4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）（精講）一．函數(shù)的零點(diǎn)1.概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).2.函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：二.函數(shù)零點(diǎn)存在定理1.條件：①如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.2.結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.3.零點(diǎn)存在定理注意事項(xiàng)①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.這兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不一定成立.滿足上述兩個(gè)條件，則函數(shù)y＝f(x)的圖象至少穿過x軸一次，即方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根c，但不能確定有幾個(gè)，只有再借助于f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性才能確定f(x)在(a，b)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).三.二分法1.定義：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)x0的近似值的步驟：(1)確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0；(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；(3)計(jì)算f(c)，進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若f(c)＝0(此時(shí)x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)·f(c)<0(此時(shí)x0∈(a，c))，則令b＝c；③若f(c)·f(b)<0(此時(shí)x0∈(c，b))，則令a＝c.(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4).四．常見的函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）（x<m），,g（x）（x≥m）))一．求函數(shù)零點(diǎn)的兩種方法1.代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn).2.幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).二．確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間1.解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.2.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).3.數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.三．判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法1.利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn).2.畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3.結(jié)合單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).4.轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.四．已知函數(shù)有零點(diǎn)(方根有根)求參數(shù)值1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；2.分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3.數(shù)形結(jié)合，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.五．運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件1.函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷.2.在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號.只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn).考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)【例1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出零點(diǎn).(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)和1(2)(3)2(4)和【解析】（1）令，解得或.所以函數(shù)的零點(diǎn)為，1.（2）令，即，解得.所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（3）令，即，解得.所以函數(shù)的零點(diǎn)為2.（4）當(dāng)時(shí)，由，即，也就是，解得或.因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，由，即，解得，滿足.所以函數(shù)的零點(diǎn)為和.【一隅三反】1．（2023·陜西西安）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】令，得，則．故選：A2．（2023秋·福建莆田）設(shè)函數(shù)，則方程的解集為.【答案】【解析】函數(shù)，令，則方程化為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，因此或，當(dāng)時(shí)，，顯然，即，解得，當(dāng)時(shí)，，若，則，解得，若，則，解得，因此或，所以方程的解集為.故答案為：3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)零點(diǎn)是(2)不存在(3)零點(diǎn)是(4)零點(diǎn)是3【解析】（1）令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是；（2）令＝0，由于，所以方程無解，所以函數(shù)不存在零點(diǎn)；（3）令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是；（4）令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是3.考點(diǎn)二零點(diǎn)的區(qū)間【例2-1】（2023·全國·高一課堂例題）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，因?yàn)?，，，由的單調(diào)性可知，，則，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，即方程的根屬于區(qū)間．故選：C【例2-2】（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.【例2-3】（2020秋·陜西渭南）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，則.【答案】2【解析】由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，易知，而，所以,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以可得.故答案為：【一隅三反】1．（2023春·安徽亳州·高一校考期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，，，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C2．（2023春·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）若是函數(shù)的零點(diǎn)，則屬于區(qū)間（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即.又為上的減函數(shù)，由零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn).故選：B．3．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·）若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.考點(diǎn)三零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例3-1】6（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）方程解的個(gè)數(shù)為.【答案】1【解析】解法一：令，則；在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示.

由圖可知函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).故原方程只有1個(gè)解.解法二：因?yàn)?，，所以，說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以原方程只有一個(gè)解.故答案為：1【例3-2】（2023·全國·高一課堂例題）若方程有一解，則的取值范圍為．【答案】【解析】函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向下平移一個(gè)單位長度后，再把位于軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方得到的，函數(shù)圖象如下圖所示，

當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有唯一的交點(diǎn)，即方程有一解．故答案為：.【一隅三反】1．（2023·全國·高一課堂例題）方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的大致圖像，如圖由圖像，可觀察出兩個(gè)函數(shù)圖像共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故方程有兩個(gè)根．

故選：C.2．（2023春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】【解析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的解得個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示，

