2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十：圖形旋轉(zhuǎn)引起的類比探究綜合題(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十：圖形旋轉(zhuǎn)引起的類比探究綜合題方法點睛解決圖形旋轉(zhuǎn)引起的類比探究題的一般思路：對于圖形旋轉(zhuǎn)型試題，要注意用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形旋轉(zhuǎn)的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變的量，不變的關(guān)系，善于動中取靜，與特殊圖形（特殊位置、特殊圖形）探索結(jié)論，有一般情形驗證結(jié)論，綜合運用各種相關(guān)知識及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想來解決問題.典例分析例1：（2022沈陽中考）（1）如圖，和是等腰直角三角形，，點C在OA上，點D在線段BO延長線上，連接AD，BC．線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，將圖1中的繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（）第一問的結(jié)論是否仍然成立；如果成立，證明你的結(jié)論，若不成立，說明理由．（3）如圖，若，點C是線段AB外一動點，，連接BC，①若將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值______；②若以BC為斜邊作，（B、C、D三點按順時針排列），，連接AD，當時，直接寫出AD的值．專題過關(guān)（2022廣元中考）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．2.（2022山西中考）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．3.（2022撫順中考）在中，，線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至（不與重合），旋轉(zhuǎn)角記為，的平分線與射線相交于點E，連接．（1）如圖①，當時，的度數(shù)是_____________；（2）如圖②，當時，求證：；（3）當時，請直接寫出的值．4.（2022年重慶中考B卷）在中，，，D為的中點，E，F(xiàn)分別為，上任意一點，連接，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，．（1）如圖1，點E與點C重合，且的延長線過點B，若點P為的中點，連接，求的長；（2）如圖2，的延長線交于點M，點N在上，且，求證：；（3）如圖3，F(xiàn)為線段上一動點，E為的中點，連接，H為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫出線段的長度的最小值．（2022達州中考）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：

（1）【初步探究】如圖2，當時，則_____；（2）【初步探究】如圖3，當點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；（3）【深入探究】如圖4，當點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．（4）【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6.（2022福建中考）已知，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．7．（2022江西中考）（12分）綜合與實踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形中心處，并繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當與重合時，重疊部分的面積為1；當與垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為；類比探究（2）若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，，分別與正方形的邊相交于點，．①如圖2，當時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當時，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心處，該銳角記為（設(shè)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：，，8.（2022通遼中考）已知點在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點．

（1）如圖1，當點在上，在上，求的值為多少；（2）將正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；（3），，將正方形繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當，，三點共線時，請直接寫出的長度．9.（2022營口中考）如圖1，在正方形中，點M為邊上一點，過點M作且，連接，點P，Q分別為的中點，連接．（1）證明：；（2）將圖1中的繞正方形的頂點D順時針旋轉(zhuǎn)．①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；②若，在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當B，M，N三點共線時，請直接寫出線段的長．10.（2022河南上蔡三模）（1）【探索發(fā)現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)等邊三角形的相關(guān)知識時，遇到這樣一個問題：如圖1，是等邊三角形，點O是的外心，D是AB邊的中點，連接OC，OD，OA，OB．猜想：①∠AOB＝______°；②的值為______．（2）【猜想驗證】如圖2，若點O在等邊三角形ABC的內(nèi)部運動，且∠AOB的度數(shù)和（1）中一樣，D是AB邊的中點，連接OC，OD．小明想通過三角形全等或相似來探索的值是否發(fā)生變化，下面是小明的探索過程：的值沒有發(fā)生變化．證明如下：以O(shè)A，OB為鄰邊構(gòu)造，在邊OC左側(cè)構(gòu)造等邊三角形COF，連接AF，DE，如圖3所示．……請你根據(jù)以上輔助線，將后面的證明過程補充完整．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當OA，OB，OC三條線段組成的三角形恰好為直角三角形時，直接寫出線段OA的長．11.（2022河南汝州一模）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，是等邊三角形的角平分線，，．則與的數(shù)量關(guān)系是______，____．（2）問題探究：將圖1中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，點落在點的位置，如圖2所示，請你探究與的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若等邊的邊長為2，當時，直接寫出值．12.（2022北京人大附中一模）是等邊三角形，點P在的延長線上，以P為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)n°（）得線段，連接，．（1）如圖，若，畫出當時的圖形，并寫出此時n的值；（2）M為線段的中點，連接．寫出一個n的值，使得對于延長線上任意一點P，總有，并說明理由．13.（2022北京密云二模）如圖，在等邊中，點D在BA的延長線上，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B重合），將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE，連接BE和DE．（1）依據(jù)題意，補全圖形；（2）比較與的大小，并證明；（3）用等式表示線段BE、BP與BD之間數(shù)量關(guān)系，并證明．14.（2022門頭溝一模）如圖，在等邊中，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．連接，作的平分線，交于．（1）①根據(jù)題意，補全圖形；②請用等式寫出與的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）分別延長和交于點，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．15.（2022北京房山一模）已知：等邊△ABC，過點B作AC的平行線l．點P為射線AB上一個動點（不與點A，B重合），將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點D．（1）如圖1，點P在線段AB上時，依題意補全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)里關(guān)系，并證明；（2）點P在線段AB的延長線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．16.（2022北京大興二模）已知：如圖，，線段CD與AB相交于點O，以點A為中心，將射線AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)交線段CD于點H．

