專題17難點(diǎn)探究專題：相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問題之六大考點(diǎn)(原卷版+解析)

專題17難點(diǎn)探究專題：相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問題之六大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 7【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】 15【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】 22【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題】 27【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題】 34【典型例題】【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，以的速度向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．（1）用含t的代數(shù)式表示：=；（2）當(dāng)以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．2．如圖，在中，，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒3個(gè)單位的速度按照從運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，若△BPQ與相似，則的值為．3．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接PQ．(1)若△BPQ與相似，求t的值；(2)直接寫出△BPQ是等腰三角形時(shí)t的值；(3)如圖2，連接AQ、CP，若，求t的值．【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023秋·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)D在邊上，的垂直平分線交邊于點(diǎn)E．若是直角三角形，則的長為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南南陽·九年級(jí)南陽市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，P是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，PD＝．3．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在線段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為．3．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，C是的中點(diǎn)，沿直線PC截，若得到的三角形與相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．4．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求長．【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】例題：（2023秋·湖南益陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形的邊長為6，點(diǎn)在邊上，且，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，設(shè)的長為，則線段長度的最大值為.【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，則的最小值為．

2．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，．點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)相交于點(diǎn)G，則的最小值為．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長為．

【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，交折線于點(diǎn)Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，線段的長為y，如果y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形的面積是（

）A．20 B．24 C．48 D．602．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動(dòng)，連接交或的延長線于，記點(diǎn)移動(dòng)的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．3．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點(diǎn)C，D是位于直線下方的上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），連接，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．B．

C．D．

【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上，連接，過點(diǎn)A作，垂足為H，交于F．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．(3)若直線與線段延長線交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)在邊上從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長度；(3)連接．試判斷當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的什么位置時(shí)，△PCQ∽△BCP？并說明理由．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)如圖①，線段DF與線段BC相交于點(diǎn)G，當(dāng)BE=2時(shí)，則_______；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，線段EF與線段AB相交于點(diǎn)P，求DP的長；(3)如圖③，連接CD，線段EF與線段CD相交于點(diǎn)M，當(dāng)△DFM為直角三角形時(shí)，求BE的長．【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題】例題：（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在中，分別為上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，已知為的邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交和于點(diǎn)和，求的值．【拓展提高】(3)如圖3，點(diǎn)是正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，延長至點(diǎn)，使，連接，求的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時(shí)思路，利用圖（2）請證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線外一動(dòng)點(diǎn)，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請求出這個(gè)值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點(diǎn)在l外運(yùn)動(dòng)時(shí)，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作，交直線BC于點(diǎn)F．(1)[探究發(fā)現(xiàn)]：如圖1，若，點(diǎn)E在線段AC上，猜想DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)[數(shù)學(xué)思考]：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，求證：；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，數(shù)學(xué)思考①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；(3)[拓展應(yīng)用]：若，，，求CE的長．（可結(jié)合題意，另行畫圖）

