3.1 函數(shù)的概念及表示（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練必修一

3.1函數(shù)的概念及表示（精練）1．（2022秋·廣東佛山）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)形式可知，函數(shù)的定義需滿足，解得：且，所以函數(shù)的定義域為.故選：B2．（2023春·遼寧）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，所以，要使函數(shù)有意義，則解得.故選：D3．（2022·江西贛州·）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為的定義域是，所以，根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法，在函數(shù)中，，解得或.故選：D.4．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.故選:C.5．（2023·全國·高一專題練習）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】對選項A，因為定義域為R，定義域為R，定義域相同，但，所以，不是同一函數(shù)，故A錯誤；對選項B，因為定義域為R，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故B錯誤；對選項C，因為定義域為，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故C錯誤；對選項D，因為定義域為R，定義域為R，又，所以，是同一函數(shù)，故D正確.故選：D6．（2023春·上海青浦·高一統(tǒng)考開學考試）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】對于A，與定義域均為，所以，與為相等函數(shù)，A正確；對于B，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，B錯誤；對于C，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，C錯誤；對于D，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，D錯誤.故選：A.7．（2022·全國·高一專題練習）下列函數(shù)中，值域是的是（）A． B．，C．， D．【答案】D【解析】對選項A：，即函數(shù)的值域為，錯誤；對選項B：，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即函數(shù)的值域為，錯誤；對選項C：函數(shù)的定義域為，函數(shù)的，值域不連續(xù)，錯誤；對選項D：，函數(shù)的值域為.故選：D8．（2023春·寧夏銀川·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）某同學離家去學校，為了鍛煉身體，開始跑步前進，跑累了再走余下的路程，圖中d軸表示該學生離學校的距離，t軸表示所用的時間，則符合學生走法的只可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意可知，關于的函數(shù)圖象呈下降趨勢，故A和C都不正確；由于該同學是先跑后走，所以關于的函數(shù)圖象下降速度是先快后慢，故B不正確，D正確.故選：D．9．（2023·云南）（多選）下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【解析】由函數(shù)的定義可知，對任意的自變量，有唯一的值相對應，選項B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對多的情況，其中選項A、C、D皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).故選：ACD10．（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）下列各組函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ABD【解析】對于A，的定義域是，的定義域是R，定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯；對于B，與的對應關系不同，故不是同一函數(shù)，B錯；對于C，經(jīng)過化簡可知兩函數(shù)的解析式與定義域都一樣，所以為同一函數(shù)，C對；對于D，的定義域是，的定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)，D錯.故選：ABD11．（2022秋·甘肅蘭州·高一?？计谥校ǘ噙x）下列函數(shù)定義域和值域相同的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】對于A；的定義域為,值域也為，故A正確，對于B；的定義域為,值域為,故B錯誤，對于C；定義域為，值域為，故C正確，對于D；的定義域為和值域均為，故D正確，故選：ACD12．（2022·高一課時練習）（多選）甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程y（km）與時間x（min）的關系，下列結論正確的是（

）

A．甲同學從家出發(fā)到乙同學家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．當0≤x≤30時，y與x的關系式為D．當30≤x≤60時，y與x的關系式為【答案】BCD【解析】由圖象可知，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，故A錯誤，由題中圖象可知，甲從家到公園的時間是30min，故B正確，當0≤x≤30時，設y＝kx（k≠0），則2＝30k，解得k，故C正確，當30≤x≤60時，設y＝kx+b，直線過點（40，2），（50，3），則，故y與x的關系式為，故D正確．故選：BCD13．（2023·廣東河源）（多選）下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由圖像可知ACD選項的圖像滿足一一對應，一個有唯一的與之對應，選項B表示的是一個圓，不滿足一一對應，除左右與軸的交點外，一個有兩個與之對應，故選項B不能表示y是x的函數(shù).故選：ACD.14．（2022春·北京·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域為______.【答案】【解析】要使有意義，則，解得，且；即，且，所以的定義域為.故答案為：15．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若函數(shù)的定義域為[－2,1]，則的定義域為________，的定義域為________．【答案】【解析】滿足，解得，即，即函數(shù)的定義域為.由，得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：；.16．（2023·浙江）（1）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．（2）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】（1）令，則，因為函數(shù)的定義域為，所以，所以函數(shù)的定義域為．（2）令，，則，．因為函數(shù)的定義域為，所以，所以函數(shù)的定義域為，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為．故答案為：；17（2023甘肅）試求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)，(2)(3)(4)【答案】(1)定義域為，值域為.(2)定義域為，值域為(3)定義域為，值域.(4)定義域是，值域.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，則，同理可得，，，，所以函數(shù)的值域為.（2）函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)的值域為.（3）函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)的值域為.（4）要使函數(shù)有意義，需滿足，即，故函數(shù)的定義域是.設，則，于是，又，所以，所以函數(shù)的值域為.18．（2022·高一單元測試）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求的解析式．（5）已知的定義在R上的函數(shù)，，且對任意的實數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（5）【解析】（1）因為，所以．（2）方法一

