第4章根軌跡法

第四章根軌跡法Chapter4ROOTLOCUS4.3廣義根軌跡的繪制在控制系統(tǒng)中，除了根軌跡增益作為自變量的情況以外，其他情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。如系統(tǒng)的參量根軌跡、開環(huán)傳遞函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的根軌跡、零度根軌跡等均可列入廣義根軌跡這個(gè)范疇。本節(jié)分別介紹參量根軌跡和零度根軌跡的繪制方法。4.3.1參量根軌跡在繪制根軌跡時(shí)，如果可變參數(shù)不是根軌跡增益而是其他參數(shù)(例如，某一校正元件的時(shí)間常數(shù))，則所得的根軌跡稱為參量根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)的根軌跡的法則完全相同。在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)概念，則常規(guī)根軌跡的所有繪制法則，均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。為此，需要對(duì)閉環(huán)特征方程進(jìn)行等效變換，將其寫成如下形式其中A為除K外，系統(tǒng)任意的變化參數(shù)，而和為兩個(gè)與A無關(guān)的多項(xiàng)式。顯然等效的單位反饋系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為“等效”的含義僅在閉環(huán)極點(diǎn)相同這一點(diǎn)上成立，而閉環(huán)零點(diǎn)一般是不同的。例4-5一雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖如圖所示，試?yán)L制以α為參變量的根軌跡。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2其中，的極點(diǎn)為，零點(diǎn)為0。，不難證明該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓弧，其方程為。例4-6一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以K和α為參變量的根軌跡。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1、先令，則上式變成或?qū)懽髁?/p>

據(jù)此做出對(duì)應(yīng)的根軌跡。這是時(shí)，以K為參變量的根軌跡。2、其次考慮，把閉環(huán)特征方程改寫成令

比較，可知的開環(huán)極點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，因而對(duì)應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)都在的根軌跡曲線上。為了做出對(duì)應(yīng)的根軌跡，通常先令K為某一定值，然后根據(jù)零、極點(diǎn)的分布做出參變量時(shí)的根軌跡。如令K=4，則

它的極點(diǎn)為±j2，零點(diǎn)為0。不難證明，對(duì)應(yīng)特征方程的根軌跡也為一圓弧，其方程為4.3.2

零度根軌跡非最小相位系統(tǒng)：在平面右半平面具有開環(huán)極點(diǎn)(或零點(diǎn))的反饋系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)：若反饋系統(tǒng)的全部開環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)均位于平面左半平面零度根軌跡的來源有兩個(gè)方面：（1）非最小相位系統(tǒng)中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；（2）控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。1正反饋回路的根軌跡

在某些控制系統(tǒng)中，其內(nèi)環(huán)可能是一個(gè)正反饋內(nèi)回路，如下圖所示。當(dāng)具有正反饋內(nèi)回路的控制系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，其傳遞函數(shù)中就有極點(diǎn)在s的右半平面。這里僅討論正反饋內(nèi)回路部分根軌跡的繪制。圖中所示內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

相應(yīng)的特征方程為即由上式可知，正反饋回路根軌跡的幅值條件與負(fù)反饋回路完全相同，但其相角卻變?yōu)榛谏鲜剿镜南嘟堑奶攸c(diǎn)，因而稱相應(yīng)的根軌跡為零度根軌跡。在繪制零度根軌跡時(shí)，需要對(duì)4.2節(jié)中涉及相角條件的規(guī)則作如下的修改。規(guī)則3’實(shí)軸上線段成為根軌跡的充要條件(K≥0)是該線段右方實(shí)軸上開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之和為偶數(shù)。規(guī)則4’漸近線與實(shí)軸的夾角為規(guī)則6’開環(huán)共軛極點(diǎn)的出射角與開環(huán)共軛零點(diǎn)的入射角為2含有非最小相位元件的系統(tǒng)的根軌跡

在繪制系統(tǒng)中含有非最小相位元件的根軌跡時(shí)，必須注意開環(huán)傳遞函數(shù)(分母或分子)中是否含有s最高次冪為負(fù)系數(shù)的因子。若有，則根軌跡的相角條件就變?yōu)橛上率饺ケ碚?，因而所繪制的將是零度根軌跡。設(shè)一非最小相位系統(tǒng)如下圖所示