（1）若，求證：；（2）請你直接用等式表示出線段CD，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）．17.（2022北京燕山區(qū)一模）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點F．（1）依題意補全圖形，寫出____________°（2）求和的度數(shù)；（3）用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18.（2022新鄉(xiāng)牧野三模）將等邊三角形的邊繞繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過點作垂直于直線，垂足為，連接，取邊的中點，連接．（1）如圖1，當時，的度數(shù)為，連接，可求出的值為．（2）當且時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②當，，三點共線時，請直接寫出的值．19.（2022河南實驗中學(xué)一模）在等邊中，點D是邊上一點，點E是直線上一動點，連接，將射線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，與直線相交于點F．（1）若點D為邊中點．①如圖1，當點E在邊上，且時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系________；②如圖2，當點E落在邊上，點F落在邊的延長線上時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；（2）如圖3，點D為邊上靠近點C的三等分點．當時，直接寫出的值．20.（2022南陽西峽一模）是等邊三角形，點P在的延長線上，以P為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)n°（）得線段，連接，．（1）如圖，若，畫出當時的圖形，并寫出此時n的值；（2）M為線段的中點，連接．寫出一個n的值，使得對于延長線上任意一點P，總有，并說明理由．21.（2022北京豐臺一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D在邊BC上（不與點B，C重合），連接AD，以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉(zhuǎn)180°﹣α得到線段AE，連接BE．（1）∠BAC+∠DAE＝°；（2）取CD中點F，連接AF，用等式表示線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．22.（2022河南二模）如圖1，在中，，點D為AB邊上一點（不與A，B兩點重合），過點D作，交AC于點E．連接BE，在BE上取一點M，連接CM并延長CM至點N，連接BN．（1）觀察猜想若，，則線段CE與BN的位置關(guān)系是______，的值是______；（2）類比探究將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，，，寫出線段BN與CE的位置關(guān)系及的值，并說明理由；（3）解決問題繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，，，若，，以點B，D，E，N為頂點的四邊形是菱形，直接寫出線段BM的長．23.（2022信陽三模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D，E分別是AC，BC的中點，點P是直線DE上一點，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PM，連接AM，CM．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖（1），當點P與點D重合時，線段CM與PE的數(shù)量關(guān)系是，∠ACM＝°．（2）探究證明當點P在射線ED上運動時（不與點E重合），（1）中結(jié)論是否一定成立？請僅就圖（2）中的情形給出證明．（3）問題解決連接PC，當△PCM是等邊三角形時，請直接寫出的值．24.（2022濮陽一模）如圖，等腰可以繞等腰的頂點C旋轉(zhuǎn)，，，．點F、H、G分別是DE、AB、EB的中點，連接FH、GH．

（1）【問題解決】如圖1，______°；（2）【問題探究】如圖2，連接AE，若，求：的值；（3）【問題拓展】若，旋轉(zhuǎn)等腰，當，且以B、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出FH的長．25.（2022南陽臥龍二模）如圖，已知和是有公共頂點的兩個等腰直角三角形，，連接BD，CE，BD和CE所在的直線交于點P．

（1）當繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，線段BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系是______；（2）把繞點A旋轉(zhuǎn)，使，請先在備用圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后求當，時PD的長；（3）若，，在繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PD長度的最小值是______．26.（2022南陽臥龍一模）如圖1，在中，，點D是邊上的一點，且，過點D做邊的垂線，交邊于點E，將繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】當時，的值為________，直線相交形成的較小角的度數(shù)為________；（2）【拓展探究】試判斷：在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的兩個結(jié)論有無變化？請僅就圖2的情況給出證明；（3）【問題解決】當旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點在同一條直線上時，請直接寫出的面積．27.（2022河南固始一模）數(shù)學(xué)綜合與實踐課上，同學(xué)們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動，如圖，小東同學(xué)把等腰直角三角板的直角頂點繞著直角三角板的斜邊中點旋轉(zhuǎn)，其中，直線，相交于點，邊與相交于點．

（1）如圖①，當時，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）將圖①中的旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請判斷線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由．（3）在（2）的情況下，若繞點旋轉(zhuǎn)時，邊與的交點始終在線段上，連接，若，，請直接寫出線段的長度．28.（2022河南鄧州二模）小明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到了這樣一個問題：“如圖1，在中，，點P在邊上，過點P作于點Q，O為邊的中點，連接并延長到點M，使，連接．請你幫他探究：特例探究：（1）填空：如圖1，當時，____________；（2）證明：如圖2，當時，將繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，線段，之間的數(shù)量關(guān)系如何？請僅就圖2所示情況說明理由．應(yīng)用探究：（3）在（2）的條件下，在中，若，將由初始位置繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，當點Q到直線的距離為4時，請直接寫出線段的值．29.（2022北京石景山二模）在中，，D是的中點，E為邊上一動點（不與點A，C重合），連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點F作于點H，交射線于點G．（1）如圖1，當時，比較與的大??；用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當時，依題意補全圖2，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系．30.（2022合肥四十五中三模）如圖①，、、三點共線，、是等腰直角三角形，，連接、．

（1）求證：；（2）如圖②，將沿翻折至，與交于點，連接，當時，求證：；（3）如圖③，在（2）的條件下，取的中點，當時，求的長．31.（2022信陽三模）綜合與實踐一、問題情境在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．如圖1，矩形ABCD中，AD＝2AB，連接AC，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到某一位置，觀察圖形，提出問題并加以解決．二、實踐操作，解決問題(1)如圖2，慎思組的間學(xué)將圖1中的△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A'B'C'，此時B'C'過點D，則∠ADB′＝____度．(2)博學(xué)組的同學(xué)在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3，此時點C落在CD的延長線上，連接BB'，該組提出下面兩個問題，并請你解決該組提出的這兩個問題．①C'D和AB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．②BB'和AC'有何位置關(guān)系？并說明理由．(3)精英組的同學(xué)在圖3的基礎(chǔ)上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至AB'與對角線AC重合時，B'C'與AD交于點M，如圖4，則S：S△ABC＝_____．32.（2022鄭州一檢）馬老師在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)《正方形的性質(zhì)與判定》這一課時，給出如下問題：如圖①，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形與正方形ABCD的邊長相等．在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，與AB相交于點M，與BC相交于點N，探究兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系．（1）小亮第一個舉手回答：“兩個正方形重疊部分的面積是正方形ABCD面積的”；（2）馬老師鼓勵同學(xué)們編一道拓展題，小穎編了這樣一道題：如圖②，在四邊形ABCD中，，，連接AC．若，求四邊形ABCD的面積．請你幫小穎解答這道題．33.（2022河南西華二模）如圖，正方形ABCD中，點P為直線BC上不與點B重合的一個動點，以AB為邊在正方形內(nèi)部作等邊，以A為旋轉(zhuǎn)中心將AP逆時針旋轉(zhuǎn)60得到AE，連接ME，DE．

