專題09與圓有關(guān)的綜合壓軸題(原卷版+解析)

專題9與圓有關(guān)的綜合壓軸題題型一：圓與三角函數(shù)相似的結(jié)合【例1】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F．（1）求證：DO∥AC；（2）求證：DE?DA＝DC2；（3）若tan∠CAD=12，求sin【例2】已知，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接，連接交于點(diǎn)．求證：為的切線．（2）求證：（3）若，，求的長(zhǎng)度．【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)E在圓外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．求證：AE是⊙O的切線；（2）求證：△BOD∽△EOB；（3）設(shè)△BOD的面積為S1，△BCF的面積為S2，若tan∠ODB=53，求題型二：圓與三角形、四邊形的綜合【例1】如圖，內(nèi)接于中，弦BC交AD于點(diǎn)E，連接CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，BG交于點(diǎn)H，．(1)如圖1，求證：DB平分；(2)如圖2，于點(diǎn)N，CN＝CG，求證：AN＝HG；(3)如圖3．在（2）的條件下，點(diǎn)F在AE上，連接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的長(zhǎng)．【例2】如圖，在△ABC中，，D為邊BC上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，以DE為直徑的⊙O分別交線段BD，AD于點(diǎn)F，G，連結(jié)EF，EG．(1)求證：．(2)若，當(dāng)DG與四邊形DGEF其它三邊中的一邊相等時(shí)，求所有滿足條件的BD的長(zhǎng)．(3)當(dāng)時(shí)，連結(jié)OC交AD于點(diǎn)H，記△DOH的面積為，△ACH的面積為，若，則的值為．（在橫線上直接寫出答案）【例3】．在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD．(1)如圖1，已知AB⊥AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E．若AD＝7，CE＝4，求AE的長(zhǎng)度：(2)如圖2，當(dāng)∠B＝45°，AC＝AD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接DF，求證：DC＝．(3)如圖3，當(dāng)∠B＝45°，AC＝12，點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，當(dāng)線段DN取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【例4】(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面內(nèi)，已知⊙A的半徑為r，B為⊙A外一點(diǎn)，且AB＝a，P為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，易得PB的最大值為，最小值為；（用含a，r的代數(shù)式表示）(2)應(yīng)用：①如圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E為AD邊中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)沿EF將△AEF翻折得到△PEF，連接PB，則PB的最小值為；②如圖3，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，分別以PA、PB為直角邊，P為直角頂點(diǎn)，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，連接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；(3)拓展：如圖4，已知以AB為直徑的半圓O，C為弧AB上一點(diǎn)，∠ABC＝60°，P為弧BC上任意一點(diǎn)，CD⊥CP交AP于D，連接BD，若AB＝6，則BD的最小值為．題型三：瓜豆原理【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半徑為2，P為⊙A上任意一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，則OE的最小值是（）A．1 B．32 C．2 D．【例2】如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點(diǎn)D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，則線段BE的最大值與最小值之和為．【例3】如圖，直線y=34x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上動(dòng)點(diǎn)，△ABP面積的最大值為cm【例4】如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是．【例5】如圖，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段CD中點(diǎn)，則線段AM的取值范圍為．課后作業(yè):1、如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，P是DE上一點(diǎn)，∠BPC＝90°，延長(zhǎng)CP交AD于點(diǎn)F．⊙O經(jīng)過(guò)P、D、F，交CD于點(diǎn)G．（1）求證DF＝DP；（2）若AB＝12，BC＝10，求DG的長(zhǎng)；（3）連接BF，若BF是⊙O的切線，直接寫出ABBC2、（2021?