北師大版選擇性必修第一冊第三章42用向量方法討論立體幾何中的位置關系學案

4.2用向量方法討論立體幾何中的位置關系

新課程標準學業(yè)水平要求

1.理解線面的位置關系與向玨的聯(lián)系.(直觀想象)

1.理解直線的方向向以和平面的法向量.2.能用向址語言表述線線、線而、面面的平行、垂直關系.(宜觀想象、數學

2.能用向址語言表述宜線與直線、宜線與平運算)

而、平面與平面的平行、垂直關美3?能利用直線的方向向行和平面的法向，判定并證明空間中的平行、垂直關

系.(數學運算、邏輯推理)

必備知識?自主學習

1.怎樣用向量判斷線線平行、垂直？

導思2.怎樣用向量判斷線面平行、垂直？

3.怎樣用向量判斷面面平行、垂直？

L用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行

⑴設直線和1的方向向量分別為VI和V2,則由向量共線的條件，得"或

與，2重合？V]〃V2.

(2)已知兩個不共線向量Vi,V2與平面a共面，一條直線/的一個方向向量為V,

則由共面向量定理，可得/〃a或/在a內？存在兩個實數x,y,使v=xvi+yvz.

(3)已知兩個不共線向量vi,V2與平面a共面，則由兩平面平行的判定與性質，

得?！?或。與日重合？v"/P且Vz〃B.

思考，

若a=(4—2m,m—1,m—1),b=(4,2—2m,2—2m)分別為直線/1，心的方向向

量，則實數m取哪些值時有/"42?

421Tlm-]

提示：要使人〃，2,需a〃b,即一,從而m=3.另外當m=1時，顯

2-2m

然也適合題意符合條件，所以當m=l或3時有

2.空間中垂直關系的向量表示

線線設直線/的方向向量為a=(a,a2,a3),直線m的方向向量為b=(b“

垂直b2,b3),則/±m(xù)?a?b=O?ab+a2b2—a3b3=0.

線面設直線/的方向向量是a=(a"b”Ci),平面a的法向量是u=(a2,b2,

垂直C2),貝lj/J_a?a〃u?a=ku?(a”bi,cj=k(&,b2,c2)(kER).

面回若平面a的法向量u=(a”bi,Ci),平面B的法向量v=(a2,b2,c2),

垂直則aJ_0?u±v?u?v=0?aia2+bib2+ciC2=0.

思考，

若一個平面內一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面

有怎樣的位置關系？

提示：這兩個平面是垂直關系.直線/的方向向量與平面B的法向量共線，說

明直線/垂直于平面P,又直線/在平面a內，所以平面a和平面B垂直.

3.三垂線定理及其逆定理

(1)三垂線定理：若平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的投影垂

直，則它也和這條斜線垂直.

(2)三垂線定理的逆定理：若平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則

它也和這條斜線在這個平面內的投影垂直.

2基礎小測八

1.辨析記憶(對的打“，錯的打“義”)

⑴直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂

直.()

(2)直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面垂直.()

(3)兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直.()

(4)若一條直線的方向向量垂直于一個平面內兩條直線的方向向量，則直線和平

面垂直.()

提示：(1)直線的方向向量與平面的法向量共線(方向相同或相反)時，直線

與平面垂直.

⑵X.直線的方向向量與平面的法向量垂直，直線與平面平行或者在平面內.

⑶，兩個平面的法向量垂直，這兩個平面就垂直.

(4)X.當平面內兩條直線的方向向量共線時，直線不一定和平面垂直.

02/21

2.(教材練習改編)若直線I的方向向量a=(1,0,2),平面a的法向量為n=(-

2,0,—4),則()

A.I//aB./±aC./?aD./與Q斜交

【解析】選B.因為n=(—2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,

所以n〃a,所以/_La.

3.若直線的方向向量為u=(l,3,2),直線為上有兩點A(l,0,1),B(2,

-1,2),則兩直線的位置關系是______.

【解析】苑=(1,-1,1),U?她=1X1-3X14-2X1=0,因此/J/公

答案：/2

4.已知兩平面a,B的法向量分別為5=(1,0,1),5=(0,2,0),則平面

a,B的位置關系為_______.

【解析】Ui?u2=0,則a_LB.

