第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

第一章章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)考點(diǎn)一元素的互異性【例1】（2023·云南）已知集合，，則（）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．【一隅三反】1．（2023·天津）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．C．或 D．5【答案】B【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，不滿足集合的互異性，故（舍去），當(dāng)，解得（舍去）或，此時(shí)，滿足題意，故實(shí)數(shù)的值為.故選：B.2．（2023·重慶萬(wàn)州）已知，，若集合，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【解析】∵集合，分母，∴，，且，解得，∴.故選：B.3．（2023·黑龍江哈爾濱）已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值集合．【答案】【解析】因?yàn)?，所以①若，解得，此時(shí)集合為，元素重復(fù)，所以不成立，即②若，解得或，當(dāng)時(shí)，集合為，滿足條件，即成立．當(dāng)時(shí)，集合為，元素重復(fù)，所以不成立，即③若，解得或，由①②知都不成立．所以滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合為考點(diǎn)二集合間的關(guān)系【例2-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）集合且的真子集的個(gè)數(shù)是（

）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】B【解析】，集合A含有4個(gè)元素，真子集的個(gè)數(shù)是，故選：B．【例2-2】（2023·重慶）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，解可得，或或，所以.若，則，所以，所以.故選：B.【例2-3】（2023·高一單元測(cè)試）已知，，且，則a的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意，集合，當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)滿足，當(dāng)時(shí)，要使得，則或，當(dāng)時(shí)，可得，即，此時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，可得，即，此時(shí)，不滿足，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于表示一元二次方程的解的集合，而最多有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由于，所以故由韋達(dá)定理可得，故選：C2．（2023北京）已知集合和，那么（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以故選：C.3.（2023·上海浦東新）集合．(1)若是，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得集合有且僅有兩個(gè)子集，若存在，求出實(shí)數(shù)及對(duì)應(yīng)的子集，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和.【解析】（1）若，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根不合題意；則，二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）要使集合A有且僅有兩個(gè)子集，則集合A有且只有一個(gè)元素，即對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和；當(dāng)，二次方程只有一個(gè)實(shí)根，，解得，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和.考點(diǎn)三集合的運(yùn)算【例3-1】（2023·天津）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，而，所以.故選：A【例3-2】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榛?，或，所以或或或，或或?由題意可知陰影部分對(duì)于的集合為，所以，或.故選：D.【例3-3】（2023·黑龍江哈爾濱）已知集合,，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解方程組可得或或，又因?yàn)?，則.故選：D.【例3-4】（2023·福建泉州）設(shè)集合.(1)討論集合與的關(guān)系；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)或【解析】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，是的真子集.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?當(dāng)時(shí)，解得（舍去）或，此時(shí)，符合題意.當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)符合題意.綜上，或.【一隅三反】1．（2023·甘肅）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B.2．（2023·浙江金華）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?故選：A.3．（2023·吉林長(zhǎng)春）已知非空集合，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)求能使成立的的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，；（2），且，，∴，解得，的取值范圍是.4．（2023春·吉林長(zhǎng)春）已知集合，集合.(1)若，求，；(2)若是的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）若則，，故，（2），若是的必要條件，則或?yàn)榭占?當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)為空集時(shí)，即.綜上有考點(diǎn)四充分必要條件【例4-1】1（2023春·河北）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，得或；由，得，則“”是“”的必要不充分條件．故選：C【例4-2】（2023·北京）是方程有實(shí)根且的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】方程有實(shí)根且函數(shù)的圖象在時(shí)與軸有交點(diǎn)，則或，解得或.結(jié)合集合法易得是方程有實(shí)根且的充分不必要條件.故選：A【一隅三反】1．（2022秋·高一單元測(cè)試）設(shè)：或；：或，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，，易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要條件.故選：A2．（2023云南）設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)條件，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么丙是甲的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵甲是乙的必要條件，∴乙能推出甲.∵丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，∴丙能推出乙，乙不能推出丙，所以丙能推出甲，甲不能推出丙，所以丙是甲的充分不必要條件。（如下圖）故選A.

4．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知命題：關(guān)于x的不等式，命題：，若是的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)的取值可以為（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由可得：，解得：，設(shè)，，若p是q的必要非充分條件，所以真包含于A，所以或或均滿足.故選：BCD.考點(diǎn)五全稱量詞與存在量詞【例5-1】（2022秋·高一單元測(cè)試）命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)命題的否定，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反，則為，故選：B.【例5-2】（2023山西）已知命題，命題，若命題p和都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】當(dāng)為真時(shí)，；當(dāng)為真時(shí)，，即；因?yàn)槊}p和都是真命題，所以且或.故答案為：.【一隅三反】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈九中校考期中）已知命題，為假命題．(1)求實(shí)數(shù)a的取值集合A；(2)設(shè)集合，若“”是“”的必要不充分條件，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)或【解析】（1）解：命題的否命題為，為真，且，解得．∴．（2）解：由解得，若“”是“”的必要不充分條件，則，∴當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上：或．2．（2023·廣東深圳）已知集合，.(1)若“命題：，”是真命題，求的取值范圍.(2)“命題：，”是假命題，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因?yàn)槊}是真命題，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上m的取值范圍為；（2）解：因?yàn)椤懊}：，”是假命題，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，則或，解得，綜上的取值范圍為.3．（2023·江蘇南京）已知命題p：“，使不等式成立”．(1)若命題p是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值集合A；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)槊}p:“，不等式”成立是假命題，所以命題p的否定“，不等式”成立是真命題①，符合；②，解得；所以集合.（2）因?yàn)?，即，所以，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以令集合，則集合A是集合B的真子集，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是4（2022秋·廣東汕尾·高一華