江西省九江市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源秘密★啟用前九江市2022—2023學(xué)年度下學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共22道小題,時間120分鐘,滿分150分.第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.若,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式計算可得.【詳解】因為,所以.故選:C2.()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將拆分成,然后利用兩角差的正弦余弦公式展開計算即可.【詳解】因為.故選:D.3.如圖,正方體中,是底面的中心,,,,分別為棱,,,的中點,則下列與垂直的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點,連接、、、,即可證明平面,從而判斷B,再由平行得到異面直線所成角,即可判斷A、C,利用反證法說明D.【詳解】取的中點,連接、、、,根據(jù)正方體的性質(zhì)可得,,,所以為異面直線與所成角,設(shè)正方體的棱長為,則,,,所以,所以,顯然,故直線與不垂直,故A錯誤,因為,,所以,又,,平面,所以平面,平面,所以,所以,故B正確;取的中點,連接、,則且,又且,所以且,所以為平行四邊形,所以,所以為與所成的角,顯然,所以與不垂直,故C錯誤;連接,因為平面,平面,所以,若,,平面,所以平面,又平面,所以,顯然與不垂直,故假設(shè)不成立,所以與不垂直,故D錯誤;故選:B4.已知非零向量滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,得,化簡后可求出,然后利用夾角公式求解即可【詳解】因為,所以,得,設(shè)與的夾角為,因為,所以,因為,所以,故選:C5.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為,,所以,,所以,,所以.故選:D6.若,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意,利用三角恒等變換公式,化簡得到,求得,結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的基本關(guān)系式和倍角公式,可得因為,所以,整理得,即,因,可得,所以,則,所以.故選:A.7.把半徑為R的一圓形紙片,自中心處剪去中心角為120°的扇形后圍成一無底圓錐,則該圓錐的高為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,設(shè)無底圓錐的底面半徑為,由弧長公式可得,進而計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,設(shè)無底圓錐的底面半徑為,其母線長為,根據(jù)題意可知圓錐的側(cè)面展開圖為240°的扇形,則有,可得,故該圓錐的高.故選:C.8.在中,已知,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式化切為弦,可得,結(jié)合正弦定理及余弦定理即基本不等式求得的最小值,則答案可求.【詳解】,,可得,.又,,,可得,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,又,則,所以,的取值范圍為.故選:C.二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求的.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.)9.已知非零向量,,,則()A.若,則 B.若,則C.若,則,共線 D.若,則,共線【答案】BCD【解析】【分析】由向量數(shù)量積的定義即可判斷A,由向量數(shù)量積的運算律,代入計算,即可判斷B,由平面向量共線定理即可判斷C,由平面向量數(shù)量積的運算律代入計算,即可判斷D.【詳解】對于A,若,即,即,得不到,故A錯誤;對于B,若,則,所以,故B正確;對于C,若,且為非零向量,由平面向量共線定理可知,,共線,故C正確;對于D,若,設(shè)與的夾角為,則兩邊平方可得,,即,所以,則,所以,即與是共線且反向,故D正確;故選:BCD.10.若為第四象限角,則()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)為第四象限角,可得,的范圍,進而根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的正負(fù)即可判斷.【詳解】由于為第四象限角,所以,所以,,所以終邊落在第三、四象限以及軸負(fù)半軸上,終邊落在第二或第四象限的角,故BC正確,AD錯誤,故選:BC11.關(guān)于函數(shù),下列結(jié)論正確的是()A.是偶函數(shù) B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.的最大值為2【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可判斷A,根據(jù)即可判斷B,根據(jù)整體法即可判斷C,去掉絕對值根據(jù)輔助角公式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于A,的定義域為,且,故為偶函數(shù),故A正確,對于B,由于所以,故不是的周期,故B錯誤,對于C,當(dāng)時,,,故在區(qū)間上單調(diào)遞減,C正確,對于D,其中,所以取不到2,故D錯誤,故選:AC12.如圖,正方體中,,P為線段上的動點,則下列說法正確的是()A. B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】在正方體中,易得平面,可判定A正確;過點作,得到平面即為平面,結(jié)合與不垂直,可判定B不正確;由平面平面,證得平面,得到點到平面的距離等于點點到平面的距離,且為定值,可判定C正確;將繞著展開,使得平面與平面重合,連接,得到時,取得最小值,進而可判定D正確.【詳解】對于A中,如圖(1)所示,在正方體中,連接,連接,在正方形中,可得,由平面,平面,所以,因為且平面,所以平面,又因為平面,所以,連接,同理可證平面,因為平面,所以,因為且平面,所以平面,因為平面,所以,所以A正確;對于B中,當(dāng)點不與重合時,過點作,因為,所以,所以平面即為平面,如圖所示,在正方形中,與不垂直,所以與平面不垂直,所以B不正確;對于C中,分別連接,在正方體,因為,平面平面,所以平面,同理可證:平面,因為且平面,所以平面平面,因為平面,所以平面,又因為是上的一動點,所以點到平面的距離等于點到平面的距離,且為定值,因為的面積為定值,所以三棱錐的體積為定值,所以C正確;對于D中,將繞著展開,使得平面與平面重合,如圖(2)所示,連接,當(dāng)為和的交點時,即為的中點時,即時,取得最小值,因為正方體中,,可得,,等邊中,可得,在直角中,可得,所以的最小值為,所以D正確.