2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十七：與基本作圖有關(guān)的類比探究綜合題(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十七：與基本作圖有關(guān)的類比探究綜合題典例分析23.（2021河南中考）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；(3)作射線OP，射線即為∠AOB的平分線．

簡(jiǎn)述理由如下：

由作圖知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG=∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)連接DE，CF，交點(diǎn)為P；(3)作射線OP.射線OP即為∠AOB的平分線．任務(wù)：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是______(填序號(hào))．

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小軍作圖得到的射線0P是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說明理由．

(3)如圖3，已知∠AOB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE=OF=3+1.點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE=30°時(shí)，直接寫出線段OC的長(zhǎng)．專題過關(guān)1.（2022南陽(yáng)宛城一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作線段AB的垂直平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)：任務(wù)：（1）小明的作圖依據(jù)是___．（2）判斷小軍作圖得到的直線CP是否線段AB的垂直平分線？并說明理由；（3）如圖③，已知△ABC中，，，點(diǎn)D、E分別是射線CA、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接BD、AE，交點(diǎn)為P，當(dāng)，時(shí)，直接寫出線段CD的長(zhǎng)．2.（2022焦作一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．小晃：如圖1，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（2）分別作的平分線，交點(diǎn)為E；（3）作直線．直線即為線段的垂直平分線．簡(jiǎn)述作圖理由：由作圖可知，，所以點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，，因?yàn)榉謩e是的平分線，所以，所以，所以點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，所以是線段的垂直平分線．小航：我認(rèn)為小晃的作圖方法很有創(chuàng)意，但是可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（2）分別在線段上截??；（3）連接，交點(diǎn)為E；（4）作直線．直線即為線段的垂直平分線．……

任務(wù)：（1）小晃得出點(diǎn)P在線段的垂直平分線上的依據(jù)是__________；（2）小航作圖得到的直線是線段的垂直平分線嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；（3）如圖3，已知，點(diǎn)C，D分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交點(diǎn)為E，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．3.（2022周口川匯區(qū)一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在中，，，點(diǎn)在上．（1）作圖探討：在外側(cè)，以為邊作；小明：如圖1，分別以，為圓心，以，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，．則即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過，作，的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)，則即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出的依據(jù)是，小軍得出的依據(jù)是；（填序號(hào)）①②③④（2）測(cè)量發(fā)現(xiàn)：如圖3，在（1）中的條件下，連接．興趣小組用幾何畫板測(cè)量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)，嘗試延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你完成證明過程．（3）遷移應(yīng)用：如圖4，已知，，點(diǎn)在上，，，若在射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的長(zhǎng)．4.（2022洛陽(yáng)一模）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織同學(xué)們以“矩形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．已知矩形ABCD的一條對(duì)稱軸分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、F，如圖①，奮進(jìn)小組進(jìn)行了如下的操作：以點(diǎn)B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑作弧，交邊BC于點(diǎn)Q，已知點(diǎn)在弧AQ上運(yùn)動(dòng)（含A，Q兩點(diǎn)），連接，再分別以點(diǎn)A、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)G，作射線BG交AD于點(diǎn)H．提出問題：