（1）如圖1，當點E落在AD的延長線上時，填空：①PB與ME的數(shù)量關(guān)系是______；②直線PB與直線ME相交所成的銳角的度數(shù)為_______；（2）如圖2，當點E落在AD外時，（1）中的結(jié)論是否仍成立？若果成立，請就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；（3）若，直接寫出點P運動過程中線段DE長度的最小值．34.（2022北京人大附中一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，E是邊BC上的一動點，連結(jié)DE交AC于點F，連結(jié)BF.(1)求證：FB=FD；(2)如圖2，連結(jié)CD，點H在線段BE上（不含端點），且BH=CE，連結(jié)AH交BF于點N.①判斷AH與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②連接CN．若AB=2，請直接寫出線段CN長度的最小值.35.（2022新鄉(xiāng)二模）如圖1，四邊形ABCD為正方形，點E為其邊BC上一點，以CE為邊在正方形ABCD右側(cè)作正方形CEFG．將正方形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），連接AF、BG，交于點M．

（1）當α=90°時，∠AMB=________°；當α=270°時，∠AMB=________°；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AMB的度數(shù)是否為定值？如果是，請就圖2的情況予以證明；如果不是，請說明理由．（3）若BC=3，CE=1，當A、E、F三點在同一條直線上時，請直接寫出線段BM的長度．36.（2022山西二模）綜合與實踐問題情境

如圖1，在正方形中，點O是對角線上一點，且，將正方形繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形（點分別是點A，B，C，D的對應(yīng)點）．探究發(fā)現(xiàn)（1）如圖2，當邊與在同一條直線上，與在同一條直線上時，點與分別落在正方形的邊與上．求證：四邊形是矩形．（2）如圖3，當邊經(jīng)過點C時，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．問題拓展（3）如圖4，在正方形繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，直線與交于點P，連接．當點P在邊的左側(cè)時，請直接寫出的度數(shù)．37.（2022北京西城一模）已知正方形ABCD，將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．（1）如圖1，當點E在正方形ABCD的內(nèi)部時，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為______；（2）當點E在正方形ABCD的外部時，①在圖2中依題意補全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA的延長線于點F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．38.（2022北京順義二模）如圖，在中，，，P，D為射線AB上兩點（點D在點P的左側(cè)），且，連接CP．以P為中心，將線段PD逆時針旋轉(zhuǎn)得線段PE．

（1）如圖1，當四邊形ACPE是平行四邊形時，畫出圖形，并直接寫出n的值；（2）當時，M為線段AE的中點，連接PM．①在圖2中依題意補全圖形；②用等式表示線段CP與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．39.（2022濮陽二模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組對一個數(shù)學(xué)問題作的探究活動：問題：如圖1，已知，，點A在邊上，點P是邊上一動點，以線段為斜邊作，，（C和O在的兩側(cè)），連接，將線段繞C逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接．（1）如圖1，小明同學(xué)得出，他的判斷理由是（）A．B．C．D．（2）如圖2，小穎同學(xué)作于D，她認為與存在某種數(shù)量關(guān)系，那么與是否有數(shù)量關(guān)系？如果有數(shù)量關(guān)系，請你寫出與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）如圖1，小華說，當，當是直角三角形時，可求出的值，請你直接寫出的值．40.（2022河南新安一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，點D是平面內(nèi)一動點（不與點C重合），連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DE（點E不與點B重合），連接BE．取CD的中點P，連接AP．（1）如圖（1），當點E落在線段AC上時，=，直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為________．（2）如圖（2），當點E落在平面內(nèi)其他位置時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證明；若不成立，請說明理由．（3）若AC=6，CP=3，當點B，D，E在同一條直線上時，請直接寫出線段AP的長．41.（2022河南林州一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，點O是斜邊BC上的一點，連接AO，點D是AO上一點，過點D分別作，，交BC于點E、F．（1）如圖1，若點O為斜邊BC的中點，求證：點O是線段EF的中點．（2）如圖2，在（1）的條件下，將△DEF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度，連接AD，CF，請寫出線段AD和線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，若點O是斜邊BC的三等分點，且靠近點B，當∠ABC＝30°時，將△DEF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度，連接AD、BE、CF，請求出的值．42.（2022北京燕山二模）在中，，CD是AB邊的中線，于E，連接CD，點P在射線CB上（與B，C不重合）（1）如果①如圖1，DE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是______②如圖2，點P在線段CB上，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，補全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖3，若點P在線段CB的延長線上，且，連接DP，將線段DP繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接BF，請直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十：圖形旋轉(zhuǎn)引起的類比探究綜合題方法點睛解決圖形旋轉(zhuǎn)引起的類比探究題的一般思路：對于圖形旋轉(zhuǎn)型試題，要注意用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形旋轉(zhuǎn)的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變的量，不變的關(guān)系，善于動中取靜，與特殊圖形（特殊位置、特殊圖形）探索結(jié)論，有一般情形驗證結(jié)論，綜合運用各種相關(guān)知識及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想來解決問題.典例分析例1：（2022沈陽中考）（1）如圖，和是等腰直角三角形，，點C在OA上，點D在線段BO延長線上，連接AD，BC．線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，將圖1中的繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（）第一問的結(jié)論是否仍然成立；如果成立，證明你的結(jié)論，若不成立，說明理由．（3）如圖，若，點C是線段AB外一動點，，連接BC，①若將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值______；②若以BC為斜邊作，（B、C、D三點按順時針排列），，連接AD，當時，直接寫出AD的值．【答案】（1）AD=BC；（2）結(jié)論仍成立，理由見詳解；（3）①，②．【解析】【分析】（1）由題意易得，然后可證，進而問題可求解；（2）由題意易得，然后可證，進而問題可求證；（3）①根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可得，則當A、C、D三點共線時取最大，進而問題可求解；②過點C作CE⊥AB于點E，連接DE，過點B作BF⊥DE于點F，然后可得點C、D、B、E四點共圓，則有，設(shè)，則，進而根據(jù)勾股定理可進行方程求解．【詳解】解：（1）AD=BC，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，∴（SAS），∴AD=BC，故答案為AD=BC；（2）結(jié)論仍成立，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∴（SAS），∴AD=BC；（3）①如圖，由題意得：，根據(jù)三角不等關(guān)系可知：，∴當A、C、D三點共線時取最大，∴，∵，，∴，∴AD的最大值為；②過點C作CE⊥AB于點E，連接DE，過點B作BF⊥DE于點F，如圖所示：∴，∴點C、D、B、E四點共圓，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，，∴在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理得：，整理得：①；在Rt△BFD中，由勾股定理得：，整理得：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不符合題意，舍去），∴，過點E作EM⊥AD于點M，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)（2022廣元中考）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．（1）如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；（2）將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）135°（2）（2）①補全圖形見解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由見解析【解析】【分析】（1）由題意得點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；同（1），利用圓周角定理即可求解；②過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，證明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．小問1詳解】解：由題意得：CA=CD=CB，∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，在優(yōu)弧上取點G，連接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠BGA=45°，∵四邊形ADBG是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADB=180°-45°=135°，故答案為：135°；【小問2詳解】①補全圖形，如圖：由題意得：CA=CD=CB，∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由如下：過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，如圖：∵CD=CB，CE是∠BCD的平分線，∴CE是線段BD的垂直平分線，∴BE=DE，∠EFD=90°，由①知∠ADB=45°，∴∠DEF=45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA，則∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE=DH，∴EH=2ED-AD=2BE-AD，∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE-AD=CE．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和等腰直角三角形解決問題．2.（2022山西中考）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理得到MD∥AC，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；（2）證明△NDC是等腰三角形，過點N作NG⊥BC于點G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．理由如下：∵點M為AB的中點，點D為BC的中點，∴MD∥AC，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四邊形AMDN為矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，．∵點D是BC的中點，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．過點N作NG⊥BC于點G，則∠CGN=90°．

∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴；（3）延長ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，

∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中點，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴線段AN的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．3.（2022撫順中考）在中，，線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至（不與重合），旋轉(zhuǎn)角記為，的平分線與射線相交于點E，連接．（1）如圖①，當時，的度數(shù)是_____________；（2）如圖②，當時，求證：；（3）當時，請直接寫出的值．【答案】（1）（2）見解析（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，當時可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算的角度，再由，是的平分線可知，由三角形外角的性質(zhì)，通過即可得出答案；（2）延長到F，使，連接，先證明，可推導(dǎo)、、，再由已知條件及等腰三角形的性質(zhì)推導(dǎo)，然后證明，推導(dǎo)，在中，由三角函數(shù)可計算，即可證明；（3）分兩種情況討論：①當時，借助（2）可知，再求的值即可；②當時，在線段BD上取點F，使得，結(jié)合（2）中，可知、，易證明，可推導(dǎo)、、，，在中，由三角函數(shù)可計算，即可推導(dǎo)，再求的值即可．【小問1詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知，，當時，可知，∵，是的平分線，∴，∴．故答案為：；小問2詳解】證明：延長到F，使，連接．∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴；【小問3詳解】①當時，由（2）可知，，，∴，當時，可知，∴；②當時，如下圖，在線段BD上取點F，使得，由（2）可知，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴，當時，可知，∴．綜上所述，當時，或．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)解直角三角形的知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并通過作輔助線構(gòu)建全等三角形．4.（2022年重慶中考B卷）在中，，，D為的中點，E，F(xiàn)分別為，上任意一點，連接，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，．（1）如圖1，點E與點C重合，且的延長線過點B，若點P為的中點，連接，求的長；（2）如圖2，的延長線交于點M，點N在上，且，求證：；（3）如圖3，F(xiàn)為線段上一動點，E為的中點，連接，H為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫出線段的長度的最小值．【答案】（1）2（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得為的中點，證明，進而根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解；（2）過點作交的延長線于點，證明，，可得，進而根據(jù)，即可得出結(jié)論，（3）根據(jù)（2）可知，當點在線段上運動時，點在平行于的線段上運動，根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)點到圓上的距離求最值即可求解．【小問1詳解】如圖，連接將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，是等腰直角三角形，P為FG的中點，，，，，D為的中點，，，，，在中，；【小問2詳解】如圖，過點作交的延長線于點，，，，，是等腰直角三角形，，，在與中，，，，，又，，，，，，，又，，,，，，，；【小問3詳解】由（2）可知，則當點在線段上運動時，點在平行于的線段上運動，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，E為的中點，，，則點在以為圓心為半徑的圓上運動，當三點共線時，最小，如圖，當運動到與點重合時，取得最小值，．如圖，當點運動到與點重合時，取得最小值，此時，則．綜上所述，的最小值為．（2022達州中考）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：

（1）【初步探究】如圖2，當時，則_____；（2）【初步探究】如圖3，當點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；（3）【深入探究】如圖4，當點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．（4）【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）仍然成立，理由見解析（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；（2）證明，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．【小問1詳解】等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：