故選:ACD.第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)13.已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,結(jié)合題意,列出不等式組,即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則滿足,解得,所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為:.14.已知向量,,則在方向上的投影數(shù)量為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量投影計算公式即可求解.【詳解】在方向上的投影為,故答案為:15.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,,則的面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊角化得,進而可得,由余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理可得,由于,所以,由得,故,所以,故的面積為,故答案為:16.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀,后人稱為“三角垛”.如圖“三角垛”共三層,最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球,每個球的半徑均為1且兩兩相切,則該“三角垛”的高度為______.【答案】【解析】【分析】依題意連接頂層1個球和底層邊緣3個球的球心得到一個正四面體,且該正四面體的棱長為,則該“三角垛”的高度為正四面體的高,求出正四面體的高,即可得解.【詳解】依題意連接頂層1個球和底層邊緣3個球的球心得到一個正四面體,且該正四面體的棱長為,則該“三角垛”的高度為正四面體的高,如圖正四面體棱長為,設(shè)底面的中心為,連接并延長交于點,則為的中點,連接,則為底面上的高,,,所以,所以“三角垛”的高度為.故答案為:四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)余弦的和差角公式即可化簡,由周期公式即可求解,(2)根據(jù)正切和差角公式得,即可由余弦的二倍角公式以及齊次式求解.【小問1詳解】,所以周期為【小問2詳解】由于,所以,故18.已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形,,P為平面ABCD內(nèi)一點,AC與BP相交于點Q.(1)若,,求x,y的值;(2)求最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)建立直角坐標(biāo)系,利用向量的線性運算的坐標(biāo)表示即可求解,(2)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,結(jié)合二次型多項式的特征即可求解最值.【小問1詳解】當(dāng)時,則為的中點,由于,所以,所以【小問2詳解】由于四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則,取中點為,連接,則,設(shè),,故當(dāng)時,取最小值,19.如圖,為圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,是底面的內(nèi)接正三角形,是的重心.(1)求證:∥平面;(2)若,,求圓錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)取的中點,連接,由M是的重心,O為的重心,可得,從而得∥,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)由,得,則,從而可求出,進而可求出圓錐的體積.【小問1詳解】證明:取的中點,連接,因為為等邊三角形,,所以分別在上,因為是的重心,所以,因為為的重心,所以,所以,所以∥,因為平面,平面,所以∥平面;【小問2詳解】因為∥,所以,因為,所以,所以,因為為等邊的重心,所以,所以底面圓的面積為,,所以圓錐的體積為20.如圖,已知函數(shù)的圖象與x軸相交于點,圖像的一個最高點為.(1)求的值;(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的所有零點之和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的解析式,即可求出的值;(2)由三角函數(shù)的平移變換求出,問題等價于與圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和,畫出與圖象,求解即可.【小問1詳解】,所以,所以,又因為函數(shù)的圖象的一個最高點為,所以,所以,所以,因為,所以,所以,所以.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,所以,令,得,問題等價于與圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和,函數(shù)與圖象關(guān)于對稱,令,解得:,函數(shù)與的圖象如下圖所示:故兩函數(shù)的圖象有且僅有9個交點,所以,故函數(shù)的所有零點之和為.21.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,D為角B的平分線上一點,且,求證:A,B,C,D四點共圓.【答案】(1)(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,由正弦定理結(jié)合正弦的二倍角公式化簡計算,即可得到結(jié)果;(2)根據(jù)題意,由正弦定理可得,即可得到,即可證明.【小問1詳解】由正弦定理及可得,,因為,且,則且,所以,即,則,即,所以.【小問2詳解】證明:由(1)可得,,如圖,D為角B的平分線上一點,所以,在中,由正弦定理可得,,同理,在中,,因為,,所以,所以,所以,所以,所以A,B,C,D四點共圓.22.如圖,在三棱柱中,,,平面.(1)求證:平面;(2)若點在棱上,當(dāng)?shù)拿娣e最小時,求三棱錐外接球的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)依題意可得