專題2全等三角形的常見(jiàn)模型及其構(gòu)造方法(原卷版+解析)

專題2全等三角形的常見(jiàn)模型及其構(gòu)造方法（原卷版）類型一一線三等角模型捕捉一線三等角模型1．（2023?南譙區(qū)校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DC上一點(diǎn)，AE＝EF，AE⊥EF，若BE＝3，矩形ABCD的周長(zhǎng)為26，則矩形ABCD的面積為．2．（2022秋?武漢期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，若DE＝8，BD＝2，求CE的長(zhǎng)．3．（2023春?榆林期末）如圖是一個(gè)工業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)局部的設(shè)計(jì)圖，河的同一側(cè)有兩個(gè)工廠A和B，AD、BC的長(zhǎng)表示兩個(gè)工廠到河岸的距離，其中E是進(jìn)水口，D、C為兩個(gè)排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，點(diǎn)D、E、C在同一直線上，AD＝150米，BC＝350米，求兩個(gè)排污口之間的水平距離DC．構(gòu)造一線三等角模型4．（2022秋?武漢期中）如圖，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，則△BCD的面積為（）A．8 B．12 C．14 D．165．（2023春?和平區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），把線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）6．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，直線l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、l3上，點(diǎn)A到直線l2的距離是3，點(diǎn)C到直線l2的距離是6，則正方形ABCD的面積為．?7．（2021秋?恩施市校級(jí)月考）如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD（D點(diǎn)在第四象限），過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OP﹣DE的值．

類型二手拉手模型捕捉手拉手模型8．（2023春?高碑店市校級(jí)月考）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于點(diǎn)M，關(guān)于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（）結(jié)論Ⅰ：AC＝BD；結(jié)論Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ對(duì)，Ⅱ錯(cuò) B．Ⅰ錯(cuò)，Ⅱ?qū)?C．1，Ⅱ都對(duì) D．Ⅰ，Ⅱ都錯(cuò)9．（2021秋?十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．（1）如圖1．若∠AOB＝∠COD＝40°．則AC與BD的數(shù)量關(guān)系為；∠AMB的度數(shù)為；（2）如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判斷AC與BD之間存在怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由；10．已知：在△ABD和△ACE中，AD＝AB，AC＝AE．（1）如圖1，若∠DAB＝∠CAE＝60°，求證：BE＝DC；（2）如圖2，若∠DAB＝∠CAE＝n°，求∠DOB的度數(shù)．

構(gòu)建手拉手模型11．（2021秋?恩施市校級(jí)期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)（1）如圖1，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF求證：△DEF為等腰直角三角形；（2）如圖1，若AB＝4，則四邊形AEDF的面積為（直接寫出結(jié)果）；（3）如圖2，若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，則△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．類型三半角模型12．已知：邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點(diǎn)．（1）若MN＝BM+ND，求證：∠MAN＝45°；（2）若△MNC得周長(zhǎng)為2，求∠MAN的度數(shù)．13．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．14．（2023春?連城縣期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠類型四倍長(zhǎng)中線模型15．（2020?黃陂區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若AC＝3，AD＝4．則AB的長(zhǎng)不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．916．（2020秋?通河縣期末）如圖所示，AD為△ABC中線，D為BC中點(diǎn)，AE＝AB，AF＝AC，連接EF，EF＝2AD．若△AEF的面積為3，則△ADC的面積為．類型五截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形17．閱讀：探究線段的和．差．倍．分關(guān)系是幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題，解決此類問(wèn)題通常會(huì)用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．（1）請(qǐng)完成下題的證明過(guò)程：如圖1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求證：AB+BD＝AC．證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE（2）如圖2，AD∥BC，EA，EB分別平分∠DAB，∠CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB＝AD+BC．類型六平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形18．如圖，AC∥BD，E為CD的中點(diǎn)，AE⊥BE（1）求證：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）線段AB、AC、BD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明．19．（2023春?博山區(qū)期末）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若BC＝5，AD＝10，BE=132，求?