由圖象可知：函數(shù)與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：.3．（2023·陜西渭南）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題設(shè)與有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)的解析式，可得其圖象如下：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故答案為：4．（2023湖南）已知函數(shù)，，且有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從2減小到0，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從0增大到1，當(dāng)時(shí)，在上遞減，函數(shù)值從1減小到，在上遞增，函數(shù)值集合為，由，得，因此函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：考點(diǎn)四比較零點(diǎn)的大小【例4】（2022秋·四川綿陽·高一四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校考期末）設(shè)正實(shí)數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，，作出的圖像如圖所示：它們與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由圖像可得，故選：B【一隅三反】1．（2023·浙江溫州）已知，且是方程的兩根，則大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由題意得，，而，借助圖象可知，的大小關(guān)系可能是，故選：D.2．（2022秋·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意令，即，同理可得，，則函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為、、與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)圖象如下：由圖可得，，，即.故選：D3．（2023·福建福州）已知方程、、的根分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，由方程得的根為a，由方程得的根為b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象，由圖象知，，，.故選：B考點(diǎn)五零點(diǎn)之和【例5-1】（2023安徽）是上的偶函數(shù)，若方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這些根之和為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，那么，即有5個(gè)實(shí)數(shù)根，可知其中4個(gè)實(shí)數(shù)根，有兩對關(guān)于軸對稱，另外一個(gè)為，所以這些根的和為0.故選：C【例5-2】（2023秋·河北保定·高一保定市第三中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意作函數(shù)與的圖象如下，∵方程有四個(gè)不同的解，且，∴關(guān)于對稱，即，當(dāng)?shù)没?，則，故，故選：A.【一隅三反】1．（2023福建）若是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則=.【答案】【解析】因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以的兩根為，所以，所以.故答案為：2．（2023·貴州畢節(jié)）已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為．【答案】【解析】設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，得；②當(dāng)時(shí)，，得；綜上所述：若，則或.故或，則有：①由，可得或，解得或；②由，可得或，解得或；綜上所述：函數(shù)的所有零點(diǎn)為，，，4.故所有零點(diǎn)的和為．故答案為：.3．（2023秋·四川成都）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的根，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】由題意，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，由函數(shù)向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度而得到的，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.而所表示的直線也關(guān)于點(diǎn)對稱，所以方程的三個(gè)實(shí)根中必有一個(gè)為1，另外兩個(gè)關(guān)于對稱，所以.故選：D.考點(diǎn)六二分法【例6-1】（2023秋·江蘇淮安）已知函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使零點(diǎn)的近似值精確到0.1，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.6【答案】C【解析】由題意可知，對區(qū)間內(nèi)，需要求解的值，然后達(dá)到零點(diǎn)的近似值精確到，所以零點(diǎn)的近似解為，共計(jì)算次.故選：C【例6-2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求方程的近似解，精確度為，則終止條件為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，用二分法求方程的近似解，若要求的精確度為，當(dāng)時(shí)，即表示滿足精度要求，可以確定近似解．故選：B【例6-3】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法可以求得方程的近似解(精確度為0.1)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，記其零點(diǎn)為，易知，所以，又，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，所以區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)均可作為方程的近似解.故選：D【一隅三反】1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號零點(diǎn)，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A，B，D都符合條件，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)．故選：C.2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可選為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，則，即初始區(qū)間可選．故選：C.3（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，要使零點(diǎn)的近似值精確度為，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次， B．6次，C．7次， D．7次，【答案】D【解析】由題中數(shù)據(jù)知，零點(diǎn)區(qū)間變化如下：，此時(shí)區(qū)間長度小于，在區(qū)間內(nèi)取近似值，最少等分了7次，近似解取.故選：D.4．（2023·全國·高一課堂例題）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因?yàn)殚_區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，所以?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，令，解得，且，故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.故選：C.考點(diǎn)七函數(shù)模型的應(yīng)用【例7-1】（2023·遼寧大連）為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時(shí)尚，假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年【答案】C【解析】設(shè)2020后第x年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元，則，即，解得，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是2026．故選：C．【例7-2】（2022秋·江蘇南通·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）某打車平臺欲對收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制定了甲?乙兩種方案供乘客選擇，其支付費(fèi)用與打車?yán)锍虜?shù)的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)打車距離為時(shí)，乘客選擇乙方案省錢B．當(dāng)打車距離為時(shí)，乘客選擇甲?乙方案均可C．打車以上時(shí)，每公里增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多D．甲方案內(nèi)（含）付費(fèi)5元，行程大于每增加1公里費(fèi)用增加0.7元【答案】BC【解析】對于A，當(dāng)打車距離為時(shí)，甲對應(yīng)的函數(shù)圖象在乙圖象的下方，即甲對應(yīng)的函數(shù)值小于乙對應(yīng)的函數(shù)值，故當(dāng)打車距離為時(shí)，乘客選擇甲方案省錢，即A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)打車距離為時(shí)，由圖可知，甲、乙均為12元，因此乘客選擇甲?乙方案均可，即B正確；對于C，打車以上時(shí)，甲方案每公里增加的費(fèi)用為（元），乙方案每公里增加的費(fèi)用為（元），故每公里增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多，即C正確；對于D，由圖可知，甲方案內(nèi)（含）付費(fèi)5元，行程大于每增加1公里費(fèi)用增加1元