答案：a±3

關鍵能力?合作學習

類型一向量法證線線平行、垂直(數學運算、邏輯推理)

題組訓練\

1.已知直線的一個方向向量為(一7,3,4),直線人的一個方向向量為(x,y,

8),且/i〃&,貝(Jx=,y=.

2.沒A的方向向量為a=(L2,-2),右的方向向量為b=(—2,3,m),若b

±/2?則m=()

A?jB.1C.2D.3

3.在正方體ABCD-ABCD中，若E為A￡的中點，則CE垂直于()

A.ACB.BDC.AjDD.AA.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD,底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD=DC,

E,F分別是AB,PB的中點.

J

/9■十、?——R

///\/

/z/、/

fz/、/

/zf、/

AEB

求證：EF±CD.

—734

【解析】1.因為A/7/,所以---=一=Q(x=A0,v*0),

2xy8

所以x=~14,y=6.

答案：一146

2.選C.由題意可得a，b,所以a?b=0,

所以1X(―2)+2X3+(―2)Xm=O,所以m=2.

3.選B.建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,

fl1

設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),C(0,1,0),El-,1

B(1,1,0),A(1,0,0),A,(1,0,1).

則命=(1,1,0),cfc=[],1J,

[1

所以Bfe?=---+0=0,所以m_L注.所以DB_LCE.

KUUUIuuuu

AC=(-1,1,0),A,D=(-1,0,-1),AA=(0,0,1),

11

注

At?=-2--2-

UUUI113

AjD?Ct=--+0-1=--#=0,

04/21

UUUUK

AA|?Ct=1=/=0,

所鼠ACD項不符合.

4.XDA,DC,DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如

圖),

設AD=a,則D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),

a,aaa

Ela,0,P(0,0,a),Fk,~

所以昨=—I，0,|,Dt=(0,a,0),

/\

因為酢?虎=-I，0,]?(0,a,0)=0,

所以EF±DC.

用向量判斷兩條直線是否平行、垂直的方法

(1)兩直線的方向向量共線，則兩直線平行，檢查兩直線的方向向量共線一般看

其對應坐標是否成比例.

(2)在兩直線上分別取兩點A,B與C,D,計算向量AB與CD的坐標，若曲?CD

=0,則兩直線垂直，否則不垂直.

類型二向量法證線面平行、垂直(數學運算，邏輯推理)

角度二..…向.量法證線面坐行

【典例】在正方體ABCD-ABCD中，M,N分別是CG,BC的中點.求證：MN〃

平面A.BD.

【思路導引】

【解析】方法一：如圖，以D為原點，DA,DC,D?所在直線分別為x軸、y軸、

z軸建立空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),Af(1,0,1),B(1,1,0),

(fl]

MO,1-,N-,1,1,

\/

UUUttlLK(11'

于是DA|=(1,0,1),DB=(1,1,0),MN=/,0,-.

設平面ABD的一個法向量為n=(x,y,z),

UUlUlllllK

n_LDA1°n哄A1=x+z=0

則4uuu即4um

n±DBn哄B=x+y=0

取x=1,則y=—1,z=—1,

所以平面ABD的一個法向量為n=(1,-1,-1).

又仙?n=0,-?(1,-1,-1)=0,

所以而_Ln.所以MN〃平面ABD.

?uuuuumu1uuuu]uuu\uuuuuuui1uuuu

方法二：MN=C]N—C[M=]CjB]--JC=1(DjAj—Dp)="DA]，所以

06/21

UULM1UUUU1

仙LUDA,,又DA1?平面ABCD,

所以MN〃平面ABD.

,UUUUUU111UUUU1ULIU1K

方法三：MN=C,N-C1M=-C1B1--C.C=2DA-

111

加/卜111UUU

-UAUui=-+--(UAU+

2IA22\Bx2DB~2A,B.

即扁可用AB與穩(wěn)線性表示，故亦與A|B,穩(wěn)是共面向量，故MN〃平面ABD.

?解有略

利用空間向量證明線面平行一般有三種方法

方法一：證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平

面內的一組基底表示.

方法二：證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用

線面平行判定定理得證.

方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明方向向量與平面的

法向量垂直.

跟蹤訓練、

1.已知直線/〃平面ABC,且/的一個方向向量為a=(2,m,1),A(0,0,1),

B(l,0,0),C(0,1,0),則實數m的值是.

