠3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零．二．一元二次方程的解（共2小題）3．（2022?岳陽模擬）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a2﹣6a+1的值是11．【分析】根據(jù)已知可得a2﹣3a﹣5＝0，從而可得a2﹣3a＝5，進(jìn)而求出2a2﹣6a＝10，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：a2﹣3a﹣5＝0，∴a2﹣3a＝5，∴2a2﹣6a＝10，∴2a2﹣6a+1＝10+1＝11，故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握求代數(shù)式值中的整體思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022?越秀區(qū)一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1的一個(gè)根為0，則a＝﹣1．【分析】根據(jù)題意把x＝0代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根據(jù)一元二次方程的定義可得a≠1，即可解答．【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，a2＝1，∴a＝±1，由題意得：a﹣1≠0，∴a≠1，∴a＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．三．解一元二次方程-配方法（共2小題）5．（2022?聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0時(shí)，將它化為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（）A． B． C．2 D．【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，∴3x2+6x＝1，x2+2x＝，則x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，∴a＝1，b＝，∴a+b＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．6．（2022春?任城區(qū)期末）解方程：（1）2（x﹣1）2＝32．（2）2x2﹣4x+1＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝32，（x﹣1）2＝16，x﹣1＝±4，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，x1＝5，x2＝﹣3；（2）2x2﹣4x+1＝0，x2﹣2x+＝0，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x1＝1+，x2＝1﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，配方法，熟練掌握解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．四．解一元二次方程-因式分解法（共5小題）7．（2022?倉山區(qū)校級(jí)模擬）方程x2＝3x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝±【分析】利用解一元一次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x2＝3x，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元一次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．8．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）下面是某同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中解答的填空題：（1）若x2＝a2，則x＝a（2）方程2x（x﹣1）＝x﹣1的解為x＝0．（3）若直角三角形有兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5．其中答案錯(cuò)誤的題目個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)一元二次方程的解法、勾股定理計(jì)算，判斷即可．【解答】解：（1）若x2＝a2，則x＝±a，故本小題計(jì)算錯(cuò)誤；（2）方程2x（x﹣1）＝x﹣1的解為x1＝0，x2＝1，故本小題計(jì)算錯(cuò)誤；（3）若直角三角形有兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5或，故本小題說法錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，掌握一元二次方程的解法、勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022?紅橋區(qū)模擬）方程x2+x﹣2＝0的兩個(gè)根為（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣2，x2＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．10．（2022?東陽市模擬）方程x（x﹣1）＝2x的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x（x﹣1）＝2x，x（x﹣1）﹣2x＝0，x（x﹣1﹣2）＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．11．（2022?梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是x1＝2，x2＝﹣7．【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案為：x1＝2，x2＝﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．五．換元法解一元二次方程（共1小題）12．（2022?蕪湖一模）已知實(shí)數(shù)x滿足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，則代數(shù)式x2﹣x+1的值是（）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3【分析】由整體思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出結(jié)論．【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．當(dāng)x2﹣x＝﹣2時(shí)，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)解．當(dāng)x2﹣x＝6時(shí)，x2﹣x+1＝7故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整體思想在一元二次方程的解法中的運(yùn)用，因式分解法解一元二次方程的運(yùn)用，代數(shù)式求值的運(yùn)用，解答時(shí)因式分解法解一元二次方程是關(guān)鍵．六．根的判別式（共6小題）13．（2022?南召縣模擬）已知關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，則下列分析正確的是（）A．當(dāng)p＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．當(dāng)p＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．當(dāng)p＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根 D．方程的根的情況與p的值無關(guān)【分析】先將該方程整理成一般式，再求得其根的判別式為4p+9，再判斷各選項(xiàng)的正確與否即可．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理為x2+x﹣2﹣p＝0，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．當(dāng)p＝0時(shí)，Δ＝4p+9＝9＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)p＞0時(shí)，Δ＝4p+9＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B符合題意；當(dāng)p＜0時(shí)，Δ的正負(fù)無法確定，∴無法判斷該方程實(shí)數(shù)根的情況，故選項(xiàng)C不符合題意；∵方程的根的情況和p的值有關(guān)，故選項(xiàng)D不符合題意．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能對(duì)該方程進(jìn)行準(zhǔn)確變形與計(jì)算．