專題17難點(diǎn)探究專題：相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問題之六大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 7【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】 15【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】 22【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題】 27【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題】 34【典型例題】【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，以的速度向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．（1）用含t的代數(shù)式表示：=；（2）當(dāng)以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間【答案】/秒或4秒【分析】（1）根據(jù)路程=速度時(shí)間，即可表示出AQ的長度.（2）此題應(yīng)分兩種情況討論．①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)．利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意可知：，（2）連接PQ，∵∠PAQ=∠BAC，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得當(dāng)時(shí)，，即，解得t=4．∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或4秒．故答案為：；秒或4秒【點(diǎn)睛】考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意不要漏解．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．【答案】3秒或4.8秒【分析】如果以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，由于與對(duì)應(yīng)，那么分兩種情況：①與對(duì)應(yīng)；②與對(duì)應(yīng)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．【詳解】解：如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①當(dāng)D與B對(duì)應(yīng)時(shí)，有ADE∽ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②當(dāng)D與C對(duì)應(yīng)時(shí)，有ADE∽ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒，故答案為：3秒或4.8秒．【點(diǎn)睛】主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．本題分析出以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，有兩種情況是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒3個(gè)單位的速度按照從運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，若△BPQ與相似，則的值為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意可知，分和兩種情形討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，①當(dāng)時(shí)，，，若，∴則，∴，解得：；若，∴則∴，解得：②當(dāng)時(shí)，，，同理可得或解得：（舍去）或綜上所述，或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接PQ．(1)若△BPQ與相似，求t的值；(2)直接寫出△BPQ是等腰三角形時(shí)t的值；(3)如圖2，連接AQ、CP，若，求t的值．【答案】(1)t的值為1或(2)是等腰三角形時(shí)t的值為：或或(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，分兩種情況：①，②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)將代入計(jì)算即可得；（2）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，過P作，則，，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，進(jìn)而即可求解；②當(dāng)時(shí)，列出式子即可求解；③當(dāng)時(shí)，過Q作于G，則，通過，得到比例式進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)AQ，CP交于點(diǎn)N，過P作于點(diǎn)M，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，由題意得：，分以下兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜上，t的值為1或；（2）解：分三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，過P作，則，，∵，，∴，∴，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，即，解得：；③當(dāng)時(shí)，如圖，過Q作于G，則，，∵，∴，∴即，解得：；綜上所述：△BPQ是等腰三角形時(shí)t的值為：或或；（3）解：如圖，設(shè)AQ，CP交于點(diǎn)N，過P作于點(diǎn)M，∵，∴，∴，∴，即，解得，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是該分式方程的解．【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023秋·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)D在邊上，的垂直平分線交邊于點(diǎn)E．若是直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】由勾股定理和垂直平分線的性質(zhì)可知，，若是直角三角形，分或兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∵的垂直平分線交邊于點(diǎn)E，∴，設(shè)，則若是直角三角形，①如圖，當(dāng)時(shí)，可知，則：，即：，可得：，∴，①如圖，當(dāng)時(shí)，可知，則：，即：，可得：，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，勾股定理及垂直平分線的性質(zhì)，將直角進(jìn)行分類討論，利用相似三角形的性質(zhì)列比例式是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南南陽·九年級(jí)南陽市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，P是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，PD＝．【答案】或【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，根據(jù)勾股定理可得，設(shè)PD'=PD=x，則AP=12-x，△APD'’是直角三角形可以分兩種情況討論，①當(dāng)∠AD'P=90°時(shí)，②當(dāng)∠APD'=90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程求解，即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，AB=8，BC=12，AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，E是BC的中點(diǎn)，BE=CE=6，，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D'處，PD'=PD，設(shè)PD'=PD=x，則AP=12-x，要使得△APD'是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD'P=90°時(shí)，∠AD'P=∠B=90°，AD//BC，∠PAD'=∠AEB，，，即解得，；②當(dāng)∠APD'=90°時(shí)，∠APD'=∠B=90°，∠PAE=∠AEB，，，即，解得：，；綜上所述，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折、矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在線段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為．【答案】或或【分析】由翻折變換的性質(zhì)得：，設(shè)，則；分三種情況討論：①時(shí)，②當(dāng)時(shí)，在的垂直平分線上，③當(dāng)時(shí)，作于，得出，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)得：，，，，∴，設(shè)，則；分三種情況討論：①時(shí)，，解得：，；②當(dāng)時(shí)，在的垂直平分線上，為的中點(diǎn)，，，解得：，；③當(dāng)時(shí)，作于，如圖所示：則，，又，，，，即，解得：；綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為：或或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，C是的中點(diǎn)，沿直線PC截，若得到的三角形與相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】或或．【分析】先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出的長，得到，然后分三種情況利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，解得，∴，∵，∴，∵C是的中點(diǎn)，∴，如圖1，點(diǎn)P在上，且，∴，∴，∴，∴，∴；如圖2，點(diǎn)P在上，且，∴，∴，∴，∴；如圖3，點(diǎn)P在上，且，∴，∴，∴，∴，∴，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性質(zhì)強(qiáng)，應(yīng)注意按點(diǎn)P的不同位置分類討論，求出所有符合題意的答案．4．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求長．【答案】或1或4【分析】設(shè)，利用矩形的性質(zhì)得到，則根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，∽，；當(dāng)時(shí)，∽，即，然后分別解方程即可．【詳解】解：設(shè)，

∵四邊形為矩形，，∴當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，解得綜上所述，的長為或1或4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了矩形的性質(zhì)．分類討論是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】例題：（2023秋·湖南益陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形的邊長為6，點(diǎn)在邊上，且，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，設(shè)的長為，則線段長度的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定得到，進(jìn)而根據(jù)相似比得到，利用二次函數(shù)求最值方法求解即可得到答案．【詳解】解：由題意作出圖形，如圖所示：

