專(zhuān)題20平行線中的“拐點(diǎn)”模型問(wèn)題-原卷版+解析

專(zhuān)題20專(zhuān)項(xiàng)突破-平行線中的“拐點(diǎn)”模型問(wèn)題【思維導(dǎo)圖】◎【模型一：豬蹄模型】◎結(jié)論1：若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C【證明】過(guò)點(diǎn)O作OE//AB，如圖.∵AB∥CD,∴OE∥CD,∴∠B=∠1,∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠B+∠C即∠BOC=∠B＋∠C.◎結(jié)論2：若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.【證明】過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB，則∠B=∠1,∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠C∴∠C=∠2∴OE∥DC，又OE∥AB，∴AB∥CD.【例】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（

）A．70° B．65° C．35° D．50°2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)在上，，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【跟蹤訓(xùn)練】1．（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【變式訓(xùn)練】變式1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，，直線分別交，于點(diǎn)，．的平分線與的平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為．變式2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖①，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．◎【模型二：鉛筆頭模型】◎結(jié)論1：如圖所示，AB∥CD，則∠B+∠BOC+∠C=360°【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE//AB.∵AB∥CD,OE//AB//CD.∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.◎結(jié)論2：如圖所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，則AB∥CD.【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)O作EF//AB，則∠B＋∠1=180°∵∠B+∠BOC+∠C=360°,∴∠C+∠2=180°∴EF∥CD又∵EF//AB，∴AB//CD.“異形”鉛筆頭：拐點(diǎn)數(shù)n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐點(diǎn)數(shù)：1拐點(diǎn)數(shù)：2拐點(diǎn)數(shù)：n【例】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關(guān)系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α【變式訓(xùn)練】變式1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出、的度數(shù)，從而可求出的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出、、間的數(shù)量關(guān)系．變式2．（2022春·貴州黔南·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與探究：（1）問(wèn)題情境：如圖1，．求的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：如圖2，過(guò)P作，∴．∴．∵．∴．…………請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．（2）問(wèn)題探究：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問(wèn)題：如圖3，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．◎【模型三：鋸齒模型】◎結(jié)論如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)C作MN//AB，過(guò)點(diǎn)D作PQ//AB.∵AB//EF,∴AB//MN//PQ//EF.∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得證.鋸齒模型的變換解題思路拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型【例】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，點(diǎn)在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①如圖2，說(shuō)明成立的理由；②如圖3，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練】．1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】變式1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直線，A是上一點(diǎn)，B是上一點(diǎn)，直線和直線，交于點(diǎn)C和D，在直線CD上有一點(diǎn)P．（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索、、之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）變式2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若的平分線交線段于點(diǎn)，連接，若，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．變式3．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點(diǎn)C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？變式4．（2021春·浙江臺(tái)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知于點(diǎn)A，AE∥CD交于點(diǎn)E，且于點(diǎn)F．求證：．證明：∵于點(diǎn)A，于點(diǎn)F，（已知）∴．（垂直的定義）∴AD∥EF，（

）∴__________（

）∵AE∥CD，（已知）∴________．（兩直線平行，同位角相等）∵，∴．（等量代換）專(zhuān)題20專(zhuān)項(xiàng)突破-平行線中的“拐點(diǎn)”模型問(wèn)題【思維導(dǎo)圖】◎【模型一：豬蹄模型】◎結(jié)論1：若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C【證明】過(guò)點(diǎn)O作OE//AB，如圖.∵AB∥CD,∴OE∥CD,∴∠B=∠1,∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠B+∠C即∠BOC=∠B＋∠C.◎結(jié)論2：若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.【證明】過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB，則∠B=∠1,∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠C∴∠C=∠2∴OE∥DC，又OE∥AB，∴AB∥CD.【例】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（