專題2全等三角形的常見(jiàn)模型及其構(gòu)造方法（解析版）類型一一線三等角模型捕捉一線三等角模型1．（2023?南譙區(qū)校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DC上一點(diǎn)，AE＝EF，AE⊥EF，若BE＝3，矩形ABCD的周長(zhǎng)為26，則矩形ABCD的面積為40．【思路引領(lǐng)】由矩形的性質(zhì)得AB+BC＝13，再證△ABE≌△ECF（AAS），得AB＝EC，然后求出AB＝5，則BC＝8，即可解決問(wèn)題．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，∵矩形ABCD的周長(zhǎng)為26，∴AB+BC＝13，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△ABE和△ECF中，∠B=∠C∠BAE=∠CEF∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB＝EC，∵AB+BC＝13，∴AB+BE+EC＝13，∴AB+3+AB＝13，∴AB＝5，∴BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝5×8＝40，故答案為：40．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?武漢期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，若DE＝8，BD＝2，求CE的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】先根據(jù)角的加減求出∠ECA＝∠BAD，再根據(jù)AAS證明△BAD≌△ACE，再求出AD的值即可．解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（{AAS}），∴CE＝AD，AE＝BD＝2，∵DE＝8，∴AD＝DE﹣AE＝8﹣2＝6，∴CE＝AD＝6．【總結(jié)提升】本題考查了角的加減和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?榆林期末）如圖是一個(gè)工業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)局部的設(shè)計(jì)圖，河的同一側(cè)有兩個(gè)工廠A和B，AD、BC的長(zhǎng)表示兩個(gè)工廠到河岸的距離，其中E是進(jìn)水口，D、C為兩個(gè)排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，點(diǎn)D、E、C在同一直線上，AD＝150米，BC＝350米，求兩個(gè)排污口之間的水平距離DC．【思路引領(lǐng)】根據(jù)ASA證明△ADE與△ECB全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC，又∵AE＝BE，∴△ADE≌△ECB（ASA），∴AD＝CE，DE＝BC，又∵AD＝150米，BC＝350米，∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）．答：兩個(gè)排污口之間的水平距離DC為500米．【總結(jié)提升】此題考查全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)ASA證明△ADE與△ECB全等．構(gòu)造一線三等角模型4．（2022秋?武漢期中）如圖，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，則△BCD的面積為（）A．8 B．12 C．14 D．16【思路引領(lǐng)】由等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延長(zhǎng)線于F，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝4，∵∠EAB+∠ABE＝∠DBF+∠ABE＝90°，∴∠EAB＝∠DBF，∵∠AEB＝∠BFD＝90°，AB＝DB，∴△AEB≌△BFD（AAS），∴DF＝BE＝4，∴S△DCB=12CB?∴S△DCB=1故選：D．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．5．（2023春?和平區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），把線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，根據(jù)垂直定義可得∠CDB＝90°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠CBD+∠DCB＝90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CB＝BA，∠CBA＝90°，然后利用平角定義可得∠CBD+∠ABO＝90°，從而利用同角的余角相等可得∠ABO＝∠DCB，進(jìn)而可得△BOA≌△CDB，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，從而求出DO＝7，即可解答．解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，∴∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋轉(zhuǎn)得：CB＝BA，∠CBA＝90°，∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BOA≌△CDB（AAS），∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，∴DO＝DB+OB＝4+3＝7，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，7），故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，直線l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、l3上，點(diǎn)A到直線l2的距離是3，點(diǎn)C到直線l2的距離是6，則正方形ABCD的面積為45．?【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l2于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l2于點(diǎn)F，通過(guò)證明△ABE≌△BCF，得出BF＝AE，再由勾股定理即可得出結(jié)論．解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l2于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l2于點(diǎn)F，∴∠CBF+∠BCF＝90°，四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∵l1∥l2∥l3，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，∠AEB=∠BFC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BF＝AE，∴BF2+CF2＝BC2，∴BC2＝32+62＝45．故答案為：45．【總結(jié)提升】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形面積的求解方法，能夠熟練掌握．7．（2021秋?恩施市校級(jí)月考）如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD（D點(diǎn)在第四象限），過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OP﹣DE的值．【思路引領(lǐng)】（1）作CM⊥x軸于M，即可求CM和AM的值，證得△MAC≌△OBA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，則可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求OP﹣DE的值則將其放在同一直線上，過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，即是求PQ的值，由圖可求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的長(zhǎng)．解：（1）過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，如圖1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，∠CMA=∠AOB=90°∠MAC=∠OBA∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）；（2）過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，如圖2，∴OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，AOP=∠PQD=90°∠QPD=∠OAP∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型二手拉手模型捕捉手拉手模型8．（2023春?