泰安中考）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且＝．連接AC并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：CD＝ED；（2）AD與OC，BC分別交于點(diǎn)F，H．①若CF＝CH，如圖2，求證：CF?AF＝FO?AH；②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．3、（2021?寧波中考）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為直徑，上存在點(diǎn)E，滿足＝，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BE與AD交于點(diǎn)G．（1）若∠DBC＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠AGB．（2）如圖2，連結(jié)CE，CE＝BG．求證：EF＝DG．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)CG，AD＝2．①若tan∠ADB＝，求△FGD的周長(zhǎng)．②求CG的最小值．4．如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點(diǎn)E，連接PE交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CF的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點(diǎn)N在⊙O的內(nèi)部，直接寫出t的取值范圍．5．為了解決一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們常常采用從特殊到一般的思想，先從特殊的情形入手，從中找到解決問(wèn)題的方法．已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E．【特殊情形】(1)如圖①，，過(guò)圓心O作，垂足為F．當(dāng)BD是圓O的直徑時(shí)，求證：．【一般情形】(2)如圖②，，過(guò)圓心O作，垂足為F．當(dāng)BD不是圓O的直徑時(shí)，求證：．【經(jīng)驗(yàn)遷移】(3)如圖③，，，F(xiàn)為上的一點(diǎn)，，若M為DF的中點(diǎn)，連接AM，則AM長(zhǎng)的最小值為___________．6．如圖，在四邊形ABCD中，連接BD，AD＝BD＝CD＝4，∠BDC＝120°，E為AB的中點(diǎn)，則線段CE的最大值為．2+27專題9與圓有關(guān)的綜合壓軸題題型一：圓與三角函數(shù)相似的結(jié)合【例1】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F．（1）求證：DO∥AC；（2）求證：DE?DA＝DC2；（3）若tan∠CAD=1【答案】見解析【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵CD=BD，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD（3）∵tan∠CAD=1∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE=DE而CD2＝DE?DA，則AD＝4a，∴AE＝3a，∴AEDE即△AEC和△DEF的相似比為3，設(shè)：EF＝k，則CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD=1∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA=3【例2】已知，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接，連接交于點(diǎn)．求證：為的切線．（2）求證：（3）若，，求的長(zhǎng)度．【答案】見解析【解析】（1）證明：如圖，連接，平分，，，，，，∴，，∴，，又∵為的半徑，∴為的切線；（2）證明：如圖，連接，為的直徑，，，，∵，，又，；（3）解：設(shè)圓的半徑為，則，，在中，，即，解得：，，，在中，，∵，∴，．，，∴，．【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)E在圓外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．求證：AE是⊙O的切線；（2）求證：△BOD∽△EOB；（3）設(shè)△BOD的面積為S1，△BCF的面積為S2，若tan∠ODB=53，求【答案】見解析【解析】（1）∵∠BFC＝∠AED，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BFC＝∠BAC，∴∠AED＝∠BAC，∵OE⊥AC于D，∴∠ADE＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴AE是⊙O的切線；（2）∵AD⊥OE，∴∠OAE＝∠ODA＝90°，∵∠AED＝∠OAD，∴△AOD∽△EOA，∴OAOE=ODOA，∴OA2＝OD×OE，∵OB＝OA，∴OB又∵∠BOD＝∠EOB，∴△BOD∽△EOB；（3）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥AC于D，∴OE∥BC，∴∠ODB＝∠DBC，∴在直角三角形BCD中，tan∠ODB＝tan∠DBC=DCBC=∴BD=14∵∠BAC＝∠BFC，∴△ABD∽△FBC，∴S△ABDS2=（BDBC）2＝（∴S△ABD＝2S1，∴S1題型二：圓與三角形、四邊形的綜合【例1】如圖，內(nèi)接于中，弦BC交AD于點(diǎn)E，連接CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，BG交于點(diǎn)H，．(1)如圖1，求證：DB平分；(2)如圖2，于點(diǎn)N，CN＝CG，求證：AN＝HG；(3)如圖3．