）A．70° B．65° C．35° D．50°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)在上，，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點(diǎn)E在AC上的任意一點(diǎn)，∴AE無(wú)法判斷等于CE，∠BED無(wú)法判斷等于45°，故（1）、（4）錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【跟蹤訓(xùn)練】1．（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．【變式訓(xùn)練】變式1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，，直線分別交，于點(diǎn)，．的平分線與的平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）①利用基本結(jié)論求解即可；②利用基本結(jié)論，，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)作，，，，，平分，平分，，，，在中，，，；（2）解：①如圖2中，由題意，，平分，平分，，，故答案為：；②結(jié)論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．變式2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖①，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)；證明見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問(wèn)；（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問(wèn)；（3）分別過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)作、，然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】（1）解：如圖過(guò)點(diǎn)作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖過(guò)點(diǎn)作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如圖分別過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．◎【模型二：鉛筆頭模型】◎結(jié)論1：如圖所示，AB∥CD，則∠B+∠BOC+∠C=360°【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE//AB.∵AB∥CD,OE//AB//CD.∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.◎結(jié)論2：如圖所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，則AB∥CD.【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)O作EF//AB，則∠B＋∠1=180°∵∠B+∠BOC+∠C=360°,∴∠C+∠2=180°∴EF∥CD又∵EF//AB，∴AB//CD.“異形”鉛筆頭：拐點(diǎn)數(shù)n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐點(diǎn)數(shù)：1拐點(diǎn)數(shù)：2拐點(diǎn)數(shù)：n【例】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【詳解】解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故選：C．2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別過(guò)E點(diǎn),F點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關(guān)系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α【答案】B【分析】作CF//ED，利用平行線的性質(zhì)求得β與α，再判斷β與α的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】解：如圖，作CF//ED，

∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°=α，∵ED//CF，∴∠D+∠DCF=180°，∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°即∠B+∠C+∠D=360°=β，∴β＝2α．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟悉運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】變式1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出、的度數(shù)，從而可求出的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出、、間的數(shù)量關(guān)系．【答案】110；（1），理由見(jiàn)解析；（2）或，理由見(jiàn)解析【分析】小明的思路是：過(guò)P作，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得．（1）過(guò)P作交于E，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；（2）畫(huà)出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案．【詳解】解：小明的思路：如圖2，過(guò)P作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：110；（1），理由如下：如圖5，過(guò)P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）當(dāng)P在延長(zhǎng)線時(shí)，；理由：如圖6，過(guò)P作交于E，∵，∴，∴，，∴；當(dāng)P在之間時(shí)，．理由：如圖7，過(guò)P作交于E，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．變式2．（2022春·貴州黔南·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與探究：（1）問(wèn)題情境：如圖1，．求的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：如圖2，過(guò)P作，∴．∴．∵．∴．…………請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．（2）問(wèn)題探究：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問(wèn)題：如圖3，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）110°；（2），理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)P作PE//AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）過(guò)P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）過(guò)P作，∴，∴．∵，∴．∴，∴，∴．（2），如圖3，過(guò)P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．◎【模型三：鋸齒模型】◎結(jié)論如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)C作MN//AB，過(guò)點(diǎn)D作PQ//AB.∵AB//EF,∴AB//MN//PQ//EF.∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得證.鋸齒模型的變換解題思路拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型【例】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，點(diǎn)在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①如圖2，說(shuō)明成立的理由；②如圖3，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見(jiàn)解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【詳解】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．【跟蹤訓(xùn)練】．1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見(jiàn)解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見(jiàn)解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；（2）首先過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法．【變式訓(xùn)練】變式1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直線，A是上一點(diǎn)，B是上一點(diǎn)，直線和直線，交于點(diǎn)C和D，在直線CD上有一點(diǎn)P．（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索、、之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）【答案】（1）．理由見(jiàn)解析；（2）或．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作，即可得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）分當(dāng)P在AC的上方時(shí)和當(dāng)P在BD的下方時(shí)，兩種情況，利用平行線的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）．過(guò)點(diǎn)P作，如圖1所示．因?yàn)?，，所以，所以，，因?yàn)?，所以?）如圖當(dāng)P在AC的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，如圖2所示．因?yàn)椋?，所以，所以，，因?yàn)?，所以；如圖當(dāng)P在BD的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，如圖2所示．因?yàn)椋?，所以，所以，，因?yàn)?，所以；∴綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.變式2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若的平分線交線段于點(diǎn)，連接，若，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC