專題03勾股定理應用(十二大類型)(題型專練)(原卷版+解析)

專題03勾股定理應用（十二大類型）【題型1應用勾股定理解決梯子滑落高度問題】【題型2應用勾股定理解決旗桿高度】【題型3應用勾股定理解決小鳥飛行的距離】【題型4應用勾股定理解決大樹折斷前的高度】【題型5應用勾股定理解決水杯中的筷子問題】【題型6應用勾股定理解決航海問題】【題型7應用勾股定理解決河的寬度】【題型8應用勾股定理解決汽車是否超速問題】【題型9應用勾股定理解決是否受臺風影響問題】【題型10應用勾股定理解決選扯距離相離問題】【題型11應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題】【題型12面展開圖-最短路徑問題】【題型1應用勾股定理解決梯子滑落高度問題】1．（2023春?益陽期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米2．（2023春?新?lián)釁^(qū)期末）一架長25m的云梯，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端7m，如果梯子的頂端沿墻下滑了4m，那么梯足將滑動（）A．5m B．8m C．13m D．15m3．（2023春?百色期末）如圖，一架梯子斜靠在墻上，設梯子AB的中點為O，AB＝6米，BC＝2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，則點O到點C的距離（）A．減小1米 B．增大1米 C．始終是2米 D．始終是3米4．（2023春?海珠區(qū)期末）如圖，一架靠墻擺放的梯子長5米，底端離墻腳的距離為3米，則梯子頂端離地面的距離為（）米．A．5 B．4 C．3 D．25．（2022秋?無錫期末）如圖，長為2.5m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.5m，則梯子頂端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m6．（2023春?大連月考）如圖，一個長2.5m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2m．當梯子底端B外移0.5m時，求梯子頂端A下落的距離．?7．（2023春?長春期末）如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，∠C＝90°，這時，梯子的底端B到墻底C的距離BC為1m．（1）求此時梯子的頂端A距地面的高度AC．（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B外移0.5m嗎？通過計算說明你的結論．【題型2應用勾股定理解決旗桿高度】 8．（2023春?新余期末）學過《勾股定理》后，學校數(shù)學興趣小組的隊員們來到操場上測量旗桿AB高度，通過測量得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；②當將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為12米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．9．（2023春?防城港期末）【問題情境】某數(shù)學興趣小組想測量學校旗桿的高度．【實踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學興趣小組實地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．【實踐探究】設計測量方案：第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是1米；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點C，再測量繩子底端C與旗桿根部B點之間的距離，測得距離為5米；【問題解決】設旗桿的高度AB為x米，通過計算即可求得旗桿的高度．（1）依題知BC＝米，用含有x的式子表示AC為米；（2）請你求出旗桿的高度．10．（2023春?靈寶市期中）將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?00cm，彩旗完全展開時的尺寸是如圖①所示的長方形，其中∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，在無風的天氣里，彩旗自然下垂，如圖②所示．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h．11．（2023春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，臺風過后，一希望小學的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，已知旗桿原長16米，你能求出旗桿在離底部多少米的位置斷裂嗎？12．（2022秋?新津縣校級期中）如圖所示，小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開與旗桿底部相距5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面．請你求出旗桿的高度．【題型3應用勾股定理解決小鳥飛行的距離】13．（2022春?隆陽區(qū)校級月考）如圖，有兩棵樹，大樹AC高為10米，小樹BD高為5米，兩樹相距12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢A飛到另一棵樹的樹梢B，求小鳥飛行的最短路程．14．（2022秋?亭湖區(qū)校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多少米．【題型4應用勾股定理解決大樹折斷前的高度】15.（2023春?西峰區(qū)校級期中）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有“折竹抵地”問題：今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺．問折者高幾何？意思是：如圖，有一根竹子，原高9尺，一陣風將竹子折斷，折斷后竹子頂端落在離竹子底部3尺遠的位置，求折斷處離地面的高度．16．圍墻內(nèi)一棵大樹被風吹歪后斜靠在旁邊的圍墻上，然后在圍墻的頂部被折斷，樹梢著地（如圖），已知圍墻高CD＝4m，樹的根部到圍墻的距離AD＝3m，樹梢著地點到圍墻的距離BD＝8m，CD⊥AB．求大樹折斷前的高度．17．（2022春?