在（2）的條件下，點(diǎn)F在AE上，連接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的長(zhǎng)．【答案】見解析【解析】（1）解：∵∠ABC=∠ADC，∠ABC=2∠GBD，∴∠ADC=2∠GBD，∵BG⊥CG，∴∠G=90°，∴∠GBD+∠GDB=90°，∵∠GDB+∠BDE+∠ADC=180°，∴∠GDB+∠BDE+2∠GBD=180°，∴∠BDE+∠GBD=90°，∴∠BDE=∠GDB，∴BD是∠GDE是平分線；（2）解：如圖所示，連接CH，CA，∵四邊形ABHC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BAC+∠BHC=180°，又∵∠BHC+∠CHG=180°，∴∠CHG=∠CAN，∵CG⊥BG，CN⊥AB，∴∠CGH=∠CNA=90°，又∵CG=CN，∴△CGH≌△CNA（AAS），∴GH=AN；（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥BF分別交BC于R，BF于K，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DK于M，連接CH，AC，∵DK⊥BF，CM⊥DK，CF⊥BF，∴四邊形CFKM是矩形，∴CM=FK，CF=KM；∵∠ABC=2∠GBD=∠GBD+∠CBD，∴∠ABC=2∠GBD=2∠CBD=∠CBG，設(shè)∠GBD=∠CBD=x，則∠ABC=∠CBG=2x，∴∠BCG=90°-∠CBG=90°-2x=∠BAD，∠BCN=90°-∠CBN=90°-2x，∴∠BAD+∠ABC=90°，∴∠AEB=90°，∴∠EBF+∠EFB=90°，∵∠BCN=2∠CBF，∴∠CBF=45°-x，∴∠DBK=∠CBD+∠CBF=45°，又∵∠DKB=∠DKF=90°，∴∠KBD=∠KDB=45°，∠DFK+∠FDK=90°，∴BK=DK，∠KDF=∠EBF，∴△KDF≌△EBF（ASA）∴RK=KF=CM；∵∠CRM=∠BRK=90°-∠RBK=45°+x，∴∠RCM=90°-∠CRM=45°-x，∴∠DCM=∠BCD-∠RCM=45°-x，∴∠RCM=∠DCM，又∵CM⊥DR，∴∠CMD=∠CMR，∵CM=CM，∴△CMD≌△CMR（ASA），∴DM=MR，設(shè)DM=MR=a，RK=MC=KF=b，∴MK=CF=MK+RK=a+b，BK=DK=DM+MR+RK=2a+b，∴BF=BK+KF=2a+2b，∴BF=2CF，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，由（2）可知△CGH≌△CAN，∴∠ACN=∠GCH=∠GBD=x，∴∠BCA=∠BCN+∠∠CAN=90°-x，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=90°-x，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC=5，∴．【例2】如圖，在△ABC中，，D為邊BC上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，以DE為直徑的⊙O分別交線段BD，AD于點(diǎn)F，G，連結(jié)EF，EG．(1)求證：．(2)若，當(dāng)DG與四邊形DGEF其它三邊中的一邊相等時(shí)，求所有滿足條件的BD的長(zhǎng)．(3)當(dāng)時(shí)，連結(jié)OC交AD于點(diǎn)H，記△DOH的面積為，△ACH的面積為，若，則的值為．（在橫線上直接寫出答案）【答案】(1)證明過(guò)程見解析；(2)BD=或或8；(3)．【解析】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠EDF+∠B=90°，∵∠=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∴∠EDF=∠BAC，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DFE=90°，∴∠EFD=∠C，∴△DEF∽△ABC；（2）當(dāng)DG=DF時(shí)，，∴∠FED=∠DEG，∵DE是⊙O的直徑，∴∠EFD=∠EGD=90°，∴∠EDF=∠EDA，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，在Rt△ACD中，∵CD2+AC2=AD2，∴（8-BD）2+62=BD2，∴BD=，當(dāng)DG=EG時(shí)，∵∠EGD=90°，∴∠EDG=∠DEG=45°，∵∠AED=90°，∴∠BAD=90°-∠EDG=45°，∴DE=AE，∵∠B=∠B，∠BED=∠ACB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，∴，∴BE=DE∵BE+AE=10，∴DE+DE＝10，∴DE=，∴，∴BD=，當(dāng)DG=EF時(shí)，∴，，∴∠EDF=∠DEG，∵∠EFD=∠EGD=90°，∴∠FED=∠EDG，∴EF∥DG，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴?EFDG是矩形，∴∠FDG=90°，∵∠C=90°，∴此時(shí)點(diǎn)D和C重合，∴BD=8，綜上所述：BD=或或8；（3）如圖，作OV⊥BC于V，∴∠OVC=90°，∠EGD=90°，∴∠AHC=90°，∴∠DAC+∠ACH=90°，∵∠ACB=90°，∴∠OCV+∠ACH=90°，∴∠OCV=∠DAC，∵∠ONC=∠ACD=90°，∴△OCV∽△DAC，∴，設(shè)CD=a，AC=BC=b，在等腰直角三角形BDE中，DE=BD＝(b?a)，∴OD=DE=(b?a)，在等腰直角三角形DOV中，OV=DV=OD=(b?a)，∴VC=VD+CD=(b?a)+a=b+a，∴，∴b=3a，∴AC=3a，OV=(3a?a)=a，∴tan∠OCV=tan∠DAC=，∴sin∠OVC=sin∠DAC=，cos∠OVC=cos∠DAC=，∵S△COD=CD?OV=a?a=a2，∴DH=a?sin∠OCV=a，CH=a，AH=a，∴，，∴，∴，故答案是：．【例3】．