5.5 三角恒等變換（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

5.5三角恒等變換（精講）兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ-----“同名相乘，符號(hào)反”2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ-----“異名相乘，符號(hào)同”3.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)---------“上同號(hào)，下1異號(hào)相乘”二．二倍角公式（1）sin2α＝2sinαcosα?12sin2α＝sinα（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)三.輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符號(hào)確定，或者sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).一．給值求值(1)在解決此類題目時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧，同時(shí)分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角，具體做法是：①當(dāng)條件中有兩角時(shí)，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差；②當(dāng)條件中只有一個(gè)已知角時(shí)，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.(2)此類問題中，角的范圍不容忽視，解題時(shí)往往需要根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍.二．給值求角在選三角函數(shù)時(shí)，可按以下原則：一般地，已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，選正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都可；若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦函數(shù)比余弦函數(shù)好；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)比正弦函數(shù)好.三．探究三角函數(shù)式化簡、證明(1)化簡的要求①能求出值的應(yīng)求出值②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少③盡量使項(xiàng)數(shù)最少④盡量使分母不含三角函數(shù)⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).（2）化簡的思路①對(duì)于和式，基本思路是降次、消項(xiàng)和逆用公式②對(duì)于三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式③對(duì)于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，還可以用切化弦、變量代換、角度歸一等方法.四．證明三角恒等式的原則與步驟(1)觀察恒等式的兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡單，高次降低次，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明恒等式的一般步驟：①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.考點(diǎn)一兩角和差公式的正用和逆用【例1】（2023春·山東青島·高一統(tǒng)考期中）下列等式成立的為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·四川綿陽·高一三臺(tái)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期中）等于（

）A．B．C．D．3．（2023春·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┑闹禐?4．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）.5．（20223·山西大同）計(jì)算：A． B． C． D．6．（2023春·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）（

）A．1 B． C．3 D．考點(diǎn)二兩角和差公式--給值求值【例2-1】（2023春·海南·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┮阎牵?，則（

）A． B． C． D．【例2-3】（2023春·陜西西安·高一長安一中校考期中）已知為銳角，，則（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎叶际堑诙笙藿牵瑒t（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知都是銳角，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）若為銳角，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，，則的值為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三兩角和差公式--給值求角【例3】（2022春·遼寧大連·高一大連八中?？计谥校┮阎J角滿足，則等于（

）A． B．或 C． D．【一隅三反】1．（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省當(dāng)涂第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，，，，則.2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，其中，，則，.3．（2023春·高一單元測(cè)試）已知，且，，求的值．考點(diǎn)四二倍角公式的正用和逆用【例4】（2023春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）（多選）下列各式中，值為的是（

）A．B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校校考階段練習(xí)）（多選）下列三角式中，值為的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·四川宜賓·高一校考期中）（多選）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·廣東佛山·高一北滘中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）下列各式中，值為的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五二倍角給值求值【例5】（2023湖南）已知，則.【一隅三反】1．（2023春·四川宜賓·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六三角函數(shù)式的化簡與證明【例6-1】（2022春·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）.【例6-2】（2023春·江蘇徐州·高一?？计谥校┣笞C下列恒等式：(1)；(2)【一隅三反】1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）化簡．2．（2023春·江蘇·高一專題練習(xí)）.3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)；(2)．考點(diǎn)七輔助角公式研究三角函數(shù)性質(zhì)【例7】（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的值域．【一隅三反】1．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的