【小問2詳解】在與中，又重合，故答案為：

【小問3詳解】同（2）可得，過點，作，交于點，

則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，【小問4詳解】過點作，交于點，

，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6.（2022福建中考）已知，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2），見解析（3）30°【解析】【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，得到，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，證得，得到，設(shè)，，則，得到α+β的關(guān)系即可．【小問1詳解】∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；【小問2詳解】結(jié)論：．證明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【小問3詳解】在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即∠ADB＝30°．【點睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運用知識，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2022江西中考）（12分）綜合與實踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形中心處，并繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當與重合時，重疊部分的面積為1；當與垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為；類比探究（2）若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，，分別與正方形的邊相交于點，．①如圖2，當時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當時，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心處，該銳角記為（設(shè)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：，，【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當與重合時，與重合，此時重疊部分的面積的面積正方形的面積；當與垂直時，，重疊部分的面積正方形的面積；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）①結(jié)論：是等邊三角形．證明，可得結(jié)論；②如圖3中，連接，過點作于點．證明，推出，解直角三角形求出，即可解決問題；（3）如圖中，過點作于點，當時，的面積最小，即最?。鐖D中，當時，最大．分別求解即可．【解答】解：（1）如圖1，若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當與重合時，與重合，此時重疊部分的面積的面積正方形的面積；當與垂直時，，重疊部分的面積正方形的面積；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為．理由：如圖1中，設(shè)交于點，交于點，過點作于點，于點．是正方形的中心，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，．故答案為：1，1，．（2）①如圖2中，結(jié)論：是等邊三角形．理由：過點作，是正方形的中心，，，，，，，是等邊三角形；②如圖3中，連接，過點作于點．，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，過點作于點，當時，的面積最小，即最?。谥校?，，．如圖中，當時，最大．同法可證，，，，，，．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．8.（2022通遼中考）已知點在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點．

（1）如圖1，當點在上，在上，求的值為多少；（2）將正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；（3），，將正方形繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當，，三點共線時，請直接寫出的長度．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）勾股定理求得，，進而根據(jù)，由相似三角形的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】正方形與正方形有公共點，點在上，在上，四邊形是正方形【小問2詳解】如圖，連接，

正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，，【小問3詳解】如圖，

，，,,，三點共線，中，，，由（2）可知，，．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．9.（2022營口中考）如圖1，在正方形中，點M為邊上一點，過點M作且，連接，點P，Q分別為的中點，連接．（1）證明：；（2）將圖1中的繞正方形的頂點D順時針旋轉(zhuǎn)．①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；②若，在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當B，M，N三點共線時，請直接寫出線段的長．【答案】（1）見解析（2）①成立，見解析；②的長為或【解析】【分析】（1），連接，取的中點，連接，證明是等腰直角三角形，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得證；（2）①如圖，連接，取的中點，連接，證明，證明，過點作于點，證明，則，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得證；②分情況討論，根據(jù)勾股定理即可求的的長，根據(jù)①的結(jié)論即可求解．【小問1詳解】如圖，連接，取的中點，連接，且，是等腰直角三角形，，四邊形是正方形，則，且D,N,B在邊CD的同側(cè)，三點共線，設(shè)，，則，，分別為的中點，，分別為的中點，，，過點作則是等腰直角三角形垂直平分，，，【小問2詳解】①如圖，連接，取的中點，連接，，，，，，，，分別為的中點，，，，，分別為的中點，，，，，，過點作于點，則是等腰直角三角形，，，，，，，；②如圖，當共線，在的上方時，，，中，，，，，，，，如圖，當共線，在的左邊時，中，，，，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10.（2022河南上蔡三模）（1）【探索發(fā)現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)等邊三角形的相關(guān)知識時，遇到這樣一個問題：如圖1，是等邊三角形，點O是的外心，D是AB邊的中點，連接OC，OD，OA，OB．猜想：①∠AOB＝______°；②的值為______．（2）【猜想驗證】如圖2，若點O在等邊三角形ABC的內(nèi)部運動，且∠AOB的度數(shù)和（1）中一樣，D是AB邊的中點，連接OC，OD．小明想通過三角形全等或相似來探索的值是否發(fā)生變化，下面是小明的探索過程：的值沒有發(fā)生變化．證明如下：以O(shè)A，OB為鄰邊構(gòu)造，在邊OC左側(cè)構(gòu)造等邊三角形COF，連接AF，DE，如圖3所示．……請你根據(jù)以上輔助線，將后面的證明過程補充完整．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當OA，OB，OC三條線段組成的三角形恰好為直角三角形時，直接寫出線段OA的長．【答案】（1）①120；②2；（2）不變，是定值2；見解析；（3）2或4【解析】【分析】（1）作等邊三角形ABC的外接圓，可知，，進一步可得，，故可知；（2）證明可得，．再證明（SAS），可得．利用D是AB的中點，四邊形AEBO是平行四邊形，得到，，即；（3）由（2），可知，，則以O(shè)A，OB，OC三條線段組成的三角形恰好為直角三角形時，即為直角三角形．可分以下兩種情況進行討論．①若，②若，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】解：（1）①120；②2．作等邊三角形ABC的外接圓，如解圖1所示，則，，∵，D是AB邊的中點，∴，，∴，，∴，∴，∴；（2）補充的證明過程如下：∵是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∵四邊形AEBO是平行四邊形，，∴，，，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∵D是AB的中點，四邊形AEBO是平行四邊形，∴，∴，即，（3）2或4．由（2）可知，，則以O(shè)A，OB，OC三條線段組成的三角形恰好為直角三角形時，即為直角三角形．由題意，可分以下兩種情況進行討論．①若，如解圖2所示，則，設(shè)，則．∵，∴．∵，D為AB的中點，．在中，由勾股定理，得，即，解得或（舍去）．∴．②若，如解圖3所示，則，．設(shè)，則，．∴．由①，可知．在中，由勾股定理，得，即，解得或（舍去）．∴．∴．綜上所述，當OA，OB，OC三條線段組成的三角形恰好為直角三角形時，線段OA的長為2或4．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線進行求解．11.（2022河南汝州一模）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，是等邊三角形的角平分線，，．則與的數(shù)量關(guān)系是______，____．（2）問題探究：將圖1中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，點落在點的位置，如圖2所示，請你探究與的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若等邊的邊長為2，當時，直接寫出值．【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）證明ACE≌ACD可得到結(jié)論；（2）證明即可；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，F(xiàn)A會有不同的位置，所以要分情況進行討論，并利用勾股定理加以計算．【詳解】（1）解：如圖1所示．∵是等邊的角平分線，∴∠ACB=∠CAB=60°，∠CAD=∠CAB=30°．∵AB⊥AE，∴∠EAB=90°．∴∠EAC=∠EAB-∠CAB=90°-60°=30°．∴∠EAC=∠CAD．∵CE∥AB，∴∠ECA=∠CAB=60°．∴∠ECA=∠DCA．在EAC和DAC中，∴．∴EC=DC．故答案為：EC=DC，∠EAC=30°．（2）證明：如圖2所示．∵是等邊的角平分線，∴，有，即．由旋轉(zhuǎn)可知，由（1）知，∴，∴．（3）解：分兩種情況．如圖3a，當時：