新羅區(qū)期中）如圖，一根竹子高10尺，折斷后竹子的頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面的高度是多少尺？【題型5應用勾股定理解決水杯中的筷子問題】18．（2023春?西豐縣期中）如圖，一支筆放到圓柱形筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支筆長18cm，則這支筆在筆筒外面部分的長度是（）A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm19．（2022秋?雁峰區(qū)校級期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這支鉛筆的長度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm20．（2022春?東莞市月考）一只17cm的鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，那么這根鉛筆露在筆筒外的部分長度x的范圍是（）A．2≤x≤5cm B．6≤x≤9cm C．9≤x≤12cm D．12≤x≤15cm21．（2022春?昭化區(qū)期末）如圖，將一根長為16cm的橡皮筋固定在筆直的木棒上，兩端點分別記為A，B，然后將中點C向上豎直拉升6cm至點D處，則拉伸后橡皮筋的長為（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm22．（2023春?渝北區(qū)月考）將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤1623．（2022春?襄州區(qū)期末）如圖，一個直徑為10cm的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，當筷子倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端剛好觸到杯口，筷子長度為（）A．10 B．12 C．13 D．14【題型6應用勾股定理解決航海問題】24．（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，甲貨船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，乙貨船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后兩船之間的距離是（）A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里25．（2021秋?灤州市期末）如圖，從筆直的公路l旁一點P出發(fā)，向西走6km到達l；從P出發(fā)向北走6km也到達l．下列說法錯誤的是（）A．公路l走向是南偏西45° B．公路l走向是北偏東45° C．從點P向北走3km后，再向西走3km到達l D．從點P向北偏西45°走3km到達l26．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，兩船相距（）A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里27．（2022春?北京期中）一艘船以20海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船以15海里/時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1小時后，它們相距海里．28．（2022秋?高陵區(qū)期中）如圖，甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時的速度向北偏東42°方向航行，乙船向南偏東48°方向航行，0.5小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C，B兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是30海里/時．29．（2022春?天門校級期中）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西23°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【題型7應用勾股定理解決河的寬度】30．（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道通一條公路到C處，已知點C與公路上的?？空続的距離為6km，與公路上另一?？空綛的距離為8km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的長；（2）若公路CD建成后，一輛貨車由C處途經(jīng)D處到達B處的總路程是多少km？31．（2022春?封開縣期末）湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹，數(shù)學興趣小組設計實驗測量兩棵景觀樹之間的距離，他們在與AB垂直的BC方向上取點C，測得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）兩棵景觀樹之間的距離；（2）點B到直線AC的距離．32．（2022春?合川區(qū)校級期中）筆直的河流一側(cè)有一營地C，河邊有兩個漂流點A，B、其中AB＝AC，由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長．【題型8應用勾股定理解決汽車是否超速問題】33．（2022春?海滄區(qū)校級期中）某路段限速標志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過70km/h，如圖，一輛小汽車在該筆直路段l上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方30m的點C處，2s后小汽車行駛到點B處，測得此時小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m．（1）求BC的長．（2）這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．34.（2022春?新羅區(qū)校級月考）規(guī)定：小汽車的城市街路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，小汽車行駛到B點，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s＝3.6km/h）【題型9應用勾股定理解決是否受臺風影響問題】35．