2.如圖所示,已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2,E,F分別是BB“DD1的中

點,求證：FG〃平面ADE.

【解析】1.硝=(1,0,-1),Y=(0,1,-1).

因為/〃平面ABC,所以存在實數入，口，使&=入硝+口硝,

即（2,m,1）=入（1,0,-1）+u（0,1,-1）.

［入=2,

所以,m=u,解得田=-3.

1―X-H=1,

答案：一3

2.如圖所示，建立空間直角坐標系D-xyz,

則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),E(2,2,1),F(0,

0,1).

所以FG=(0,2,1),加=(2,0,0),Afi=(0,2,1),

uuuuuu

所以FC|=AE,所以FG〃AE,因為AE?平面ADE,FC?平面ADE,

所以FC〃平面ADE.

角度2…向量法證線面垂直

【典例】如圖所示，正三棱柱ABC-ABG的所有棱長都為2,D為CG的中點.

求證：AB」平面ABD.

08/21

四步內容

條件:①正三棱柱ABGA出的所有梭長都為

理解

2,②。為(。的中點

題點

結論:AB」平面A3D

方法：通過證明麗_1_麗，而，茄?得到

思路

八3i_LBA?AB】_LBD

探求

方法二:證明市與平面ABD的法向量平行.

方法一:如圖所示?取BC的中點().連接A。因

為△ABC為正三角形?所以A()113('.

/_________4.

C,

因為在正三粳柱人墳’人B(；中.平而八/?'_1_平

面BCGBM

所以八OJ_平面

取BiG的中點a?以。為原點.)acS.Gtz.(z\

所在的左線分別為.「軸..y軸,=41)的正方向定立

空間直向坐標系.

則3(1?0?0)?D(1.1.()).A,(O.2.73).4(0.0.

73).Bid.2.0).

用；所以通(1.2.-73).M(1.2.V3).BD

我達=(-2.1.0).

因為麗?麗=1X(—D+2X：^+(-73)X73

=0.

通?BD=lX(-2)+2X14-(--ys)xo=o.

所以說」_麗?麗1BD.

即AB_LBA?AB_LBD.

又因為所以AB1平面ABD.

方法二：建系同方法一.

設平面A的一個法向量為〃-(./??》?1)?

fnJ-BAi.(n,HAi—/t5，+信二().

則即一

'///；/)11?HD2.r■y=0.

令『一1.得平面A〃“)的一個法向量為〃-(1.

2.-V3).

又麗=(12-屆?

所以〃一.麗?印而〃此

所以八/九_1_平面AJ3D.

題后由向址數fit枳為0得到向坦垂直后?要說明直線

反思垂直以及兩葉線相交，才能得到線面垂直.

四步內容

條件:①正：棱柱ABCAiBCM所有棱長都為

理解

2?②D為(C的中點

題意

結論:AB」平面A3D

—

....

方法一:通過證明ABi±BAi，AB±BD,得到

思路

A/3|JJ3Ai，A3|_U3Q

探求

方法二：證明函與平面Adil)的法向量平行.

方法一：如圖所示?取/3C的中點(),連接AO.因

為△A3('為正三角形.所以AO_LHC.

因為在正三棱柱ABGA]BiC中，平面ABC±平

面BCCB，

所以AO_L平面BCCiBi，

取HiC的中點。.以。為原點，以麗.(X)},CM

所在的直線分別為I軸,v軸,之軸的正方向建立

空間直角坐標系，

則B(1.0,0),D(—1,1,0),Ai(0,2,-)，A(0,0,

73),Bid,2,0).

書寫所以麗=(1,2?—G)?麗=(-1.2,V3)./3/5

表達=(-2,1.0).

因為麗?BA；=1X(-D+2X24-(-73)X73

=0.

ABi?麗一UX(—2)+2Xl+(—Q)X0=0.

所以麗」_麗，麗_1麗?

即.A5JJ3Q.

又因為BAiABD=B.所以ABl_L平面413D.

?解題第略

1.坐標法證明線面垂直的兩種思路

方法一：（1）建立空間直角坐標系；（2）將直線的方向向量用坐標表示；（3）找出

平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；（4）分別計算兩組向量的

數量積，得到數量積為0.