14．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）滿足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），使取最小值，此最小值為（）A． B． C． D．【分析】先令＝t，把（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6進(jìn)行變形整理得到（t2+1）2﹣6（t+1）+12＝0，再求出Δ＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，得出t2﹣6t+1≤0，求出t的解集，即可得出答案．【解答】解：令＝t，則（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6可變形為：（x﹣3）2+（tx﹣3）2＝6，整理得：（t2+1）x2﹣6（t+1）x+12＝0，則Δ＝[﹣6（t+1）]2﹣4×（t2+1）×12＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，t2﹣6t+1≤0，由t2﹣6t+1＝[t﹣（3﹣2）][t﹣（3+2）]知t2﹣6t+1≤0的解集為3﹣2≤t≤3+2，故取最小值，此最小值為3﹣2；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程和根的判別式，掌握當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了運(yùn)用△解決函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題和一元二次方程的解法是本題的關(guān)鍵．15．（2022?瀘州）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，則m的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【分析】根據(jù)方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，得出x1+x2與x1x2的值，再根據(jù)x12+x22＝3，即可求出m的值．【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，∴m2+2m﹣1+1＝3，解得：m1＝1，m2＝﹣3，∵方程有兩實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，即m≤，∴m2＝1（不合題意，舍去），∴m＝﹣3；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，難度適中，關(guān)鍵掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．16．（2022?肥西縣模擬）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，則關(guān)于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情況是（）A．無實(shí)數(shù)根 B．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)條件得到a+b＝c，a＞0，關(guān)于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，根據(jù)判別式求根的情況即可．【解答】解：∵a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，∴a+b＝c，3a+b﹣（a+b）＞0，∴3a+b﹣a﹣b＞0，∴2a＞0，∴a＞0，∴關(guān)于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣c）2﹣4ab＝c2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，掌握當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．17．（2022?章丘區(qū)二模）已知等腰△ABC的底邊長(zhǎng)為3，兩腰長(zhǎng)恰好是關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的兩根，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8【分析】先根據(jù)兩腰長(zhǎng)恰好是關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的兩根，求得k＝3，進(jìn)而得到一元二次方程為x2﹣6x+6＝0，進(jìn)而得到兩腰之和為＝4，進(jìn)而得出△ABC的周長(zhǎng)為4+3＝7．【解答】解：∵兩腰長(zhǎng)恰好是關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的兩根，∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，解得k＝3，∴一元二次方程為x2﹣6x+6＝0，∴兩腰之和為＝4，∴△ABC的周長(zhǎng)為4+3＝7，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式以及三角形三邊關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．18．（2022?簡(jiǎn)陽市模擬）關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≤3且k≠﹣1．【分析】運(yùn)用根的判別式解不等式（﹣4）2﹣4×（k+1）×1≥0，并保證k+1≠0．【解答】解：由題意得a＝k+1，b＝﹣4，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（k+1）×1＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，解得k≤3，又∵k+1≠0，∴k≠﹣1，故答案為：k≤3且k≠﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意準(zhǔn)確列式、計(jì)算，并將結(jié)果考慮全面．七．一元二次方程的應(yīng)用（共3小題）19．（2022?安國(guó)市一模）可以用如圖所示的圖形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以點(diǎn)A為圓心作弧交AB于點(diǎn)D，使AD＝AC，則該方程的一個(gè)正根是（）A．CD的長(zhǎng) B．BD的長(zhǎng) C．AC的長(zhǎng) D．BC的長(zhǎng)【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，可得BD2+aBD＝b2，從而可得BD的長(zhǎng)該方程方程x2+ax＝b2的一個(gè)正根．【解答】解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2與方程x2+ax＝b2相同，且BD的長(zhǎng)度是正數(shù)，∴BD的長(zhǎng)該方程x2+ax＝b2的一個(gè)正根，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，利用勾股定理及各邊長(zhǎng)得出BD2+aBD＝b2是解題的關(guān)鍵．20．（2022?錦江區(qū)模擬）已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，如果存在另外一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的三分之一，則a，b應(yīng)該滿足的條件為（a+b）2≥12ab．【分析】設(shè)另外一個(gè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，根據(jù)題意可知，x+y＝（a+b），xy＝，消去y，組成一元二次方程，根據(jù)根的判別式可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)另外一個(gè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，根據(jù)題意可知，x+y＝（a+b），xy＝，∴y＝（a+b）﹣x，∴x[（a+b）﹣x]＝，整理得，3x2﹣（a+b）x+ab＝0，∵存在另一個(gè)矩形，則該一元二次方程有解，∴Δ＝（a+b）2﹣12ab≥0，即（a+b）2≥12ab．故答案為：（a+b）2≥12ab．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2022?江岸區(qū)校級(jí)模擬）某公司以3萬元/噸的價(jià)格收購(gòu)20噸某種水果后，分成A，B兩類（A類直接銷售，B類深加工成果醬后再銷售），并全部售出：A類水果的銷售價(jià)格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x為正整數(shù)，單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣x+13．