（2022秋?太平區(qū)校級月考）某市創(chuàng)建文明城市，采用移動宣講的形式進行宣傳動員，如圖，筆直公路MN的一側(cè)點A處有一學校，學校A到公路MN的距離AB＝480米，若宣講車P周圍800米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路MN上沿M到N的方向行駛時．（1）請問學校A能否聽到宣傳，請說明理由．（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是256米/分，求學校A總共能聽到多長時間的宣傳．36．（2022?成武縣校級開學）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A4m．（1）求旗桿距地面多高處折斷；（2）工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25m的點D處，有一明顯裂痕，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險？37．（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，有一臺環(huán)衛(wèi)車沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學校持續(xù)的時間有多少分鐘？38．（2022春?彭州市校級期中）森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？【題型10應用勾股定理解決選扯距離相離問題】39．（2022秋?蘇州期中）“三農(nóng)”問題是關系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設美麗中國的關鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點相距50km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E應建在距A多少千米處？并判斷此時△DEC的形狀，請說明理由．40．（2022秋?晉源區(qū)校級月考）如圖，筆直的公路上A、B兩點相距17km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝12km．CB＝5km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個公交車站E，使得C，D兩村到公交車站E的距離相等．則公交車站E應建在離A點多遠處？【題型11應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題】41．（2022春?興義市校級月考）小宇手里有一張直角三角形紙片ABC，他無意中將直角邊AC折疊了一下，恰好使AC落在斜邊AB上，且C點與E點重合，小宇經(jīng)過測量得知兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，他想用所學知識求出CD的長，你能幫他嗎？42．（2022春?平原縣校級月考）長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求DE的長．43．（2022秋?章丘區(qū)校級月考）如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F點處，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求圖中陰影部分的面積．44．（2022春?龍鳳區(qū)期末）如圖，已知長方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長．【題型12面展開圖-最短路徑問題】45．（2022秋?濟南期中）如圖，長方體木箱的長、寬、高分別為12cm，4cm，3cm，則能放進木箱中的直木棒最長為cm．46.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是寸．

專題03勾股定理應用（十二大類型）【題型1應用勾股定理解決梯子滑落高度問題】【題型2應用勾股定理解決旗桿高度】【題型3應用勾股定理解決小鳥飛行的距離】【題型4應用勾股定理解決大樹折斷前的高度】【題型5應用勾股定理解決水杯中的筷子問題】【題型6應用勾股定理解決航海問題】【題型7應用勾股定理解決河的寬度】【題型8應用勾股定理解決汽車是否超速問題】【題型9應用勾股定理解決是否受臺風影響問題】【題型10應用勾股定理解決選扯距離相離問題】【題型11應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題】【題型12面展開圖-最短路徑問題】【題型1應用勾股定理解決梯子滑落高度問題】1．（2023春?益陽期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故選：A．2．（2023春?新?lián)釁^(qū)期末）一架長25m的云梯，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端7m，如果梯子的頂端沿墻下滑了4m，那么梯足將滑動（）A．5m B．8m C．13m D．15m【答案】B【解答】解：梯子頂端距離墻角地距離為＝24（m），頂端下滑后梯子底端距離墻角的距離為＝15（m），15m﹣7m＝8m．故選：B．3．（2023春?百色期末）如圖，一架梯子斜靠在墻上，設梯子AB的中點為O，AB＝6米，BC＝2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，則點O到點C的距離（）A．減小1米 B．增大1米 C．始終是2米 D．始終是3米【答案】D【解答】解：∵O為直角三角形ACB斜邊上的中點，斜邊AB＝6米，∴CO＝AB＝3米，故選：D．4．（2023春?海珠區(qū)期末）如圖，一架靠墻擺放的梯子長5米，底端離墻腳的距離為3米，則梯子頂端離地面的距離為（）米．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：梯子頂端離地面的距離＝＝4，故選：B．5．（2022秋?無錫期末）如圖，長為2.5m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.5m，則梯子頂端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m【答案】B【解答】解：根據(jù)勾股定理得，h2+1.52＝2.52，解得h＝2m，故選：B．6．（2023春?大連月考）如圖，一個長2.5m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2m．當梯子底端B外移0.5m時，求梯子頂端A下落的距離．?【答案】梯子頂端A下落的距離為0.5m．【解答】解：由題意得：AO＝2m，A′B′＝AB＝2.5m，BB′＝0.5m，在Rt△AOB中：BO＝＝1.5（m），∵BB′＝0.5m，∴B′O＝BO﹣BB′＝2m，在Rt△A′B′O中：OA′＝＝1.5（m），∴AA′＝AO﹣OA′＝2﹣1.5＝0.5（m）．答：梯子頂端A下落的距離為0.5m．7．（2023春?長春期末）如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，∠C＝90°，這時，梯子的底端B到墻底C的距離BC為1m．（1）求此時梯子的頂端A距地面的高度AC．（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B外移0.5m嗎？通過計算說明你的結論．【答案】（1）2.4m；（2）梯子底端B外移0.77m不是0.5m，理由見解析．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.6m，BC＝1m，∴，∴此時梯子的頂端A距地面的高度AC為2.4m；（2）由圖可知梯子的頂端A沿墻下滑0.5m后，A′C＝AC﹣0.5＝2.4﹣0.5＝1.9（m），A′B′＝AB＝2.6m，∴，∴BB′＝B′C﹣BC＝1.77﹣1＝0.77（m），∴梯子底端B外移0.77m不是0.5m．【題型2應用勾股定理解決旗桿高度】 8．（2023春?新余期末）學過《勾股定理》后，學校數(shù)學興趣小組的隊員們來到操場上測量旗桿AB高度，通過測量得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長3米（如圖1）；②當將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為12米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．【答案】17米．【解答】解：設AB＝x，根據(jù)題意得：在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，即：（x+3）2＝（x﹣1）2+122，解得：x＝17．答：旗桿AB的高度為17米．9．（2023春?防城港期末）【問題情境】某數(shù)學興趣小組想測量學校旗桿的高度．【實踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學興趣小組實地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．【實踐探究】設計測量方案：第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是1米；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點C，再測量繩子底端C與旗桿根部B點之間的距離，測得距離為5米；【問題解決】設旗桿的高度AB為x米，通過計算即可求得旗桿的高度．（1）依題知BC＝5米，用含有x的式子表示AC為（x+1）米；（2）請你求出旗桿的高度．【答案】（1）5；（x+1）；（2）12米．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．故答案為：5；（x+1）；（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，即52+x2＝（+1）2．解得x＝12．答：旗桿的高度為12米．10．（2023春?靈寶市期中）將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?00cm，彩旗完全展開時的尺寸是如圖①所示的長方形，其中∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，在無風的天氣里，彩旗自然下垂，如圖②所示．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h也就是旗桿的高度減去彩旗的對角線的長，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，∴AC＝＝＝150（cm），∴h＝400﹣150＝250cm．彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h為250cm．11．（2023春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，臺風過后，一希望小學的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，已知旗桿原長16米，你能求出旗桿在離底部多少米的位置斷裂嗎？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設旗桿在離底部x米的位置斷裂，在給定圖形上標上字母如圖所示．∵AB＝x米，AB+AC＝16米，∴AC＝（16﹣x）米．在Rt△ABC中，AB＝x米，AC＝（16﹣x）米，BC＝8米，∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，解得：x＝6．故旗桿在離底部6米的位置斷裂．12．（2022秋?新津縣校級期中）如圖所示，小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開與旗桿底部相距5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面．請你求出旗桿的高度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．【題型3應用勾股定理解決小鳥飛行的距離】13．（2022春?隆陽區(qū)校級月考）如圖，有兩棵樹，大樹AC高為10米，小樹BD高為5米，兩樹相距12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢A飛到另一棵樹的樹梢B，求小鳥飛行的最短路程．【答案】小鳥飛行的最短路程為13米．【解答】解：如圖，過B點作BE⊥AC于點E，則四邊形EBDC是長方形，連接AB．∵AC＝10米，BD＝5米，∴EC＝5米，EB＝12米，AE＝AC﹣EC＝10﹣5＝5米，在Rt△AEB中，（米），故小鳥飛行的最短路程為13米．14．（2022秋?亭湖區(qū)校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多少米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，設大樹高為AB＝12m，小樹高為CD＝6m，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鳥至少飛行10m．【題型4應用勾股定理解決大樹折斷前的高度】15.（2023春?西峰區(qū)校級期中）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有“折竹抵地”問題：今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺．問折者高幾何？意思是：如圖，有一根竹子，原高9尺，一陣風將竹子折斷，折斷后竹子頂端落在離竹子底部3尺遠的位置，求折斷處離地面的高度．【答案】4尺．【解答】解：設折斷處離地面的高度為x尺，則AB＝（9﹣x）尺，BC＝3尺．在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，即折斷處離地面的高度為4尺．16．圍墻內(nèi)一棵大樹被風吹歪后斜靠在旁邊的圍墻上，然后在圍墻的頂部被折斷，樹梢著地（如圖），已知圍墻高CD＝4m，樹的根部到圍墻的距離AD＝3m，樹梢著地點到圍墻的距離BD＝8m，CD⊥AB．求大樹折斷前的高度．【答案】大樹折斷前的高度為（5+4）m．【解答】解：在Rt△ACD中，CD＝4m，AD＝3m，AC2＝AD2+CD2＝32+42＝25，∴AC＝5（m），在Rt△BCD中，CD＝4m，BD＝8m，BC2＝BD2+CD2＝82+42＝80，∴，∴，因此，大樹折斷前的高度為（5+4）m．17．（2022春?新羅區(qū)期中）如圖，一根竹子高10尺，折斷后竹子的頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面的高度是多少尺？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設桿子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝．答：折斷處離地面的高度是尺．【題型5應用勾股定理解決水杯中的筷子問題】18．（2023春?西豐縣期中）如圖，一支筆放到圓柱形筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支筆長18cm，則這支筆在筆筒外面部分的長度是（）A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【答案】C【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長度為3cm．故選：C．19．（2022秋?雁峰區(qū)校級期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這支鉛筆的長度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】D【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），則這支鉛筆的長度大于15cm．故選：D．20．（2022春?東莞市月考）一只17cm的鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，那么這根鉛筆露在筆筒外的部分長度x的范圍是（）A．2≤x≤5cm B．6≤x≤9cm C．9≤x≤12cm D．12≤x≤15cm【答案】A【解答】解：當鉛筆與筆筒底垂直時x最大，x最大＝17﹣12＝5（cm）．當鉛筆如圖放置時x最?。赗t△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝122+92＝152，∴AC＝15，∴x＝17﹣15＝2（cm）．∴x的取值范圍：2cm≤x≤5cm．故選：A．21．（2022春?昭化區(qū)期末）如圖，將一根長為16cm的橡皮筋固定在筆直的木棒上，兩端點分別記為A，B，然后將中點C向上豎直拉升6cm至點D處，則拉伸后橡皮筋的長為（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；故拉伸后橡皮筋的長為20cm．故選：A．22．（2023春?渝北區(qū)月考）將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16【答案】D【解答】解：如圖，當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，∴h＝24﹣8＝16cm；當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，∴此時h＝24﹣17＝7，所以h的取值范圍是7≤h≤16．故選：D．23．（2022春?襄州區(qū)期末）如圖，一個直徑為10cm的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，當筷子倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端剛好觸到杯口，筷子長度為（）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】C【解答】解：設杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，∵杯子的直徑為10cm，∴杯子半徑為5cm，∴x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，12+1＝13（cm）．答：筷子長13cm．故選：C．【題型6應用勾股定理解決航海問題】24．（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，甲貨船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，乙貨船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后兩船之間的距離是（）A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里【答案】A【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC＝90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了AB＝16×2＝32（海里），AC＝12×2＝24（海里），根據(jù)勾股定理得BC＝＝＝40（海里）．故選：A．25．（2021秋?灤州市期末）如圖，從筆直的公路l旁一點P出發(fā)，向西走6km到達l；從P出發(fā)向北走6km也到達l．下列說法錯誤的是（）A．公路l走向是南偏西45° B．公路l走向是北偏東45° C．從點P向北走3km后，再向西走3km到達l D．從點P向北偏西45°走3km到達l【答案】D【解答】解：如圖，由題意可得△PAB是腰長6km的等腰直角三角形，則AB＝6km，如圖所示，過P點作AB的垂線PC，則PC＝3km，則從點P向北偏西45°走3km到達l，選項D錯誤；則公路l的走向是南偏西45°或北偏東45°，選項A，B正確；則從點P向北走3km后到達BP中點D，此時CD為△PAB的中位線，故CD＝AP＝3km，故再向西走3km到達l，選項C正確．故選：D．26．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，兩船相距（）A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里【答案】A【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC＝90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了16×2＝32海里，12×2＝24海里，根據(jù)勾股定理得：＝40（海里）．故選：A．27．（2022春?北京期中）一艘船以20海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船以15海里/時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1小時后，它們相距25海里．【答案】25．【解答】解：如圖，∵由圖可知AC＝20×1＝20（海里），AB＝15×1＝15（海里），在Rt△ABC中，BC＝＝＝25（海里）．故它們相距25海里．故答案為：25． 28．（2022秋?高陵區(qū)期中）如圖，甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時的速度向北偏東42°方向航行，乙船向南偏東48°方向航行，0.5小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C，B兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是30海里/時．【解答】解：根據(jù)題意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），在Rt△ABC中（海里），乙船的航速是：（海里/時），答：乙船的航速是30海里/時．29．（2022春?天門校級期中）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西23°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×＝12（海里），BC＝50×＝5（海里），∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向為北偏東67°；（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為：120×＝6（海里），乙巡邏船航行3分鐘的路程為：50×＝2.5（海里），3分鐘后，甲乙兩巡邏船相距為：＝6.5（海里）．【題型7應用勾股定理解決河的寬度】30．（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道通一條公路到C處，已知點C與公路上的?？空続的距離為6km，與公路上另一?？空綛的距離為8km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的長；（2）若公路CD建成后，一輛貨車由C處途經(jīng)D處到達B處的總路程是多少km？【答案】（1）修建的公路CD的長為km；（2）貨車由C處途經(jīng)D處到達B處的總路程為km．【解答】解：（1）∵AC＝6km，BC＝8km，AC⊥BC，∴AB＝＝10（km），∵S△ABC＝AC?BC＝AB?DC，∴6×8＝10×CD，∴CD＝（km）答：修建的公路CD的長為km；（2）∵CD＝km，BC＝8km，∴BD＝＝（km），∴貨車由C處途經(jīng)D處到達B處的總路程為：CD+BD＝+＝（km）．31．（2022春?封開縣期末）湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹，數(shù)學興趣小組設計實驗測量兩棵景觀樹之間的距離，他們在與AB垂直的BC方向上取點C，測得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）兩棵景觀樹之間的距離；（2）點B到直線AC的距離．【答案】（1）40米；（2）24米【解答】解：（1）在Rt△ABC，AB＝＝40（米），∴兩棵景觀樹之間的距離為40米；（2）過點B作BD⊥AC于點D，∵S△ABC＝，∴，∴BD＝24（米），∴點B到直線AC的距離為24米．32．（2022春?合川區(qū)校級期中）筆直的河流一側(cè)有一營地C，河邊有兩個漂流點A，B、其中AB＝AC，由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長．【答案】（1）△BCH是直角三角形；（2）8千米．【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝82+62＝100，BC2＝100，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）設AC＝AB＝x千米，則AH＝AB﹣BH＝（x﹣6）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣6，CH＝8，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣6）2+82解這個方程，得x＝8，答：原來的路線AC的長為8千米．【題型8應用勾股定理解決汽車是否超速問題】33．（2022春?海滄區(qū)校級期中）某路段限速標志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過70km/h，如圖，一輛小汽車在該筆直路段l上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方30m的點C處，2s后小汽車行駛到點B處，測得此時小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m．