方法二：（1）建立空間直角坐標系；（2）將直線的方向向量用坐標表示；（3）求出

平面的法向量；（4）判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.

2.使用坐標法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以月方法二，否則常常選

用方法一解決.

跟蹤訓練、

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,AP=AB=2,

BC=2鏡,E,F分別是AD,PC的中點.求證：PC,平面BEF.

【證明】如圖，以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸

建立空間直角坐標系.

因為AP=AB=2,BC=AD=2/,四邊形ABCD是矩形.

所以A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2/，0）,D（0,2也,0）,P（0,0,2）.

又E,F分別是AD,PC的中點，

所以E（0,啦,0）,F（1,啦,1）.

所以無=（2,2啦,-2）,酢=（-1,啦，1）,酢=（1,0,1）.

所以胡?酢=-2+4-2=0,曉?津=2+0—2=0.

所以說_1_酷，Pt_L酢.

所以PC_LBF,PC_LEF.又BFHEF=F,所以PCJ■平面BEF.

類型三向量法證面面平行、垂直（數學運算、邏輯推理）

角.度.1.....向量法證面面坐行

【典例】如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中，0為底面ABCD的中心，P是DD1

的中點，設Q是CG上的點，問：當點Q在什么位置時，平面DBQ〃平面PAO.

【思路導引】建立空間直角坐標系，找兩對向量共線得兩對相交的平行直線.

【解析】如圖所示，分別以DA,DC,D?所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空

間直角坐標系D-xyz,在CG上任取一點Q,連接BQ,DQ

(11If1)

設正方體的棱長為1,則萬°,PO,0,另，

A(1,0,0),B(1,1,0),A(0,0,1),Q(0,1,z),

uuu

則加=[-亍一亍2BD,=(-1,-1,1),

h1uuu

所以m=-BD],

Iuuu

所以m〃BD,即0P〃BDi.

1]

AP=-1,o,-,Btl=(-1,0,z),

12/21

1

當z=-時，Xp=城,

即AP〃BQ,又APDOP=P,BQABD尸B,

則有平面PAO〃平面DBQ,

所以當Q為CG的中點時，平面DBQ〃平面PAO.

?解部鍵略

向量證明面面平行的方法

利用空間向量證明面面平行通?？梢杂袃蓚€途徑：一是找兩對向量共線得兩對

相交的平行直線，用面面平行的判定定理證明；二是求出兩平面的法向量，若

兩法向量是共線向量，則可判定兩平面平行.

跟蹤訓練\

在正方體ABCD-ABCD中，試證明平面A3D〃平面CBD.

【解析】如圖，以D為原點，DA,DC,DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,

則C(0,1,0),?(0,0,1),B^l,1,1),A.(1,0,1),B(1,1,0),

uuuuuuu

所以CD]=(0,-1,1),D,B,=(1,1,0),

設平面CBD的一個法向量為m=(xi,vi,zi),

m_LCD],

uuir

mg=—%+Z|=0,

uuuif

mQBI=X|+y=0,

令必=1,可得平面CBD的一個法向量為m=(—1,1,1),

同理可求平面ABD的一個法向量為n=(1,-1,-1).

所以m=-n,所以m〃n,

故平面ABD〃平面CBD.

角度2..…向量法證面面垂直

【典例】如圖所示，在直三棱柱ABC-ABG中，AB±BC,AB=BC=2,BBi=l,E

為BBi的中點，證明：平面AEC」平面AA￡C.

【思路導引】要證明兩個平面垂直，由兩個平面垂直的條件，可證明這兩個平

面的法向量垂直，轉化為求兩個平面的法向量的數量積為零.

【證明】由題意得AB,BC,BB兩兩垂直.以B為原點，BA,BC,BB1所在直線

分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

4

(f

則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),G(0,2,1),E0,0,-

UUUUUUL1

則AA]=(0,0,1),AC=(-2,2,0),AC,=(-2,2,1),

(n

於=-2,0,-.

\L)

設平面AAGC的一個法向量為n=(xi,yi,zO.

14/21

uuuu

\g\A|=OZi=O,

則Util-

H]gAC=O—2xi+2yi=0.

令Xi=1,得=1.所以m=(1,1,0).

設平面AEG的一個法向量為r)2=(X2,y2,z2).