∵，∴點、、在一條直線上．過點作于點，由題意可得，，，∴．在中，根據(jù)勾股定理得：由（2）知，∴．如圖3b，當時：

∵，，，∴點在線段上．過點作于點，由題意可得，，，∴．在中，根據(jù)勾股定理得：由（2）知，∴．綜合上述兩種情況，或．故答案為：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識點．緊緊圍繞圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，充分利用全等、勾股定理是解題的關(guān)鍵．12.（2022北京人大附中一模）是等邊三角形，點P在的延長線上，以P為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)n°（）得線段，連接，．（1）如圖，若，畫出當時的圖形，并寫出此時n的值；（2）M為線段的中點，連接．寫出一個n的值，使得對于延長線上任意一點P，總有，并說明理由．【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由見詳解.【解析】【分析】（1）由是等邊三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，進而得到∠BPC=60°，即可求解；（2）以點C為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2，設(shè)點B（a，0），點P（x，0），根據(jù)坐標系中，中點坐標公式和兩點間的距離公式，分別表示出MP，AP的長度，即可.【詳解】如圖1，若，當時，n=60°，理由如下：∵是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵，∴∠CAP=∠CPA=30°，∵∴∠PBQ=∠CPA=30°，∵，∴，∴∠Q=90°，∴∠BPC=180°-∠Q-∠PBQ=180°-90°-30°=60°，∴n=60°；（2）當n=120°時，對于延長線上任意一點P，總有，理由如下：以點C為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2，設(shè)點B（a，0），點P（x，0），∴PQ=PC=x，∵∠CPQ=120°，∴∠NPQ=180°-120°=60°，過點Q作QH⊥x軸，則PH=x，QH=x,∴點Q坐標為（，），∵點M時BQ的中點，∴點M的坐標為：過點A作AE⊥x軸，則CE=CB，AE=CE，∴點A坐標為：，∴AP==MP==，即：.圖1圖2【點睛】本題主要考查等邊三角形和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，畫出圖形，建立合適的平面直角坐標系，把幾何問題化為代數(shù)問題，用數(shù)形結(jié)合的思想方法，是解題的關(guān)鍵.13.（2022北京密云二模）如圖，在等邊中，點D在BA的延長線上，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B重合），將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE，連接BE和DE．（1）依據(jù)題意，補全圖形；（2）比較與的大小，并證明；（3）用等式表示線段BE、BP與BD之間數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）補圖見解析（2），證明見解析（3），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)要求補全圖形即可；（2）由題意知，是等邊三角形，則，，由三角形外角的定義與性質(zhì)可知，由，可知，進而可得；（3）如圖2，在上找一點使，連接、，由（2）可知，易證，則，，由，可求，則是等邊三角形，，根據(jù)，可得．【小問1詳解】解：由題意作圖1，如下：

【小問2詳解】解：．證明：由題意知，是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【小問3詳解】解：．證明：如圖2，在上找一點使，連接、，