高碑店市校級(jí)月考）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于點(diǎn)M，關(guān)于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（）結(jié)論Ⅰ：AC＝BD；結(jié)論Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ對(duì)，Ⅱ錯(cuò) B．Ⅰ錯(cuò)，Ⅱ?qū)?C．1，Ⅱ都對(duì) D．Ⅰ，Ⅱ都錯(cuò)【思路引領(lǐng)】根據(jù)已知條件可知三角形的全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知邊相等，對(duì)應(yīng)的高相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出角的大?。猓骸摺螦OB＝∠COD＝108°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，故結(jié)論Ⅰ正確；∵△AOC≌△BOD，∴∠OCE＝∠MDO，∴∠MDC＝∠MDO+∠ODC，∴∠OCD＝∠OCE+∠MCD，∵∠COD＝180°﹣（∠OCD+∠ODC），∠CMD＝180°﹣（∠MDC+∠MCD），∴∠CMD＝180°﹣（∠MDO+∠ODC+∠MCD），∠COD＝180°﹣（∠OCE+∠MCD+∠ODC），∴∠CMD＝∠COD，故結(jié)論Ⅱ錯(cuò)誤．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形對(duì)應(yīng)性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．（1）如圖1．若∠AOB＝∠COD＝40°．則AC與BD的數(shù)量關(guān)系為AC＝BD；∠AMB的度數(shù)為40°；（2）如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判斷AC與BD之間存在怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由；【思路引領(lǐng)】（1）①先證明：∠BOD＝∠AOC，再證明△BOD≌△AOC（SAS），即可得AC＝BD；②由△BOD≌△AOC及三角形內(nèi)角和定理即可求得∠AMB＝40°；（2）①證明△BOD≌△AOC（SAS）即可得BD＝AC，②根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得∠AMB；解：（1）∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，OB=OA∠BOD=∠AOC∴△BOD≌△AOC（SAS），∴AC＝BD；∠OBD＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，∴∠MAB+ABM＝140°，∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，∴∠AMB＝40°，故答案為：AC＝BD，40°；（2）AC＝BD，AC⊥BD，理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，OB=OA∠BOD=∠AOC∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC，∠OBD＝∠OAC，又∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，∴∠MAB+∠MBA＝90°，又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°，∴AC⊥BD；【總結(jié)提升】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等．熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．已知：在△ABD和△ACE中，AD＝AB，AC＝AE．（1）如圖1，若∠DAB＝∠CAE＝60°，求證：BE＝DC；（2）如圖2，若∠DAB＝∠CAE＝n°，求∠DOB的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）通過(guò)證明△ADC≌△ABE，利用全等三角形的性質(zhì)即可得到DC＝BE；（2）同理可證明△ADC≌△ABE，利用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角之間的關(guān)系即可求出∠DOB的度數(shù)．證明：（1）∵∠DAB＝∠CAE∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABE，∴DC＝BE，（2）同理得：△ADC≌△ABE，∴∠ADC＝∠ABE，又∵∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠OBD，＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD﹣∠ADC，＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD，∴∠DOB＝∠DAB＝n°．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角之間的數(shù)量關(guān)系，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．構(gòu)建手拉手模型11．（2021秋?恩施市校級(jí)期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)（1）如圖1，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF求證：△DEF為等腰直角三角形；（2）如圖1，若AB＝4，則四邊形AEDF的面積為（直接寫出結(jié)果）；（3）如圖2，若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，則△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）4；（3）仍為等腰直角三角形；理由見(jiàn)解答．【思路引領(lǐng)】（1）題要通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解．連接AD，可通過(guò)證△ADF和△BDE全等來(lái)求本題的結(jié)論．（2）題可把將四邊形AEDF的面積分成△ADF和ADE的面積和求解，由（1）證得△ADF和△BDE全等，因此四邊形AEDF的面積可轉(zhuǎn)化為△ABD的面積，由此得證．（3）與（1）題的思路和解法一樣．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，∴AD=BC2=BD且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，BD=AD∠B=∠DAF=45°∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即：∠EDF＝90°，∴△EDF為等腰直角三角形．（2）解：∵由（1）可知，△AFD≌△BED，∴S△BDE＝S△ADF，而S四邊形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD，∵AB＝4，∴AD＝BD＝22，∴S四邊形AEDF=1故答案為：4．（3）解：仍為等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED，∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，∵∠ADF+∠FDB＝90°，∴∠BDE+∠FDB＝90°，即：∠EDF＝90°，∴△EDF為等腰直角三角形．【總結(jié)提升】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．類型三半角模型12．已知：邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點(diǎn)．（1）若MN＝BM+ND，求證：∠MAN＝45°；（2）若△MNC得周長(zhǎng)為2，求∠MAN的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）延長(zhǎng)CB到E，使BE＝DN，連接AE，因?yàn)椤螪＝∠B，AD＝AB，DN＝BE，所以△ABM≌△ADN，則有∠BAM＝∠DAN，AN＝AE，又因?yàn)镸N＝BM+DN，BM＝DN，所以△AEM≌△ANM，故∠EAM＝∠NAM＝∠EAN＝90°，即∠MAN＝45°；（2）延長(zhǎng)CB至E，使BE＝DN，則Rt△ABE≌Rt△AND，故AE＝AN，進(jìn)而求證△AMN≌△AME，即可求得∠MAN＝∠MAE＝45°．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)CB到E，使BE＝DN，連接AE，∵∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，DN＝BE，∴∠ABE＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADN．∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，∵M(jìn)N＝BM+ND＝BM+BE＝ME，AM＝AM，∴△AME≌△AMN（SSS），∴∠EAM＝∠NAM．∴∠MAN＝∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM，∵∠EAN＝90°，∴∠MAN＝45°．