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到EF上時(shí)，求的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（2）如圖③，勤奮小組在圖②基礎(chǔ)上進(jìn)行如下操作：連接并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷△HBP的形狀，并說明理由；解決問題：（3）創(chuàng)新小組在圖③的基礎(chǔ)上進(jìn)行如下操作：延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)M，當(dāng)△MPC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出矩形的邊BC和AB之間的數(shù)量關(guān)系．5.（2022周口扶溝二模）在學(xué)完菱形的性質(zhì)和判定后，某數(shù)學(xué)興趣小組嘗試?yán)檬诌叺臄?shù)學(xué)工具——三角板和圓規(guī)作出一個(gè)菱形，且菱形的其中一個(gè)內(nèi)角為60°．下面是他們探究過程中的部分討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù)：（1）甲同學(xué)的作法中，判定四邊形ACDE為菱形的依據(jù)是________________________.（2）你認(rèn)為乙同學(xué)作圖得出的四邊形AOCD是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形嗎？請(qǐng)判斷并說明理由．（3）如圖3，丙同學(xué)模仿甲同學(xué)的方法，用含45°角的直角三角板作出了其中一個(gè)內(nèi)角為45°的菱形ABMN，已知點(diǎn)P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝10，當(dāng)∠PAB＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到直線MN的距離．6.（2022鄭州一檢）在中，，以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交邊AD、CD于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)K，作射線DK，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，交射線AB于點(diǎn)E，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段EP．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接AP，線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接AF，請(qǐng)求出∠FAC的度數(shù)，以及AF，AB，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，連接AP，若，請(qǐng)直接寫出線段AP與線段DG的比值．7.（2022開封一模）閱讀理解：如圖（1），△ABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC和BA分別交于點(diǎn)X，Y再分別以點(diǎn)X，Y為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線BD與AC交干點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交AB于．觀察思考：依據(jù)上述操作可，①∠ABE與∠CBE的大小關(guān)系為_____________；②BF與EF的數(shù)關(guān)系為_____________．拓展延伸：如圖（2）在△ABC中，∠ABC的平分線與三角形外角∠ACG的平分線交于點(diǎn)D，過D作分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)判斷EF與BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題解決：如圖（3），在中，，，連接BD，將△ABD沿BD折疊，使點(diǎn)A落在直線DC上方的處，當(dāng)△DC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB的長(zhǎng)度．8.（2022開封二模）中華文明源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，如圖①是漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的圖形，人們稱之為趙爽弦圖，被譽(yù)為中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰．2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)依據(jù)趙爽弦圖制作了會(huì)標(biāo)，該圖有4個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形和中間一個(gè)小正方形，巧妙的證明了勾股定理．問題發(fā)現(xiàn)如圖①，若直角三角形的直角邊BC＝3，斜邊AB＝5，則中間小正方形的邊長(zhǎng)CD＝______，連接BD，△ABD的面積為______．知識(shí)遷移如圖②，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，當(dāng)∠BPC＝90，時(shí)，△PAB的面積為______．拓展延伸如圖③，已知∠MBN＝90°，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BM，BN分別于A，C兩點(diǎn)．（1）已知D為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E；在CE上取一點(diǎn)F，使EF＝BE；過點(diǎn)F作GF⊥CD交BC于點(diǎn)G，試判斷三條線段BE，DE，GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）在（1）的條件下，若D為射線BM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線EC上一點(diǎn)，當(dāng)AB＝10，CF＝2時(shí)，直接寫出線段DE的長(zhǎng)．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十七：與基本作圖有關(guān)的類比探究綜合題典例分析23.（2021河南中考）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；(3)作射線OP，射線即為∠AOB的平分線．

簡(jiǎn)述理由如下：

由作圖知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG=∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)連接DE，CF，交點(diǎn)為P；(3)作射線OP.射線OP即為∠AOB的平分線．任務(wù)：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是______(填序號(hào))．

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小軍作圖得到的射線0P是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說明理由．

(3)如圖3，已知∠AOB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE=OF=3+1.點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE=30°時(shí)，直接寫出線段OC的長(zhǎng)．

【答案】【分析】(1)由作圖得，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，可知Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)HL；

(2)由作圖得，OC=OC，OE=OF，再根據(jù)對(duì)頂角相等、公共角等條件可依次證明△DOE≌△COF、△CPE≌△DPF、△OPE≌△OPF，從而得到∠POE=∠POF，所以O(shè)P是∠AOB的平分線；

(3)連接OP，由已知條件可證明∠OPC=∠OCP=75°，從而得OP=OC，再過點(diǎn)P作OA的垂線構(gòu)造含有特殊角的直角三角形，利用其三邊的特殊關(guān)系求出OC的長(zhǎng)．