由（2）可知，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴線段BE、BP與BD之間的數(shù)量關(guān)系為．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的定義與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，找出角度、線段的數(shù)量關(guān)系．14.（2022門頭溝一模）如圖，在等邊中，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．連接，作的平分線，交于．（1）①根據(jù)題意，補全圖形；②請用等式寫出與的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）分別延長和交于點，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①見解析，②∠BAD＝2∠BCD，證明見解析；（2）＝＋，證明見解析．【解析】【分析】（1）①按照題意補全圖形即可，②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD＝AC，∠CAD＝，△ADC是等腰三角形，∠ADC＝∠ACD＝90°－，由△ABC是等邊三角形得∠BCD＝30°－，∠BAD＝2（30°－），得到結(jié)論；（2），連接GF，在AF上截取FG＝DF，分別證明△ABF≌△ADF（SAS），△DFG是等邊三角形，△BCF≌△DAG（AAS），得到CF＝AG，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：①補全圖形如圖1，②∠BAD＝2∠BCD證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD＝AC，∠CAD＝，∴△ADC是等腰三角形∴∠ADC＝∠ACD＝（180°－∠CAD）＝（180°－）＝90°－∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝AD∴∠BCD＝∠ADC－∠ACB＝（90°－）－60°＝30°－∵∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝60°－＝2（30°－）∴∠BAD＝2∠BCD【小問2詳解】解：＝＋，理由如下：如圖2，連接GF，在AF上截取FG＝DF，∵AE平分∠BAD∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD∵AB＝AC，AC＝AD∴AB＝AD又∵AF＝AF∴△ABF≌△ADF（SAS）∴BF＝DF∵∠BAD＝2∠BCD∴∠BCD＝∠BAD∴∠BCD＝∠BAF＝∠DAF∵∠BAF＋∠ABC＋∠AEB＝180°，∠BCD＋∠CFE＋∠CEF＝180°，∠AEB＝∠CEF∴∠CFG＝∠ABC＝60°∴∠AFB＝∠AFD＝60°∴∠BFC＝∠AFB＋∠AFD＝120°∵FG＝DF∴△DFG是等邊三角形∴DG＝DF＝BF，∠DGF＝60°，∴∠AGD＝180°－∠DGF＝120°∴∠AGD＝∠CFB在△BCF和△DAG中，∴△BCF≌△DAG（AAS）∴CF＝AG∴AF＝AG＋FG＝CF＋DF即AF＝CF＋DF【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和等知識，添加適當?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．15.（2022北京房山一模）已知：等邊△ABC，過點B作AC的平行線l．點P為射線AB上一個動點（不與點A，B重合），將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點D．（1）如圖1，點P在線段AB上時，依題意補全圖形；①求證：∠BDP=∠PCB；②用等式表示線段BC，BD，BP之間的數(shù)里關(guān)系，并證明；（2）點P在線段AB的延長線上，直接寫出線段BC，BD，BP之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①見解析；②BC=BD+BP，證明見解析（2）BC=BD?BP【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意補全圖形即可；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DPE=∠CPE=60°，進而可得結(jié)論；②在BC上取一點Q使得BQ=BP，證明△PBQ是等邊三角形，再證明△PBD≌△PQC，即可得到BC=BD+BP；（2）在BD上取一點E使得BE=BP，證明△PBE是等邊三角形，再證明△CBP≌△DEP，即可得到BC=BD?BP．【小問1詳解】①補全圖形如圖所示，證明：設(shè)PD交BC于點E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠DPC=60°，∵l//AC，∴∠DBE=∠ACB=60°，∴∠DBE=∠CPE=60°，∵∠BED=∠PEC，∴∠BDP=∠PCB；解：②BC=BD+BP，理由如下：在BC上取一點Q使得BQ=BP，連接PQ，∵∠ABC=60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=PQ，∠BPQ=60°，∴∠BPD=∠CPQ，又∵∠BDP=∠PCB，∴△PBD≌△PQC，∴BD=QC，∵BC=BQ+QC，∴BC=BD+BP；【小問2詳解】解：BC=BD?BP，理由如下：在BD上取一點E使得BE=BP，連接PE，∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC，∴∠DBC=∠ACB=60°，∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°，∴△PBE是等邊三角形，∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°，∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°，∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD，∴△CBP≌△DEP，∴BC=DE，∵BD=BE+ED，∴BC=BD-BP．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．16.（2022北京大興二模）已知：如圖，，線段CD與AB相交于點O，以點A為中心，將射線AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)交線段CD于點H．

（1）若，求證：；（2）請你直接用等式表示出線段CD，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，則，證明是等邊三角形，則，由此可證；（2）過點作于，由等腰三角形三線合一可知，，在中，利用三角函數(shù)用表示，從而表示出，結(jié)合即可得，，之間的數(shù)量關(guān)系．【小問1詳解】證明：，，即．，，，即．在與中，，．，，又，是等邊三角形，，又，．【小問2詳解】解：，理由如下：過點作于，，，．，．又，，．

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)建立線段之間的數(shù)量關(guān)系．17.（2022北京燕山區(qū)一模）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點F．（1）依題意補全圖形，寫出____________°（2）求和的度數(shù)；（3）用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）圖見解析，°（2），（3），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，補全圖形即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，求得∠BAD=∠BAC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠E，由三角形內(nèi)角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CAE，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠FBC；（3）在EF上取點M，使EM=BF，連接AM，由△ABF≌△AEM求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等邊三角形，便可解答；【小問1詳解】解：如圖分別以A，C為圓心，以AC為半徑作弧，兩弧交于點E，連接BE交AD于點F，則∠CAE=60°；【小問2詳解】解：∵，是邊的高線，∴，∵線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，又，∴，在中，，∴∴又∵是邊的高線，∴∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．【小問3詳解】解：如圖，在EF上取點M，使EM=BF，連接AM，∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等邊三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形判定的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18.（2022新鄉(xiāng)牧野三模）將等邊三角形的邊繞繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過點作垂直于直線，垂足為，連接，取邊的中點，連接．（1）如圖1，當時，的度數(shù)為，連接，可求出的值為．（2）當且時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②當，，三點共線時，請直接寫出的值．【答案】（1），2；（2）①成立，證明見解析；②或【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，連接，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得出結(jié)果；（2）①類比（1）的解題過程可得出結(jié)果；②分兩種情況討論解答：（i）當點在線段上時，（ii）當點在線段的延長線上時．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，，是等邊三角形，∴，，∴，∴，同理，可求得，∴，連接，如解圖1所示．，∵是的中點，，∴是的斜邊的中線，∴，∴，∴，（2）①仍然成立，證明如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，，∴∵為等邊三角形，∴，，∴，同理，可求得，∴，連接，如解圖2所示，∵是的中點，，∴是的斜邊上的中線，∴，∴，∴，②當，，三點共線時，可分以下兩種情況進行討論，（i）當點在線段上時，如解圖3所示，由①，可知，，∵，∴，設(shè)，則，在中，，∴，在中，，∴；（ii）當點在線段的延長線上時，如解圖4所示，同（i），可得，∴，，綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握有關(guān)的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.（2022河南實驗中學(xué)一模）在等邊中，點D是邊上一點，點E是直線上一動點，連接，將射線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，與直線相交于點F．（1）若點D為邊中點．①如圖1，當點E在邊上，且時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系________；②如圖2，當點E落在邊上，點F落在邊的延長線上時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；（2）如圖3，點D為邊上靠近點C的三等分點．當時，直接寫出的值．【26題答案】【答案】（1）①；②仍然成立；理由見解析