=

(uuirj_2x2+2y2+z20,

Jn2^C,=0,J

則

[n2^E=0[-2X2+-Z2=0,

令ZZ=4,得X2=1,丫2=—1.所以r)2=(1,—1,4).

因為ni?n2=1X1+1X(—1)+0X4=0.

所以m_Ln2,所以平面AEGJ■平面AAiCiC.

?解避略

利用向量證明面面垂直的方法

利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：一是利用兩個平面垂直的判

定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩

個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直.

跟蹤訓練\

在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS,底面ABCD,且AS=AB,E是SC

的中點.求證：平面BDE_L平面ABCD.

【證明】設AS=AB=1,建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),

n1n

匚E(—2，—2，—2j,

11)

方法一：連接AC,交BD于點0,連接0E,則點0的坐標為+0.易知或=

(0,0,1),ot=o,o-,

<乙)

所以注=-或,所以0E〃AS.

又ASJ■底面ABCD,所以0E_L平面ABCD.

又0E?平面BDE,所以平面BDE_L平面ABCD.

方法二：設平面BDE的一個法向量為m=(x,y,z).

易知的=(-1,1,0),=—2，2f2，

fn」以[n1-Bfc=-x+y=0,

所以11即11111

[mJ■注，[m<5E=--x+-y+-z=0.

令x=1可得平面BDE的一個法向量為m=(1,1,0).

因為AS_L底面ABCD,

所以設平面ABCD的一個法向量為r)2=W=(0,0,1).

因為n「n2=0,所以平面BDE_L平面ABCD.

備選類型向量法解立體幾何問題(數學運算、邏輯推理)

【典例】如圖所示,在長方體ABCD-ABCD中，AD=1,AB=AA產2,N,M分別

是AB,GD的中點.

(1)求證：NM〃平面NADDi；

(2)求證:NM,平面ABM.

【思路導引】(1)建立坐標系證明向量環(huán)與平面&ADD的法向量垂直；(2)證明

向量蕭與平面ABM內的兩個向量垂直.

16/21

【證明】（1）以D為原點，直線DA為x軸，直線DC為y軸，直線D?為z軸,

建立空間直角坐標系，

因為在長方體ABCD-ABCD中，AD=1,AB=AA1=2,N,M分別是AB,CD的中

點，

所以M(0,1,1),N(1,1,0),扁=(1,0,-1),

因為平面AAD6的一個法向量n=(0,1,0),

所以扁?n=0,因為MN?平面AiADD”

所以所〃平面AiAD?.

UUUUUUUUI

(2)^(1,0,2),BN1,2,2),A,B,=(0,2,0),A,M=(-1,1,-1),

KUUUUKuuua

所以麗?A.Bj=0,MN?AjM=0,

所以MN_LAB,MN±A,M,

因為ABnAM=A”所以NM_L平面ABM.

?解題策略

利用向量法解立體幾何問題的步驟

建立空間直角坐標系一寫出點的坐標一求直線的方向向量和平面的法向量f證

明向量垂直一得到線線、線面、面面垂直.利用向量法解決立體幾何問題的優(yōu)

越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關系，恰當建系或用基向量表示后，只需

經過向量運算就可得到要證明的結果，思路方法“公式化”，降低了思維難度.

跟蹤訓練、

L三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為三角形

ABC,ZBAC=90°,A】A_LABC.AABC.,AB=AC=2AC=2,D為BC的

中點.

求證：平面AiAD，平面BCCB.

【證明】如圖，建立空間直角坐標系.

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),Ai(0,0,小),Ci(0,1,小),

因為D為BC的中點，所以D點坐標為(1,1,0),

所以=(-2,2,0),At)=(1,1,0),AA,=(0,0,y/3),

UUUU1

因為At)=-2+2+0=0,Bt-AAl=0+0+0=0,

uuuu

所以±At),Bt±AA,,

即BC_LAD,BC±AAi,

又ADClAAi=A,所以BCJ_平面AiAD,

而BC?平面BCCiBi,

所以平面AiAD_L平面BCCiBi.

課堂檢測?素養(yǎng)達標

1.A的方向向量為7=(1,2,3),1的方向向量V2=(入,4,6),若h〃lz,則

入=()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.因為

12

所以V1〃