設，則，，即，所以，所以．方法二

因為，所以．（3）因為是二次函數(shù)，所以設．由，得c＝1．由，得，整理得，所以，所以，所以．（4）用－x替換中的x，得，由，解得．（5）方法一令，則，所以．方法二令，則，即，令，則19．（2022·全國·高一假期作業(yè)）甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家．如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達乙家為止經(jīng)過的路程y（km）與時間x（分）的關系．試寫出y＝f（x）的函數(shù)解析式．【答案】f（x）＝【解析】當x∈[0，30]，設y＝k1x＋b1，由已知得∴k1＝，b1＝0，y＝x；當x∈（30，40）時，y＝2；當x∈[40，60]時，設y＝k2x＋b2，由已知得∴k2＝，b2＝－2，y＝x－2.∴f（x）＝20．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值；(3)請在給定的坐標系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域和值域．【答案】(1)(2)或(3)作圖見解析，定義域為，值域為．【解析】（1）解：因為所以．（2）解：當時，，不合題意，應舍去；當時，，解之得或（舍）；當時，，則，綜上，或．（3）解：由題可作圖如下：則函數(shù)定義域為，值域為．21．（2022秋·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)容山中學?？计谥校┮阎瘮?shù)(1)求；(2)若，求的值；(3)在給定的坐標系中，作出函數(shù)的圖像.【答案】(1)，(2)或或(3)答案見解析【解析】（1），（2）當時，，因為，得；當時，，因為，得；當時，，因為，得，綜上所述：或或（3）描點連線，作圖即可22．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的值域．(1)，；(2)；(3)，；(4)y＝；(5)y＝2x－.【答案】(1)(2)(3)(4)）(5).【解析】（1）函數(shù)的定義域為，因為，，，所以該函數(shù)的值域為．（2）函數(shù)的定義域為R，因為，所以該函數(shù)的值域為.（3）函數(shù)的定義域為，，所以該函數(shù)的值域為.（4），顯然，所以y≠2.故函數(shù)的值域為.（5）令，則，

所以，由t≥0，再結合函數(shù)的圖象（如圖），可得函數(shù)的值域為.1．（2022·北京）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【解析】設題中函數(shù)為，則，當時，；當時，視其為關于x的二次方程，判別式，綜上，故值域為．故選：C.2．（2022秋·福建廈門）若函數(shù)的值域是，則此函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的值域是，所以當時，，當時，即，解得，所以函數(shù)的定義域為：，故選：D3．（2023·高一課時練習）已知集合，其中，函數(shù)的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為A，值域為B，所以當時，；當時，；當時，；當時，；所以，又，所以若，解得或，因為，所以.此時，所以，則；若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.4．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的值域為，則常數(shù)______．【答案】7或【解析】因為，所以，，即，因為函數(shù)的值域為，所以是方程的兩個根，所以，，解得或，所以7或.故答案為：7或.5．（2023·黑龍江哈爾濱）函數(shù)在上有意義，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意函數(shù)在上有意義，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，解得，故實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：6．（2023·廣東深圳）已知函數(shù)．(1)求與與；(2)由（1）中求得結果，你能發(fā)現(xiàn)與有什么關系？并證明你的發(fā)現(xiàn)；(3)求．【答案】(1)；(2)；證明見解析(3)【解析】（1）∵，∴，＝，，＝.（2）由（1）發(fā)現(xiàn).證明如下：＝++.（3）.由（2）知，，…，∴原式.7．（2023秋·高一單元測試）水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液，已知每投放且個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度克/升隨著時間天變化的函數(shù)關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗，當水中營養(yǎng)液的濃度不低于克/升時，它才能有效．(1)若只投放一次4個單位的營養(yǎng)液，則有效時間最多可能持續(xù)幾天？(2)若先投放2個單位的營養(yǎng)液，6天后再投放個單位的營養(yǎng)液，要使接下來的4天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值．【答案】(1)6天(2)2【解析】（1）因為一次投放4個單位的營養(yǎng)液，所以水中釋放的營養(yǎng)液濃度為，

．當時，，解得；．當時，，解得；．綜上求得，所以一