廣西部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）

2024年秋季學(xué)期高二入學(xué)檢測(cè)卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)第一章1.1—1.2.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)與所在象限即可.【詳解】，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.2.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的充要條件,列方程求解即得.【詳解】由可得，，因，故，解得.故選：D.3.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理可得，代入計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理，得.故選：D.4.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得傾斜角.【詳解】因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以它的傾斜角為.故選:A5.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，圖象的對(duì)稱軸與圖象的對(duì)稱軸重合，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)平移得出函數(shù)解析式，再根據(jù)圖像的對(duì)稱性求出參數(shù)即可判斷.【詳解】由題意得，與函數(shù)對(duì)稱軸相同，則，得，所以的值可能為.故選：C.6.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合整體代入思想求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，而，在中，，所以，故，由余弦定理得，代入得，，故，故，故B正確.故選：B7.若，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】由兩角差的正弦、余弦、正切公式展開(kāi)化簡(jiǎn)即可.詳解】由題意得，則故選：B8.已知圓錐在正方體內(nèi)，，且垂直于圓錐的底面，當(dāng)該圓錐的底面積最大時(shí)，圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖所示，取的中點(diǎn)，分別記為，，連接，根據(jù)題意分析出當(dāng)圓錐底面與正六邊形相內(nèi)切時(shí)，圓錐底面積最大，結(jié)合正方體性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，分別記為，，連接.根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，此時(shí)的中點(diǎn)為該正六邊形的中心，且平面，當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)，該圓錐的底面積最大.設(shè)此時(shí)圓錐的底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，所以，圓錐的底面積，圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由正方體的性質(zhì)確定圓錐底面面積最大值，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出圓錐的底面半徑.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若空間幾何體的頂點(diǎn)數(shù)和空間幾何體的頂點(diǎn)數(shù)之和為12，則和可能分別是（）A.三棱錐和四棱柱 B.四棱錐和三棱柱C.四棱錐和四棱柱 D.五棱錐和三棱柱【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由三棱錐的頂點(diǎn)數(shù)為4個(gè)，四棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，所以兩個(gè)幾何體的頂點(diǎn)數(shù)之和為12個(gè)，符合題意；對(duì)于B中，由四棱錐的頂點(diǎn)數(shù)為5個(gè)，三棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為6個(gè)，所以兩個(gè)幾何體的頂點(diǎn)數(shù)之和為11個(gè)，不符合題意；對(duì)于C中，由四棱錐的頂點(diǎn)數(shù)為5個(gè)，四棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，所以兩個(gè)幾何體的頂點(diǎn)數(shù)之和為13個(gè)，不符合題意；對(duì)于D中，由五棱錐頂點(diǎn)數(shù)為6個(gè)，三棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為6個(gè)，所以兩個(gè)幾何體的頂點(diǎn)數(shù)之和為12個(gè)，符合題意.故選：AD.10.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C.的虛部為3 D.【答案】BCD【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)除法得復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)化形式，對(duì)于A，由共軛復(fù)數(shù)概念即可得解；對(duì)于B，由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可得解；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)的虛部概念可得解；對(duì)于D，由復(fù)數(shù)乘法以及共軛復(fù)數(shù)定義即可得解.【詳解】由題得，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，復(fù)數(shù)的虛部為3，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BCD.11.對(duì)于直線與圓，下列說(shuō)法不正確的是（）A.過(guò)定點(diǎn)B.的半徑為9C.與可能相切D.被截得的弦長(zhǎng)最小值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)含參直線方程求定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓的半徑判斷B；判斷直線過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷C；當(dāng)與點(diǎn)2,3和圓心的連線垂直時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最小，計(jì)算可求弦長(zhǎng)的最小值判斷D.【詳解】可變形為，由，得，所以直線過(guò)定點(diǎn)2,3，故A正確；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑為3，故B不正確；由，所以點(diǎn)2,3在圓的內(nèi)部，所以與相交，不會(huì)相切，故C不正確；當(dāng)與點(diǎn)2,3和圓心的連線垂直時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最小.因?yàn)辄c(diǎn)2,3和圓心連線的斜率為，所以，解得，此時(shí)的方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)列式求參即可.【詳解】由復(fù)數(shù)純虛數(shù)可得，解得.故答案為：1.13.已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用投影向量的定義計(jì)算可求得投影向量.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為，所以，故在方向上投影向量為.故答案為：.14.在四棱錐中，底面為菱形，，點(diǎn)到的距離均為2，則四棱錐的體積為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】首先可得為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作底面的垂線，與底面交于點(diǎn)，作，分別垂直于，，即可證明平面，從而得到，，依題意可得，即可求出，再由錐體的體積計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍业酌鏋榱庑?，所以為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作底面的垂線，與底面交于點(diǎn)，作，分別垂直于，，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，，則，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離均為，所以，則，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是證明，，從而得到.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知直線，直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計(jì)算即可求參，再檢驗(yàn)是否重合；（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計(jì)算即可求參.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，整理得解得?當(dāng)時(shí)，重合；當(dāng)時(shí)，，符合題意.故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以解得?16.已知圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）判斷圓C：與圓的位置關(guān)系.【答案】（1）.（2）圓與圓相交.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）由圓的方程可確定兩圓圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和差關(guān)系可得兩圓位置關(guān)系；【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，則解得故圓的方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】圓的圓心為，半徑為4.圓的圓心為，半徑為3.設(shè)兩圓圓心的距離為，則.因?yàn)?，所以圓與圓相交.17.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，后求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，后借助向量夾角公式求出，進(jìn)而得出異面直線與所成角的余弦值.（2）運(yùn)用等體積轉(zhuǎn)化法，借助向量求到平面的距離，再用三棱錐體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，正方體中,為的中點(diǎn)，連接交于O，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)，知道垂直于上下底面，且，則兩兩垂直.則可以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于棱長(zhǎng)為2，則面對(duì)角線為.因此涉及的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)為，則.則，則異面直線與所成角的余弦值為的余弦值為.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，知道，顯然由正方體結(jié)構(gòu)特征知，面，則到平面的距離為.故.故三棱錐的體積為.18.在中，角的對(duì)邊分別是，已知.（1）證明：.（2）若的面積為1，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)和差角公式可得，即可利用正弦定理邊角互化求解，（2）根據(jù)面積公式可得，進(jìn)而可得，由余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由可得，故，,即,由正弦定理可得，故【小問(wèn)2詳解】由可得，故結(jié)合得,故，又,故，故，由余弦定理可得19.如圖，圓臺(tái)的上底面直徑，下底面直徑，母線.（1）求圓臺(tái)的表面積與體積；（2）若圓臺(tái)內(nèi)放入一個(gè)圓錐和一個(gè)球，其中在圓臺(tái)下底面內(nèi)，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，求球體積的最大值.【答案】（1）表面積為，體積為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓臺(tái)表面積以及體積公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用圓錐與圓臺(tái)的位置關(guān)系求得圓錐體積最大值，再根據(jù)圓內(nèi)切條件可得球的最大半徑為，即可求得球體積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由上、下底面直徑可得上底面面積為，下底面面積，圓臺(tái)側(cè)面積為；所以圓臺(tái)的表面積為.取圓臺(tái)軸截面