【解析】解：(1)如圖1，由作圖得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，

∴∠PGO=∠PHO=90°，

∵OE?OC=OF?OD，

∴CE=DF，

∵CG=12CE，DH=12DF，

∴CG=DH，

∴OC+DG=OD+DH，

∴OG=OH，

∵OP=OP，

∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，

故答案為：⑤．

(2)射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：

如圖2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，

∴△DOE≌△COF(SAS)，

∴∠PEC=∠PFD，

∵∠CPE=∠CPF，CE=DF，

∴△CPE≌△DPF(AAS)，

∴PE=PF，

∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，

∴△OPE≌△OPF(SAS)，

∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，

∴OP是∠AOB的平分線．

(3)如圖3，OC<OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PME=90°，

由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，

∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，

∵∠AOB=60°，

∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，

∵∠CPE=30°，

∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，

∴∠OCP=∠OPC=12(180°?∠POE)=12×(180°?30°)=75°，

∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，

∴∠OPM=90°?30°=60°，

∴∠MPE=105°?60°=45°，

∴∠MEP=90°?45°=45°，

∴MP=ME，

設(shè)MP=ME=m，則OM=MP?tan60°=3m，

由OE=3+1，得m+3m=3+1，解得m=1，

∴MP=ME=1，

∴OP=2MP=2，

∴OC=OP=2；

如圖4，OC>OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PMC=90°專題過關(guān)1.（2022南陽(yáng)宛城一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作線段AB的垂直平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)：任務(wù)：（1）小明的作圖依據(jù)是___．（2）判斷小軍作圖得到的直線CP是否線段AB的垂直平分線？并說明理由；（3）如圖③，已知△ABC中，，，點(diǎn)D、E分別是射線CA、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接BD、AE，交點(diǎn)為P，當(dāng)，時(shí)，直接寫出線段CD的長(zhǎng)．【答案】（1）等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高和底邊上的中線互相重合（2）直線CP是線段AB的垂直平分線；理由見解析（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高和底邊上的中線互相重合，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，，可證得，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到，即可求證；（3）分兩種情況討論：P位于AB的上方時(shí)，點(diǎn)P位于AB的下方時(shí)，即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得∶由作法的第（1）步得：AC=BC，∴三角形ABC是等腰三角形，由第（2）步得：CP平分∠ACB，∴CP是AB的垂直平分線（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高和底邊上的中線互相重合）【小問2詳解】解：是．理由如下：由作圖可知，，，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴直線CP是線段AB的垂直平分線；【小問3詳解】解：由（2）得：，∴∠PAB=∠PBA=45°，∴∠APB=90°，∴，∠APD=∠BPE=90°，∵，∴，如圖，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，若P位于AB的上方時(shí)，∴∠PAG=∠APG=45°，∵∠ACB=30°，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=75°，∴∠CBD=∠CAE=30°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE=CE，在Rt△BPE中，∠CBD=30°，∴BE=2PE，∵，∴PE=1，∴，∵，∴；點(diǎn)P位于AB的下方時(shí)，同理，∠APD=∠BPE=90°，∵∠CAE=∠CAB+∠BAP=120°，∴∠E=∠ACB=30°，∴AE=AC，∴，∴PE=3，∴，∵CD=CE，∴，∴CD=AD+AC；綜上所述，線段CD的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．2.（2022焦作一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．小晃：如圖1，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（2）分別作的平分線，交點(diǎn)為E；（3）作直線．直線即為線段的垂直平分線．簡(jiǎn)述作圖理由：由作圖可知，，所以點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，，因?yàn)榉謩e是的平分線，所以，所以，所以點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，所以是線段的垂直平分線．小航：我認(rèn)為小晃的作圖方法很有創(chuàng)意，但是可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（2）分別在線段上截??；（3）連接，交點(diǎn)為E；（4）作直線．直線即為線段的垂直平分線．……

任務(wù)：（1）小晃得出點(diǎn)P在線段的垂直平分線上的依據(jù)是__________；（2）小航作圖得到的直線是線段的垂直平分線嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；（3）如圖3，已知，點(diǎn)C，D分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交點(diǎn)為E，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上（2）是線段的垂直平分線，理由見解析（3）2或【解析】【分析】（1）由線段垂直平分線的判定定理即可得到結(jié)論．（2）證明APDBPC（SAS），得出∠PAD=∠PBC，證出AE=BE，則可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①點(diǎn)E在AB上方，②點(diǎn)E在AB下方，由三角函數(shù)解直角三角形可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；【小問2詳解】證明：由作圖可知：PA=PB，PC=PD在APD和BPC中∴APDBPC（SAS）∴∠PAD=∠PBC∵PA=PB∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上∠PAB=∠PBA∴∠PAB?∠PAD=∠PBA?∠PBC即∠DAB=∠CBA∴AE=BE∴點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上∴PE是線段AB的垂直平分線【小問3詳解】解：如圖3，在過點(diǎn)E作EMAB于點(diǎn)M

由（2）可知，EA=EB∵ADBC∴∠EAB=∠EBA=45又∵AB=∴AM=AB=如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時(shí)，在RtEMA中，cos∠EAM=，即AE＝=∵∠P=30，PA=PB∴∠PAB=∠PBA==75∴∠CAE=∠PAB?∠EAB=75?45=30∴在RtCEA中，cos∠CAE=，即如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB下方時(shí)，