在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD．(1)如圖1，已知AB⊥AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E．若AD＝7，CE＝4，求AE的長(zhǎng)度：(2)如圖2，當(dāng)∠B＝45°，AC＝AD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接DF，求證：DC＝．(3)如圖3，當(dāng)∠B＝45°，AC＝12，點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，當(dāng)線段DN取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)6(2)證明見解析(3)【解析】(1)解：∵AB⊥AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)∴是斜邊的中線∴∵CE⊥AD∴在中，由勾股定理得∴∴的長(zhǎng)為6．(2)證明：如圖2，作于，于∵∴，設(shè)則，∴∵∴，∴，∴在和中∵∴∴∴∵，∴∴．(3)解：如圖3，以為斜邊作等腰直角三角形，∴∵∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)連接∵為中點(diǎn)∴∴在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心為∵∴當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，線段取最大值∵，∴，，∴在中，由勾股定理得∴的值為．【例4】(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面內(nèi)，已知⊙A的半徑為r，B為⊙A外一點(diǎn)，且AB＝a，P為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，易得PB的最大值為，最小值為；（用含a，r的代數(shù)式表示）(2)應(yīng)用：①如圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E為AD邊中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)沿EF將△AEF翻折得到△PEF，連接PB，則PB的最小值為；②如圖3，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，分別以PA、PB為直角邊，P為直角頂點(diǎn)，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，連接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；(3)拓展：如圖4，已知以AB為直徑的半圓O，C為弧AB上一點(diǎn)，∠ABC＝60°，P為弧BC上任意一點(diǎn)，CD⊥CP交AP于D，連接BD，若AB＝6，則BD的最小值為．【答案】(1)a+r，a﹣r(2)①2﹣2②13(3)3﹣3【解析】（1）解：（1）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，PB最大，如圖：∴PB最大為：AB+PA＝a+r，當(dāng)P在線段BA上時(shí)，PB最小，如圖：∴PB最小為：AB﹣PA＝a﹣r，①如圖：∵沿EF將△AEF翻折得到△PEF，∴EA＝EP＝AD＝BC＝2，即P的軌跡是以E為圓心，以2為半徑的半圓，∴當(dāng)E、P、B共線時(shí)，PB最小，此時(shí)BE＝＝＝2，∴PB最小值為：BE﹣EP＝2﹣2；②連接BC，如圖：∵△APC和△BPD是等腰直角三角形，∴PD＝PB，PA＝PC，∠DPB＝∠APC，∴∠DPB+∠APB＝∠APC+∠APB，即∠DPA＝∠BPC，∴△DPA≌△BPC（SAS），∴AD＝BC，∴當(dāng)BC最大時(shí)，AD就最大，∵AP＝3，△APC是等腰直角三角形，∴AC＝AP＝6，∵AB＝7，∴當(dāng)C、A、B共線時(shí)，BC最大，如圖：∴此時(shí)BC＝AC+AB＝13，∴AD最大為13；以AC為邊，在△ABC異側(cè)作等邊△GAC，連接GD、GB，如圖：∵AB為半圓O的直徑，∠ABC＝60°，∴∠ACB＝90°，∠APC＝∠ABC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴AC＝AB?cos30°＝3，∵CD⊥CP，∴∠ADC＝∠DCP+∠APC＝150°，∵△GAC是等邊三角形，∴∠AGC＝∠GAC＝60°，GA＝AC＝3，∴∠ADC+∠AGC＝180°，即D的軌跡是以G為圓心，3為半徑的，而∠GAB＝∠GAC+∠CAB＝90°，∴BG＝＝＝3，△BGD中，BD＞BG﹣GD，∴BD＞3﹣3，∴當(dāng)G、D、B共線時(shí)，BD最小，如圖∴BD最小值為3﹣3，故答案為：3﹣3．題型三：瓜豆原理【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半徑為2，P為⊙A上任意一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，則OE的最小值是（）A．1 B．32 C．2 D．【答案】B【解析】如圖，連接AC，取AC的中點(diǎn)H，連接EH，OH．∵CE＝EP，CH＝AH，∴EH=12PA＝∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以H為圓心半徑為1的圓，∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH=22∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，所以選：B．【例2】如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點(diǎn)D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，則線段BE的最大值與最小值之和為．