2024-2025學(xué)年廣東省揭陽市揭東區(qū)某校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省揭陽市揭東區(qū)某校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“琴棋書畫”的棋是指圍棋，圍棋起源于中國，至今已有四千多年的歷史.下列由黑、白棋子擺成的圖案中，是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.下列從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是(

)A.x2+3x+1=x(x+3+1x) B.(x?y)3.下列分式中，是最簡分式的是(

)A.xyx2 B.3x+33x?3 C.x+y4.如圖是用邊長相等的正三角形和正多邊形兩種地磚鋪設(shè)的部分地面示意圖，則這種正多邊形地磚的邊數(shù)是(

)A.6 B.8 C.10 D.125.若分式49?x27?x的值為0，則x的值為A.?7 B.7 C.7或?7 D.496.在如圖4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1PA.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C D.點(diǎn)D7.如圖，在△ABC中，∠APC=116°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M、N.若M在PA的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，則∠ABC的度數(shù)為(

)A.64° B.52° C.54° D.62°8.如圖，直線y1=x+b與y2=kx?1相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?1，則關(guān)于x的不等式x+b>kx?1的解集在數(shù)軸上表示正確的是A.B.

C.D.9.2024年6月2日沈陽和河半程馬拉松比賽成功舉行，各位跑友齊聚沈陽市和平區(qū)，以跑者之勢再現(xiàn)運(yùn)動(dòng)之美.小陽參與“半程馬拉松”(約21km)項(xiàng)目，前12km以原計(jì)劃平均速度vkm/?完成，之后身體競技狀態(tài)下降，以0.75vkm/?的平均速度完成剩下賽程，最終比原計(jì)劃晚15min到達(dá)目的地，則小陽前12km的平均速度為(

)A.9km/? B.10km/? C.12km/? D.21km/?10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A(0,3)，D(1,0)，點(diǎn)C落在x軸的正半軸上，點(diǎn)B落在第一象限內(nèi)，按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交DA，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)；

②分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑作弧，兩弧在∠ADC內(nèi)交于點(diǎn)G；

③作射線DG，交邊AB于點(diǎn)H；

則點(diǎn)H的坐標(biāo)為(

)A.(10,3) B.(?3,3) C.(3,3)二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.分解因式：m3?9m=______．12.如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)∠1=30°，那么∠2=______．13.已知aba?b=13，則代數(shù)式14.關(guān)于x的方程mxx?3=3x?3無解，則m15.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為CD上的一點(diǎn)，且DE=5，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，若△DEF的周長為30，則OF的長為______．三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題7分)

化簡(8x+1?x+1)÷x2?6x+9x+1，再從?1，017.(本小題7分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．請用尺規(guī)作圖法在AB上找一點(diǎn)E，使得∠ADE+∠C=90°.?(不寫作法，保留作圖痕跡)18.(本小題7分)

已知：關(guān)于x、y的二元一次方程組x+2y=3k3x+y=5?k的解滿足?1<x+y≤4．

(1)求k的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，化簡|2k+5|?|k?3|．19.(本小題9分)

2024年3月14日是第五個(gè)“國際數(shù)學(xué)日”，某校數(shù)學(xué)組在今年“π日”舉行了數(shù)學(xué)游園活動(dòng)，購買了一批鋼筆和自動(dòng)鉛筆作為獎(jiǎng)品.在前期詢價(jià)時(shí)，通過電話詢問文具店了解到，鋼筆的價(jià)格比自動(dòng)鉛筆貴60%，且花300元購買的自動(dòng)鉛筆比花400元購買的鋼筆多10支．

(1)求前期電話詢問時(shí)鋼筆和自動(dòng)鉛筆的單價(jià)分別為多少？

(2)前往文具店購買時(shí)，恰逢商家對價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整：自動(dòng)鉛筆比之前詢問時(shí)漲價(jià)20%，而鋼筆則按之前詢問價(jià)格的8.5折出售.若學(xué)校最終購買了鋼筆和自動(dòng)鉛筆共200支，且購買獎(jiǎng)品的費(fèi)用沒有超過1250元，則學(xué)校最多購買了多少支鋼筆作為獎(jiǎng)品？20.(本小題9分)

如圖，閱讀與思考：在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象，并借助圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)，最后運(yùn)用函數(shù)解決問題.現(xiàn)我們對函數(shù)y=|x+1|(x的取值范圍為任意實(shí)數(shù))進(jìn)行探究．x…?4?3?2?10123…y=|x+1|…310124…(1)請將表格補(bǔ)充完整．

(2)請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出一條該函數(shù)圖象的性質(zhì)：______．

(3)請?jiān)谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=?12x+1的圖象，并直接寫出不等式21.(本小題9分)

已知四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N分別是直線AD，BC上的點(diǎn)，且與點(diǎn)A，B，C，D不重合．

(1)請?jiān)趫D1中畫出你設(shè)計(jì)的圖形，并添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：______，使得點(diǎn)M，N與?ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形是一個(gè)平行四邊形，并說明理由；

(2)如圖2，已知AC=BC=6，∠ABC=30°，若四邊形AMCN為平行四邊形，且AM=6，則MN的長度為______．22.(本小題13分)生活中的數(shù)學(xué)