B類水果深加工總費(fèi)用m（單位：萬元）與加工數(shù)量n（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是m＝12+3n，B類果醬每噸利潤(rùn)率（不考慮深加工費(fèi)用）是A類水果每噸利潤(rùn)率的2倍，按此標(biāo)準(zhǔn)定B類的銷售價(jià)格．注：總利潤(rùn)＝售價(jià)﹣總成本；利潤(rùn)率＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)．（1）設(shè)其中A類水果有x噸，用含x的代數(shù)式表示下列各量．①B類果醬有（20﹣x）噸；②A類水果所獲得總利潤(rùn)為（﹣x2+10x）萬元；③B類果醬所獲得總利潤(rùn)為（2x2﹣57x+328）萬元．（2）若A類水果比B類果醬獲得總利潤(rùn)低24萬元，問A，B兩類水果各有多少噸？（3）若A，B兩類水果獲得總利潤(rùn)和不低于48萬元，直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)題意可得答案；②根據(jù)總利潤(rùn)＝每噸的利潤(rùn)×數(shù)量可得答案；③根據(jù)總利潤(rùn)＝總售價(jià)﹣總費(fèi)用可得答案；（2）根據(jù)題意列出方程，2（﹣x2+10x）﹣（﹣x2+10x）＝24，解方程可得答案；（3）設(shè)兩類水果總利潤(rùn)的和為w萬元，得出w關(guān)于x的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）①B類果醬有（20﹣x）噸；故答案為：（20﹣x）；②A類水果所獲得總利潤(rùn)為（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x，故答案為：（﹣x2+10x）；③設(shè)B類水果每噸所獲得利潤(rùn)為z元，∵A類水果每噸所獲利潤(rùn)為（﹣x+10）元，根據(jù)題意可知，＝2×，解得z＝﹣2x+20，∴B類水果所獲總利潤(rùn)為：（﹣2x+20）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝2x2﹣57x+328；故答案為：（2x2﹣57x+328）；（2）由題意得，（2x2﹣60x+400）﹣（﹣x2+10x）﹣[12+3（20﹣x）]＝24，解得x1＝16，x2＝（舍去），∴20﹣16＝4（噸），答：A類水果有16噸，B類水果有4噸；（3）設(shè)兩類水果總利潤(rùn)的和為w萬元，則w＝（2x2﹣57x+328）+（﹣x2+10x）＝x2﹣47x+328，∵w≥48，∴x2﹣47x+328≥48，∴0＜x≤7或x≥40（舍），∴x的取值范圍為0＜x≤7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題關(guān)鍵是理清售價(jià)、成本、利潤(rùn)三者之間的關(guān)系．八．配方法的應(yīng)用（共2小題）22．（2022?臨淄區(qū)一模）已知關(guān)于x的分式方程有增根，且ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，則a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)分式方程有增根求出m的值，然后把m的值代入ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，利用配方法進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，x+m﹣3m＝3（x﹣4），解得：x＝6﹣m，∵分式方程有增根，∴x＝4，把x＝4代入x＝6﹣m中，4＝6﹣m，解得：m＝2，當(dāng)m＝2時(shí)，ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，∴2a2+b2+4a﹣6b+11＝0，∴2a2+4a+2+b2﹣6b+9＝0，∴2（a2+2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0，∴2（a+1）2+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∴a+b＝﹣1+3＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．23．（2022?武漢模擬）若實(shí)數(shù)a，b，x滿足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，則多項(xiàng)式a2+ab﹣b2的值可能為（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【分析】將多項(xiàng)式a2+ab﹣b2進(jìn)行變形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根據(jù)偶次方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴a2+ab﹣b2＝（b+2）2+b（a﹣b）＝b2+4b+4+2b＝b2+6b+4＝（b+3）2﹣5，∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．【壓軸】一．選擇題（共2小題）1．（2022?瑤海區(qū)三模）若關(guān)于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y＝（n+1）x﹣n的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，根據(jù)k、b的取值確定直角坐標(biāo)系的位置．在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；（2）在無實(shí)數(shù)根下必須滿足Δ＝b2﹣4ac＜0．【解答】解：一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0無實(shí)數(shù)根，說明Δ＝b2﹣4ac＜0，即（﹣2）2﹣4×n×（﹣1）＜0，解得n＜﹣1，所以n+1＜0，﹣n＞0，故一次函數(shù)y＝（n+1）x﹣n的圖象不經(jīng)過第三象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．對(duì)于一次函數(shù)y＝kx+b，當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，它的圖象經(jīng)過一、二、四象限．2．（2022?合肥二模）已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2+nx﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則式子的值是（）A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2【分析】欲求的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：由題意知，a+b＝﹣n，ab＝﹣1，∴＝＝＝﹣n2﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合是一種經(jīng)常使用的解題方法．二．填空題（共2小題）3．（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是3＜k≤4．【分析】根據(jù)原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+＝0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2的表達(dá)式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出k的取值范圍．【解答】解：由題意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+＝0；設(shè)x2﹣2x+＝0的兩根分別是m、n（m≥n）；則m+n＝2，mn＝；m﹣n＝＝；根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；∴，解得3＜k≤4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系定理．4．（2022?常熟市校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m﹣n2＝1，則代數(shù)式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．【分析】已知等式變形后代入原式，利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可確定出最小值．【解答】解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1，∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，則代數(shù)式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）5．（2022?雙峰縣一模）先化簡(jiǎn)，再