【答案】23【解析】延長(zhǎng)CB到T，使得BT＝BC，連接AT，DT，AD．∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，∴∠CAT＝90°，∴AT＝CT?sin60°＝23，∵AD＝1，∴23?1≤DT≤23+∵CB＝BT，CE＝DE，∴BE=12∴23?12∴線段BE的最大值與最小值之和為23，所以答案為23．【例3】如圖，直線y=34x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上動(dòng)點(diǎn)，△ABP面積的最大值為cm【答案】11【解析】如圖，∵直線y=34x+3與坐標(biāo)軸交于A、∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，AB＝5，∵△PAB中，AB＝5是定值，∴要使△PAB的面積最大，即⊙O上的點(diǎn)到AB的距離最大，∴過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于P，此時(shí)S△PAB的面積最大，∴S△AOB=12OA?OB=12AB?OC∵⊙O的半徑為2，∴CP＝OC+OP=225，∴S△PAB=12AB?CP=12×5【例4】如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是．【答案】32≤OP【解析】如圖，在y軸上取點(diǎn)B'（0，﹣3），連接B'C，B'A，∵點(diǎn)B（0，3），B'（0，﹣3），點(diǎn)A（4，0），∴OB＝OB'＝3，OA＝4，∴B'A=OA∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴BP＝PC，∵OB＝OB'，BP＝PC，∴B'C＝2OP，當(dāng)點(diǎn)C在線段B'A上時(shí)，B'C的長(zhǎng)度最小值＝5﹣2＝3，當(dāng)點(diǎn)C在線段B'A的延長(zhǎng)線上時(shí)，B'C的長(zhǎng)度最大值＝5+2＝7，∴32≤OP≤72，所以答案為【例5】如圖，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段CD中點(diǎn)，則線段AM的取值范圍為．【答案】22?1≤AM≤22【解析】如圖1，連接BD，取BD的中點(diǎn)N，連接AN．MN，∵點(diǎn)M為線段CD中點(diǎn)，∴MN是△BCD的中位線，∴MN=12BC=12∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝4．∴BD=AB2又∵點(diǎn)N為BD的中點(diǎn)，∴AN=12BD＝2（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，N，M不共線時(shí)，由三角形的三邊關(guān)系得：AN﹣MN＜AM＜AN+MN即22?1＜AM＜22+（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，N，M共線，且點(diǎn)N位于點(diǎn)A，M中間時(shí)，則AM＝AN+MN＝22+1（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)A，N，M共線，且點(diǎn)M位于點(diǎn)A，N中間時(shí)，則AM＝AN﹣MN＝22?1綜上，線段AM的取值范圍為22?1≤AM≤22+解法二：倍長(zhǎng)DA到F，得到AM等于二分之一CF，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BC＝2為半徑的圓，同時(shí)當(dāng)FC經(jīng)過(guò)圓心B的時(shí)候，F(xiàn)C1是最大，也就是AM最大，F(xiàn)C2最小也就是AM最小，∵點(diǎn)M為線段CD中點(diǎn)，AF＝AD，∴AM=12FC，AF＝AD＝AB＝∵∠BAD＝90°，∴BF＝42，當(dāng)FC經(jīng)過(guò)圓心B的時(shí)候，F(xiàn)C1是最大為42+2，也就是AM最大，AM＝22+FC2最小也就是AM最小為42?2，也就是AM最小，AM＝22?∴線段AM的取值范圍為22?1≤AM≤22+1，所以答案為：22?1≤AM≤2課后作業(yè):1、如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，P是DE上一點(diǎn)，∠BPC＝90°，延長(zhǎng)CP交AD于點(diǎn)F．⊙O經(jīng)過(guò)P、D、F，交CD于點(diǎn)G．（1）求證DF＝DP；（2）若AB＝12，BC＝10，求DG的長(zhǎng)；（3）連接BF，若BF是⊙O的切線，直接寫出ABBC【答案】見解析【解析】證明：（1）∵∠BPC＝90°，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，∴BE＝EC＝PE，∴∠EPC＝∠ECP，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DFP＝∠ECP，∴∠DFP＝∠EPC＝∠DPF，∴DF＝DP；（2）連接FG，∵∠ADC＝90°，∴FG是直徑，∵BE＝EC＝PE=12BC＝5，∴DE∴DP＝DE﹣EP＝13﹣5＝8＝DF，∵∠DGF＝∠DPF＝∠DFP，∠FDG＝∠FDC＝90°，∴△FDG∽△CDF，∴DFDG=DCDF，∴（3）如圖2，連接BF，F(xiàn)G，PG，∵FG是直徑，∴∠FPG＝90°，∴∠FPG+∠BPF＝180°，∴點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)G三點(diǎn)共線，∵BF是⊙O切線，∴∠BFG＝90°，∴∠AFB+∠DFG＝90°，∵∠DFG+∠DGF＝90°，∴∠DGF＝∠AFB，又∵∠A＝∠FDG，∴△AFB∽△DGF，∴AFDG由（2）可得△FDG∽△CDF，∴DFDG=DC又∵AB＝CD，∠A＝∠FDC，∴△ABF≌△DCF（ASA）∴AF＝DF=1∵∠CBG+∠PCB＝90°，∠PCB+∠PCG＝90°，∴∠GBC＝∠PCG＝∠DFG，又∵∠FDC＝∠GCB＝90°，∴△CBG∽△DFG，∴DFBC=DGCG=1∴ABBC2、（2021?