（2）或

【解析】【分析】（1）①用“ASA”證明即可得出DE=DF；②將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交AC于點，則證明即可得出DE=DF；（2）分點E在A、B兩點之間和點E在B點下方兩種情況進行討論，即可得出結(jié)果．【小問1詳解】解：①DE=DF；∵△ABC為等邊三角形，∴，∵點D為BC的中點，∴，∵DE⊥AB，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴DE=DF；故答案為：DE=DF；②DE=DF仍然成立；將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交于AC于點，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴，∴，為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴DE=DF；【小問2詳解】①當點E在A、B兩點之間時，將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交于AC于點，如圖所示：設(shè)等邊三角形的邊長為a，∵AE:BE=3:2，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；②點E在B點下方時，將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交于AC于點，如圖所示：設(shè)等邊三角形的邊長為a，∵AE:BE=3:2，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，為等邊三角形，∴，即，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；綜上分析可知，的值為或4．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20.（2022南陽西峽一模）是等邊三角形，點P在的延長線上，以P為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)n°（）得線段，連接，．（1）如圖，若，畫出當時的圖形，并寫出此時n的值；（2）M為線段的中點，連接．寫出一個n的值，使得對于延長線上任意一點P，總有，并說明理由．【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由見詳解.【解析】【分析】（1）由是等邊三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，進而得到∠BPC=60°，即可求解；（2）以點C為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2，設(shè)點B（a，0），點P（x，0），根據(jù)坐標系中，中點坐標公式和兩點間的距離公式，分別表示出MP，AP的長度，即可.【詳解】如圖1，若，當時，n=60°，理由如下：∵是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵，∴∠CAP=∠CPA=30°，∵∴∠PBQ=∠CPA=30°，∵，∴，∴∠Q=90°，∴∠BPC=180°-∠Q-∠PBQ=180°-90°-30°=60°，∴n=60°；（2）當n=120°時，對于延長線上任意一點P，總有，理由如下：以點C為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2，設(shè)點B（a，0），點P（x，0），∴PQ=PC=x，∵∠CPQ=120°，∴∠NPQ=180°-120°=60°，過點Q作QH⊥x軸，則PH=x，QH=x,∴點Q坐標為（，），∵點M時BQ的中點，∴點M的坐標為：過點A作AE⊥x軸，則CE=CB，AE=CE，∴點A坐標：，∴AP==MP==，即：.圖1圖2【點睛】本題主要考查等邊三角形和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，畫出圖形，建立合適的平面直角坐標系，把幾何問題化為代數(shù)問題，用數(shù)形結(jié)合的思想方法，是解題的關(guān)鍵.21.（2022北京豐臺一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D在邊BC上（不與點B，C重合），連接AD，以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉(zhuǎn)180°﹣α得到線段AE，連接BE．（1）∠BAC+∠DAE＝°；（2）取CD中點F，連接AF，用等式表示線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）180（2），證明見解析；【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知∠DAE=180°-a，所以得到：∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°；（2）連接并延長AF，使FG=AF，連接DG，CG；因為DF=CF，AF=GF；可以得到四變形ADGC為平行四邊形；從而有∠DAC+∠ACG=180°，再證∠ACG=∠BAE繼而證明△ABE≌△CAG得到BE=AG，即可得線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系；【小問1詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知∠DAE=180°-a，∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°故答案為：180【小問2詳解】解：如圖所示：連接并延長AF，使FG=AF，連接DG，CG；∵DF=CF，AF=GF；∴四變形ADGC為平行四邊形；∴∠DAC+∠ACG=180°，即∠ACG=180°-∠DAC，∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，所以∠ACG=∠BAE，∵四變形ADGC為平行四邊形；∴AD=CG，又∵AD=AE，AE=CG，在△ABE和△CAG中，∴△ABE≌△CAG，∴BE=AG，∴AF=AG=BE，故線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系：AF=；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角的定義，以及全等三角形的性質(zhì)的判定，解題的關(guān)鍵是熟悉并靈活應(yīng)用以上性質(zhì)．22.（2022河南二模）如圖1，在中，，點D為AB邊上一點（不與A，B兩點重合），過點D作，交AC于點E．連接BE，在BE上取一點M，連接CM并延長CM至點N，連接BN．（1）觀察猜想若，，則線段CE與BN的位置關(guān)系是______，的值是______；（2）類比探究將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，，，寫出線段BN與CE的位置關(guān)系及的值，并說明理由；（3）解決問題繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，，，若，，以點B，D，E，N為頂點的四邊形是菱形，直接寫出線段BM的長．【答案】（1）平行，2（2），，理由見解析（3）【解析】【分析】對于（1），先根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”得，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例得出結(jié)論；對于（2），仿照（1）解答即可；對于（3），先根據(jù)（2）的結(jié)論，及菱形的性質(zhì)畫出圖形，可知點D，E，C共線，接著證明△ABC，△ADE是等邊三角形，即可證明△ACE≌△BCE，再根據(jù)等腰三角形的判定得AE=CE=BN，即可得△BMN≌△EMC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得.最后在Rt△CEP中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出答案即可．【小問1詳解】平行，2．∵ME=2BM，MC=2MN，∴，且∠BMN=∠EMC，∴，∴，∠BNM=∠ECM，∴．∵，∴．∵AB=AC，∴BD=CE，∴，則；故答案為：平行，2；【小問2詳解】，，理由如下：∵ME=nBM，MC=nMN，∴，且∠BMN=∠EMC，∴，∴，∠BNM=∠ECM，∴．∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE．∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴，則；【小問3詳解】．∵以點B，D，E，N為頂點的四邊形是菱形，∴，NB=DE=BE．由（2）得，CE=BD，∴點D，E，C共線．∵∠BAC=60°