（2）解：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使BE＝DN，連接AE，∵∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，DN＝BE，∴∠ABE＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADN．∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，∴∠EAN＝∠DAB＝90°，又MN＝2﹣CN﹣CM＝DN+BM＝BE+BM＝ME，∴△AMN≌△AME，∴∠MAN＝∠MAE＝45°．【總結(jié)提升】此題把全等三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合求解，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．13．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【思路引領(lǐng)】當(dāng)PM⊥OA時(shí)，由四邊形內(nèi)角和為360°可得PN⊥OB，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得PM、PN的關(guān)系；當(dāng)PM與OA不垂直時(shí)，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE＝PF，結(jié)合OP＝OP即可證明Rt△POE≌Rt△POF．根據(jù)圖中各角的數(shù)量關(guān)系可得∠MPE＝∠NPF；接下來(lái)，證明△PEM≌△PFN即可得到結(jié)論，據(jù)此解答．解：猜想PM、PN的數(shù)量關(guān)系是PM＝PN．理由：①當(dāng)PM⊥OA時(shí)，在四邊形OMPN中易得PN⊥OB．又點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∴PM＝PN．②當(dāng)PM與OA不垂直時(shí)，如圖，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°．∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN．∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF．在△PEM和△PFN中，∠MPE＝∠NPF，PE＝PF，∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PM＝PN．【總結(jié)提升】本題側(cè)重考查全等三角形的題目，需結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)解答．14．（2023春?連城縣期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是EF＝BE+FD（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠【思路引領(lǐng)】（1）延長(zhǎng)CB至G，使BG＝DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再證明△GAE≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝EG，結(jié)合圖形計(jì)算，證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM，仿照（1）的證明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，連接AH，仿照（1）的證明方法解答．解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如圖1，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D=90°∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF=12∠∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，AG=AF∠GAE=∠FAE∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF=12∠∴∠3+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，AM=AF∠MAE=∠FAE∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如圖3，在EB上截取BH＝DF，連接AH，同（2）中證法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，AH=AF∠HAE=∠FAE∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EH，∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【總結(jié)提升】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理、靈活運(yùn)用類比思想是解題的關(guān)鍵．類型四倍長(zhǎng)中線模型15．（2020?黃陂區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若AC＝3，AD＝4．則AB的長(zhǎng)不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9【思路引領(lǐng)】延長(zhǎng)AD至H，使AD＝DH＝4，連接BH，由“SAS”可證△ADC≌△HDB，可得AC＝BH＝3，由三角形的三邊關(guān)系可求解．解：如圖，延長(zhǎng)AD至H，使AD＝DH＝4，連接BH，則AH＝8，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△ADC和△HDB中，AD=DH∠ADC=∠HDB∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH＝3，在△ABH中，AH﹣BH＜AB＜AH+BH，∴5＜AB＜11，∴AB的長(zhǎng)不可能是5，故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2020秋?通河縣期末）如圖所示，AD為△ABC中線，D為BC中點(diǎn)，AE＝AB，AF＝AC，連接EF，EF＝2AD．若△AEF的面積為3，則△ADC的面積為1.5．【思路引領(lǐng)】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG，利用線段中點(diǎn)的定義可得△ADC的面積＝△ADB的面積，BD＝DC，再利用倍長(zhǎng)中線模型證明△ADC≌△GDB，從而可得△ADC的面積＝△BDG的面積，BG＝AC，再結(jié)合已知易得BG＝AF，EF＝AG，然后利用SSS證明△AEF≌△BGA，從而可得△AEF的面積＝△ABG的面積＝3，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG，∵D為BC中點(diǎn)，∴△ADC的面積＝△ADB的面積，BD＝DC，∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴△ADC的面積＝△BDG的面積，BG＝AC，∵AC＝AF，∴BG＝AF，∵EF＝2AD，AG＝2AD，∴EF＝AG，∵AE＝AB，∴△AEF≌△BGA（SSS），∴△AEF的面積＝△ABG的面積＝3，∴△ADC的面積＝△BDG的面積＝△ABD的面積=12△故答案為：1.5．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．類型五截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形17．閱讀：探究線段的和．差．倍．分關(guān)系是幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題，解決此類問(wèn)題通常會(huì)用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．（1）請(qǐng)完成下題的證明過(guò)程：如圖1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求證：AB+BD＝AC．證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE（2）如圖2，AD∥BC，EA，EB分別平分∠DAB，∠CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB＝AD+BC．【思路引領(lǐng)】（1）在AC上截取AE＝AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再證明ED＝EC即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)知AE＝FE，再證明△ADE≌△FCE即可解決本題．證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE，如圖1：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，AE=AB∠BAD=∠DAC∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B