泰安中考）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且＝．連接AC并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：CD＝ED；（2）AD與OC，BC分別交于點(diǎn)F，H．①若CF＝CH，如圖2，求證：CF?AF＝FO?AH；②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．【答案】見解析【解析】（1）證明：如圖1中，連接BC．∵＝，∴∠DCB＝∠DBC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝ED．（2）①證明：如圖2中，∵CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF，∵∠AFO＝∠CFH，∴∠AFO＝∠CHF，∵＝，∴∠CAD＝∠BAD，∴△AFO∽△AHC，∴＝，∴＝，∴CF?AF＝OF?AH．②解：如圖3中，連接OD交BC于G．設(shè)OG＝x，則DG＝2﹣x．∵＝，∴∠COD＝∠BOD，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，CG＝BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，則有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，∴x＝，即OG＝，∵OA＝OB，∴OG是△ABC的中位線，∴OG＝AC，∴AC＝．3、（2021?寧波中考）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為直徑，上存在點(diǎn)E，滿足＝，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BE與AD交于點(diǎn)G．（1）若∠DBC＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠AGB．（2）如圖2，連結(jié)CE，CE＝BG．求證：EF＝DG．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)CG，AD＝2．①若tan∠ADB＝，求△FGD的周長(zhǎng)．②求CG的最小值．【答案】見解析【解析】解：（1）∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠ABG＝∠DBC＝α，∴∠AGB＝90°﹣α；（2）∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BEC＝∠AGB，∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，∴∠CEF＝∠BGD，又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，∴△CFE≌△BDG（ASA），∴EF＝DG；（3）①如圖，連接DE，∵BD為⊙O的直徑，∴∠A＝∠BED＝90°，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，∴AB＝×AD＝，∵＝，∴+＝+，即＝，∴AD＝CE，∵CE＝BG，∴BG＝AD＝2，∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝＝，∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，∴EG＝DG＝，DE＝DG＝，在Rt△FED中，DF＝＝，∴FG+DG+DF＝，∴△FGD的周長(zhǎng)為；②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BF于H，∵△BDG≌△CFE，∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，∵∠BAD＝∠CHF＝90°，∴△BAD≌△CHF（AAS），∴FH＝AD，∵AD＝BG，∴FH＝BG，∵∠BCF＝90°，∴∠BCH+∠HCF＝90°，∵∠BCH+∠HBC＝90°，∴∠HCF＝∠HBC，∵∠BHC＝∠CHF＝90°，∴△BHC∽△CHF，∴＝，設(shè)GH＝x，∴BH＝2﹣x，∴CH2＝2（2﹣x），在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，當(dāng)x＝1時(shí)，CG2的最小值為3，∴CG的最小值為．4．如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點(diǎn)E，連接PE交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CF的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點(diǎn)N在⊙O的內(nèi)部，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)60°(2)①⊙O與CD相切；②(3)CF的最大值為3cm，此時(shí)AC⊥PE(4)當(dāng)0<t<1時(shí)或17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；【解析】（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案為：60°．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，⊙O與AD相切，①∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=CD，∵⊙O與AD相切，∴⊙O與CD相切；②連接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分別與⊙