同理可得AE=∵∠P=30，PA=PB∴∠PAB=∠PBA==75∴∠CAE=180?（∠PAB+∠EAB）=180?（75+45）=60∴在RtCEA中，cos∠CAE=，即AC=∴綜上所述，線段AC的長(zhǎng)為2或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)解直角三角形等．理解題意掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3.（2022周口川匯區(qū)一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在中，，，點(diǎn)在上．（1）作圖探討：在外側(cè)，以為邊作；小明：如圖1，分別以，為圓心，以，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，．則即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過，作，的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)，則即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出的依據(jù)是，小軍得出的依據(jù)是；（填序號(hào)）①②③④（2）測(cè)量發(fā)現(xiàn)：如圖3，在（1）中的條件下，連接．興趣小組用幾何畫板測(cè)量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)，嘗試延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你完成證明過程．（3）遷移應(yīng)用：如圖4，已知，，點(diǎn)在上，，，若在射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的長(zhǎng)．【答案】（1）①；③（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）由條件，，，可知，又，得到，，所以，在中，，可得，從而得證；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）（2）可知，且；根據(jù)，，有，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可知，結(jié)合，可得，根據(jù)，由得到，所以，然后在和中繼續(xù)利用銳角三角函數(shù)求出和的長(zhǎng)，最后利用即得解．【小問1詳解】解：如圖1，分別以B，C為圓心，以AD，CD為半徑畫弧交于點(diǎn)E，連接BE，CE，∴，又∵，在和中，∴（）如圖2，分別過，作，的垂線，∴，，即，，∵，，∴，，∴，，在和中，∴（）故選：①；③【小問2詳解】證明：∵，，，∴，在和中，∴（）∴，即，又∵，∴，∴，又∵在中，，∴，∴．【小問3詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，又∵，，∴，，都是，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，又由（1）（2）可知，，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等判定與性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)解直角三角形等知識(shí)以及知識(shí)遷移應(yīng)用的能力．通過作適當(dāng)?shù)妮o助線從而達(dá)到能夠應(yīng)用前面兩問的結(jié)論和全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．4.（2022洛陽(yáng)一模）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織同學(xué)們以“矩形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．已知矩形ABCD的一條對(duì)稱軸分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、F，如圖①，奮進(jìn)小組進(jìn)行了如下的操作：以點(diǎn)B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑作弧，交邊BC于點(diǎn)Q，已知點(diǎn)在弧AQ上運(yùn)動(dòng)（含A，Q兩點(diǎn)），連接，再分別以點(diǎn)A、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)G，作射線BG交AD于點(diǎn)H．提出問題：