某學(xué)校組織七、八年級學(xué)生進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，由學(xué)生會(huì)通過調(diào)研獲取信息供學(xué)校參考制定出行方案.經(jīng)學(xué)生會(huì)調(diào)查，得到以下信息．信息1某旅游公司只有60座客車14輛，45座客車25輛可供租用45座客車60座客車載客量(人/輛)4560租金(元/輛)250300信息2七年級若每位老師帶40名學(xué)生，則還剩10名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶41名學(xué)生，則恰好完成分配．信息3八年級師生如果租用45座的客車n輛，那么還有30人沒有座位；如果租用60座的客車可少租2輛，且正好坐滿．任務(wù)1

(1)參加此次活動(dòng)的七年級師生共有______人；任務(wù)2

(2)求參加此次活動(dòng)的八年級師生共有多少人；任務(wù)3

(3)學(xué)校計(jì)劃此次研學(xué)活動(dòng)由七八年級師生共同租用兩種客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車恰好坐滿，總費(fèi)用不超過4800元，你能得出哪幾種不同的租車方案？請直接寫出具體的租車方案．23.(本小題14分)

【探索發(fā)現(xiàn)】小應(yīng)發(fā)現(xiàn)：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩鄰邊平方和的兩倍．

【推理論證】如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，求證：AC2+BD2=2(AB2+BC2).

小應(yīng)的證明：作AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，由四邊形ABCD是平行四邊形，容易證得△ABE≌△DCF(AAS)，得到AE=DF，BE=CF．

設(shè)BE=CF=a，CE=b，AE=DF=?．

在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2+BD2=?2+b2+(2a+b)2+?2=4a2+4ab+2b2+2?2．

在Rt△ABE中，AB2=a2+?2，

∴AB2+BC2=…參考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.A

6.B

7.B

8.A

9.C

10.A

11.m(m+3)(m?3)

12.75°

13.9

14.1或0

15.1016.解：(8x+1?x+1)÷x2?6x+9x+1

=8?(x?1)(x+1)x+1÷(x?3)2x+1

=?x2+9x+1?x+1(x?3)2

=?(x+3)(x?3)x+1?17.解：如圖，點(diǎn)E即為所求．

18.解：(1)x+2y=3k3x+y=5?k，

解得：x=2?ky=2k?1，

∵?1<x+y≤4，

∴?1<2?k+2k?1≤4，

解得：?2<k≤3；

(2)∵?2<k≤3，

∴2k+5>0，k?3≤0，

∴|2k+5|?|k?3|

=2k+5+k?3

19.解：(1)設(shè)前期電話詢問時(shí)自動(dòng)鉛筆的單價(jià)是x元，則自鋼筆的單價(jià)是(1+60%)x元，

根據(jù)題意得：300x?400(1+60%)x=10，

解得：x=5，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是所列方程的解，且符合題意，

∴(1+60%)x=(1+60%)×5=8(元)．

答：前期電話詢問時(shí)鋼筆的單價(jià)是8元，自動(dòng)鉛筆的單價(jià)是5元；

(2)設(shè)學(xué)校購買了y支鋼筆作為獎(jiǎng)品，則購買了(200?y)支自動(dòng)鉛筆，

根據(jù)題意得：5×(1+20%)(200?y)+8×0.85y≤1250，

解得：y≤1252，

又∵y為正整數(shù)，

∴y的最大值為20.(1)填表如下：…?4?3?2?10123…y=|x+1|…32101234…

(2)函數(shù)圖象如下：

該函數(shù)圖象的一條性質(zhì)為：圖象關(guān)于直線x=?1對稱(答案不唯一)．

(3)聯(lián)立方程組y=丨x+1丨y=?12x+1，

解得x=0y=1，x=?4y=3，

兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)和(?4,3)21.(1)如圖1，添加條件AM=BN，四邊形ABNM為平行四邊形，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，

∵AM=BN，

∴四邊形ABNM為平行四邊形；

(2)如圖2，設(shè)AC與MN交于點(diǎn)O，

∵四邊形AMCN為平行四邊形，

∴CN=AM=6，OA=OC=AC=3，OM=ON，

∵AC=BC=6，

∴∠CAB=∠ABC=30°，AC=CN，

∴∠ACN=∠CAB+∠ABC=60°，

∴△ACN是等邊三角形，

∴AN=CN=6，

∴平行四邊形AMCN是菱形，

∴MN⊥AC，

∴∠CON=90°，

∴ON=CN2?OC22.(1)420；

(2)根據(jù)題意得：45n+30=60(n?2)，

解得：n=10，

∴60(n?2)=60×(10?2)=480．

答：參加此次活動(dòng)的八年級師生共有480人；

(3)設(shè)租用y輛45座客車，則租用420+480?45y60=(15?34y)輛60座客車，

根據(jù)題意得：y≤2515?34y≤14250y+300(15?34y)≤4800，

解得：43≤y≤12，

又∵y，(15?34y)均為自然數(shù)，

∴y可以為4，8，12，

∴共有3種租車方案，

方案1：租用4輛45座客車，12輛60座客車；

方案2：租用8輛4523.(1)證明：作AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，

∴∠AEB=∠F，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB//CD，

∴∠ABC=∠DCF，

∴△ABE≌△DCF(AAS)，

得到AE=DF，BE=CF，

設(shè)BE=CF=a，CE=b，AE=DF=?