（1）求BC的長．（2）這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【答案】（1）40m；（2）這輛小汽車超速了，理由見解析．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，∴BC＝＝＝40（m），答：BC的長為40m；（2）這輛小汽車超速了，理由如下：∵該小汽車的速度為40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h，∴這輛小汽車超速了．34.（2022春?新羅區(qū)校級月考）規(guī)定：小汽車的城市街路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，小汽車行駛到B點，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s＝3.6km/h）【答案】這輛小汽車超速了．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根據(jù)勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽車的速度為v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．【題型9應用勾股定理解決是否受臺風影響問題】35．（2022秋?太平區(qū)校級月考）某市創(chuàng)建文明城市，采用移動宣講的形式進行宣傳動員，如圖，筆直公路MN的一側(cè)點A處有一學校，學校A到公路MN的距離AB＝480米，若宣講車P周圍800米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路MN上沿M到N的方向行駛時．（1）請問學校A能否聽到宣傳，請說明理由．（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是256米/分，求學校A總共能聽到多長時間的宣傳．【答案】（1）學校A能聽到宣傳，理由見解答部分；（2）學校A總共能聽到5分鐘的宣傳．【解答】解：（1）學校能聽到宣傳，理由：∵學校A到公路MN的距離為480米＜800米，∴學校能聽到宣傳；（2）如圖：假設當宣講車行駛到P點開始影響學校，行駛到Q點結束對學校的影響，則AP＝AQ＝800米，AB＝480米，∴BP＝BQ＝＝640（米），∴PQ＝1280米，∴影響學校的時間為：1280÷256＝5（分鐘），∴學校A總共能聽到5分鐘的宣傳．36．（2022?成武縣校級開學）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A4m．（1）求旗桿距地面多高處折斷；（2）工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25m的點D處，有一明顯裂痕，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險？【答案】（1）3米；（2）6米．【解答】解：（1）由題意可知：AC+BC＝8米，∵∠A＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，又∵AB＝4米，∴AC＝3米，BC＝5米，故旗桿距地面3米處折斷；（2）如圖，∵D點距地面AD＝3﹣1.25＝1.75米，∴B'D＝8﹣1.75＝6.25米，∴AB′＝米，∴距離桿腳周圍6米大范圍內(nèi)有被砸傷的危險．37．（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，有一臺環(huán)衛(wèi)車沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學校持續(xù)的時間有多少分鐘？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）學校C會受噪聲影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，∴學校C會受噪聲影響．（2）當EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時，正好影響C學校，∵ED＝（m），∴EF＝100（m），∵環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，∴100÷50＝2（分鐘），即環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學校持續(xù)的時間有2分鐘．38．（2022春?彭州市校級期中）森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？【答案】（1）著火點C受灑水影響．理由見解析；（2）著火點C能被撲滅．【解答】解：（1）著火點C受灑水影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，由題意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC?BC＝CD?AB，∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響，∴著火點C受灑水影響；（2）當EC＝FC＝500m時，飛機正好噴到著火點C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飛機的速度為10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴著火點C能被撲滅，答：著火點C能被撲滅．【題型10應用勾股定理解決選扯距離相離問題】39．（2022秋?蘇州期中）“三農(nóng)”問題是關系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設美麗中國的關鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點相距50km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E應建在距A多少千米處？并判斷此時△DEC的形狀，請說明理由．【答案】△DEC是等腰直角三角形，理由見解析；市場E應建在離A點20km的位置．【解答】解：△DEC是等腰直角三角形，理由：設AE＝x，則BE＝50﹣x，在直角△ADE中，DE2＝302+x2，在直角△CBE中，CE2＝202+（50﹣x）2，解得x＝20km，即AE＝20