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到EF上時(shí)，求的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（2）如圖③，勤奮小組在圖②基礎(chǔ)上進(jìn)行如下操作：連接并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷△HBP的形狀，并說明理由；解決問題：（3）創(chuàng)新小組在圖③的基礎(chǔ)上進(jìn)行如下操作：延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)M，當(dāng)△MPC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出矩形的邊BC和AB之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）30°（2）等邊三角形（3）或【解析】【分析】（1）連接，設(shè)EF交BG于點(diǎn)K，根據(jù)作法可得BG平分，，可證得，從而得到，再證得K為BH的中點(diǎn)，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，即可求解；（2）由（1）得：，，可得到，從而得到BP=BH，即可求解；（3）先證得四邊形BPMH是菱形，可得PM=PB，∠MPC=∠HBP=60°，然后分兩種情況：當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，當(dāng)∠PMC=90°時(shí)，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，連接，設(shè)EF交BG于點(diǎn)K，根據(jù)作法得：BG平分，，∴，∵BH=BH，∴，∴，根據(jù)題意：AE=BE，EF∥AD∥BC，∠ABC=90°，∴，，∴BK=KH，∴AK=BK=HK，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：△HBP是等邊三角形，理由如下：由（1）得：，，∴，∠PBH=60°，∵，∴，∴BP=BH，∴△HBP是等邊三角形；【小問3詳解】解：由（2）得：BP=BH，，∵HM∥BP，∴∠HMB=∠PBM，∠MHP=∠BPH，∴，∴BP=HM，∴四邊形BPMH是平行四邊形，∵BP=BH，∴四邊形BPMH是菱形，∴PM∥BH，∠HMP=60°，PM=PB，∴∠MPC=∠HBP=60°，當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，點(diǎn)M與D重合，如圖，∴∠CMP=30°，∴PB=PM=2PC，，∴CB=3PC，∴；如圖，當(dāng)∠PMC=90°時(shí)，∵∠CPM=60°，∴∠PCM=30°，∴PC=2PM=2PB，，∴BC=3PB，∵AD∥BC，∴∠PCM=∠DMC=30°，∴CM=2CD，∴，∴，∴，綜上所述，當(dāng)△MPC是直角三角形時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5.（2022周口扶溝二模）在學(xué)完菱形的性質(zhì)和判定后，某數(shù)學(xué)興趣小組嘗試?yán)檬诌叺臄?shù)學(xué)工具——三角板和圓規(guī)作出一個(gè)菱形，且菱形的其中一個(gè)內(nèi)角為60°．下面是他們探究過程中的部分討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù)：（1）甲同學(xué)的作法中，判定四邊形ACDE為菱形的依據(jù)是________________________.（2）你認(rèn)為乙同學(xué)作圖得出的四邊形AOCD是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形嗎？請(qǐng)判斷并說明理由．（3）如圖3，丙同學(xué)模仿甲同學(xué)的方法，用含45°角的直角三角板作出了其中一個(gè)內(nèi)角為45°的菱形ABMN，已知點(diǎn)P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝10，當(dāng)∠PAB＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到直線MN的距離．【答案】（1）見詳解（2）是；理由見詳解（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)甲同學(xué)的作圖可知AE=ED=DC=AC，四條邊均相等即所畫的為菱形，故可知其判斷依據(jù)為四條邊都相等；（2）解直角三角形得出∠COE＝60°，再證，結(jié)合CD＝OC＝OA，證得四邊形AOCD為平行四邊形，再根據(jù)AO＝OC，判斷平行四邊形AOCD為菱形，且其中一個(gè)內(nèi)角為60°；（3）過點(diǎn)P作PQ⊥MN于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到直線MN的距離，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在線段MB上時(shí)，根據(jù)∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，得到∠APC＝30°，在Rt△APC中，即可求得PC＝AC＝，進(jìn)而求出PM，再在Rt△MPQ中即可求得PQ；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，同理可求得PQ．【小問1詳解】四條邊都相等的四邊形是菱形；【小問2詳解】是，理由如下：連接OD，如圖1所示，由題意，可知直線MN垂直平分線段OB，∴CE⊥OB，OE＝OB＝OC，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∵CD＝OC＝OD，∴△OCD為等邊三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠COE＝∠OCD，∴，又∵CD＝OC＝OA，∴四邊形AOCD為平行四邊形，∵AO＝OC，∴平行四邊形AOCD為菱形，且其中一個(gè)內(nèi)角為60°；【小問3詳解】或，過點(diǎn)P作PQ⊥MN于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到直線MN的距離，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在線段MB上時(shí)，如解圖2所示，在Rt△ABC中，AB=10，∠ABC=∠BAC=45°，則有BC=AC=AB=，∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，∴∠APC＝∠ABC－∠PAB＝30°，∴PC＝AC＝，∴PB＝PC－BC＝，∴PM＝MB－PB＝，在Rt△PMQ中，∵∠PMQ＝45°，∴PQ＝PM＝，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如解圖3所示，易得∠PAC＝30°，∴PC＝＝，∴PM＝MB＋BC－PC＝，∴PQ＝PM＝，綜上所述，點(diǎn)P到直線MN的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，注重分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．6.（2022鄭州一檢）在中，，以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交邊AD、CD于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)K，作射線DK，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，交射線AB于點(diǎn)E，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段EP．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接AP，線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接AF，請(qǐng)求出∠FAC的度數(shù)，以及AF，AB，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，連接AP，若，請(qǐng)直接寫出線段AP與線段DG的比值．【答案】（1）AP=AC，證明見詳解；（2）∠FAC=45°，2AF2=AB2+AD2，證明見詳解；（3）．【解析】【分析】（1）數(shù)量關(guān)系為：AP=AC，連結(jié)PC，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出AD=BC，∠ADC=∠ABC=180°-，先證△PBE為等邊三角形，再證△PEA≌△PBC（SAS），最后再證△APC為等邊三角形即可；（2）結(jié)論是2AF2=AB2+AD2連結(jié)CF，當(dāng)時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，即，再證△FEA≌△FBC（SAS），在Rt△AFC中即可；（3）過點(diǎn)A作AN⊥DE于N，CM⊥DE于M，過點(diǎn)A作AS⊥CD于S，根據(jù)AE∥DC，得出△AGE∽△CGD，得出，設(shè)AB=3m，BE=m，AE=AD=2m，利用三角函數(shù)求出AS=ADsin60°=，DS=ADcos60°=m，，根據(jù)勾股定理AC=，利用線段和差MN=DM-DN=，再證△CMG∽△ANG，對(duì)稱，利用比例性質(zhì)得出NG=，求出DG=DN+NG=即可．【小問1詳解】解：數(shù)量關(guān)系為：AP=AC，連結(jié)PC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，∠ADC=∠ABC=180°-，當(dāng)時(shí)，∴∠ABC=∠ADC=180°-120°=60°，∵∠BEP=，PE=BE，∴△PBE為等邊三角形，∴PE=PB，∠PBE=60°，∴∠PBC=∠PBE+∠ABC=60°+60°=120°，∵∠PEA=180°-∠PEB=180°-60°=120°，∴∠PBC=∠PEA，∵DK平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=，∵AB∥DC，∴∠AED=∠CDE=30°=∠ADE，∴AE=AD=BC，在△PEA和△PBC中，，∴△PEA≌△PBC（SAS），∴PA=PC，∠APE=∠CPB，∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠BPC+∠EPC=∠EPB=60°，∴△APC為等邊三角形，∴AP=AC；【小問2詳解】解：結(jié)論是2AF2=AB2+AD2連結(jié)CF，當(dāng)時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC,∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，即，∵DK平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=，∵AB∥DC，∴∠AED=∠CDE=∠ADE=45°，∴AE=AD=BC，∴∠FEB=∠AED=45°，∵，∴∠BFE=90°，∠FBE=90°-∠FEB=45°，∴FE=FB，∴∠FEA=180°-∠FEB=180°-45°=135°，∠FBC=∠FBE+∠ABC=45°+90°=135°∴∠FEA=∠FBC，在△FEA和△FBC中∴△FEA≌△FBC（SAS），∴∠AFE=∠CFB，AF=CF，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=∠CFB+∠EFC=∠EFB=90°，∴∠FAC=45°在Rt△AFC中，∴，【小問3詳解】解：過點(diǎn)A作AN⊥DE于N，CM⊥DE于M，過點(diǎn)A作AS⊥CD于S，∵AE∥DC，∴△AGE∽△CGD，∴，∵，∴AE=AB-==，∴，設(shè)AB=3m，BE=m，AE=AD=2m，∵∠ADS=60°，∴AS=ADsin60°=，DS=ADcos60°=m，∴CS=CD-DS=2m，∴AC=，∵DK平分∠ADC，∴∠ADN=∠CDN=30°，∴DN=ADcos30°=，DM=CDcos30°=，∴MN=DM-DN=，∵AN⊥DE，CM⊥DE，∴CM∥AN，∴△CMG∽△ANG，∴，∴NG=，∴DG=DN+NG=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．7.（2022開封一模）閱讀理解：如圖（1），△ABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC和BA分別交于點(diǎn)X，Y再分別以點(diǎn)X，Y為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線BD與AC交干點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交AB于．觀察思考：依據(jù)上述操作可，①∠ABE與∠CBE的大小關(guān)系為_____________；②BF與EF的數(shù)關(guān)系為_____________．拓展延伸：如圖（2）在△ABC中，∠ABC的平分線與三角形外角∠ACG的平分線交于點(diǎn)D，過D作分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)判斷EF與BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題解決：如圖（3），在中，，，連接BD，將△ABD沿BD折疊，使點(diǎn)A落在直線DC上方的處，當(dāng)△DC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB的長(zhǎng)度．【答案】觀察思考：①∠ABE=∠CBE；②；拓展延伸：；問題解決：4或6【解析】【分析】觀察思考：①根據(jù)作圖可知是的角平分線，可得，②根據(jù)可得，等量代換可得，∠ABE=∠CBE；等角對(duì)等邊即可得，；拓展延伸：方法同上可得，進(jìn)而可得；問題解決：分和，兩種情形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解即可求得的長(zhǎng)【詳解】觀察思考：①根據(jù)作圖可知是的角平分線，，②，∠ABE=∠CBE；，；拓展延伸：平分平分問題解決：當(dāng)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn),四邊形是平行四邊形折疊，中，當(dāng)時(shí)，如圖，四邊形是平行四邊形折疊，四邊形是矩形綜上所述，的長(zhǎng)為或【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，等邊對(duì)