在正方形中，，邊長為6，設(shè)的長為，則，，，即，，，，，，，∴，，∴，，在時(shí)有最大值，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)求最值等知識(shí)，讀懂題意，作出圖形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，則的最小值為．

【答案】【分析】作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則垂直平分，，由勾股定理可求得，根據(jù)三角形的面積可求得解得，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，則，，可知此時(shí)有最小值，最小值為，再根據(jù)相似三角形的判定，可證得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則垂直平分，，由勾股定理得：，，，，解得，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，

則，，，此時(shí)，，有最小值，最小值為，，，又，，，得，解得，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，．點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)相交于點(diǎn)G，則的最小值為．【答案】【分析】如圖：分別以所在直線建立直角坐標(biāo)系，作,延長交于點(diǎn)P；先通過判定、得到、；設(shè),則，得到，即；說明點(diǎn)G在直線上且，的最小值為點(diǎn)A到直線的垂線段長度，最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖：分別以所在直線建立直角坐標(biāo)系，作,延長交于點(diǎn)P∵四邊形為矩形∴∴∵∴∴∵∴∴∴∴∴∵∴,∴又∵分別是和對(duì)應(yīng)邊上的高∴∴設(shè),則∴，即∵∴∴∴，即∴，即∵∴點(diǎn)G在直線上且∴的最小值為點(diǎn)A到直線的垂線段長度∴∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值，則的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)求最值等知識(shí)點(diǎn)，通過三角形的判定與性質(zhì)得到點(diǎn)G在直線上且成為解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長為．

【答案】【分析】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)Q作交于G，過點(diǎn)D作且，連接，先證明是等腰直角三角形，得到，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則，由此可得，，是等腰直角三角形，則；設(shè)與y軸交于N，過點(diǎn)E作軸于M，證明，得到，則，，證明四邊形是平行四邊形，得到；證明是等腰直角三角形，得到，則；由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則，，故當(dāng)最小時(shí)，最小，即最小，即當(dāng)E、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，求出直線解析式為，同理可得直線的解析式為，則當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用勾股定理求出，，則．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)Q作交于G，過點(diǎn)D作且，連接，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，∴，設(shè)與y軸交于N，過點(diǎn)E作軸于M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴，∴，∵要使最小，即要使最小，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，即最小，∴當(dāng)E、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判斷，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線確定最小的情形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，交折線于點(diǎn)Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，如圖，

∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是：

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，線段的長為y，如果y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形的面積是（

）A．20 B．24 C．48 D．60【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)P的移動(dòng)規(guī)律，當(dāng)時(shí)取最小值3，根據(jù)矩形的性質(zhì)求得矩形的長與寬，可得該矩形的面積．【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，，∵四邊形是矩形，∴，，∴此時(shí)，，∴，∴，∴，所以矩形的面積．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)所給函數(shù)圖象和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡判斷出．2．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動(dòng)，連接交或的延長線于，記點(diǎn)移動(dòng)的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分三種情況討論得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在正方形中，，∴與或的延長線沒有交點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)點(diǎn)在線段之間（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），∵四邊形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)移動(dòng)的距離為，為，∴，，，∴，∴，它的圖像是反比例函數(shù)圖像的一部分；②當(dāng)點(diǎn)在線段之間（點(diǎn)可與點(diǎn)、點(diǎn)重合），此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∵，，又∵，∴，它的圖像是一條線段；∴動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖像，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖像．解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于根據(jù)點(diǎn)的位置分情況討論．3．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點(diǎn)C，D是位于直線下方的上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），連接，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．B．

C．D．

【答案】B【分析】根據(jù)得，根據(jù)直線是線段的中垂線可得，，再證，然后根據(jù)相似三角形列比例式化簡可得，再結(jié)合確定函數(shù)圖像即可即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵直線是線段的中垂線，∴，，，∵，∴，∴，∴∴，即，可得，即函數(shù)圖像為B選項(xiàng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，證得得到是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上，連接，過點(diǎn)A作，垂足為H，交于F．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．(3)若直線與線段延長線交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）由可得，用x的代數(shù)式表示、，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形∴．又∵，∴，，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖所示，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)在邊上從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長度；(3)連接．試判斷當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的什么位置時(shí)，△PCQ∽△BCP？并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)AQ=(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)時(shí)，△PCQ∽△BCP；理由見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠APQ+∠AQP=90°．再由PE⊥PC，可得∠APQ+∠BPC=90°，從而得到∠AQP=∠BPC，即可求證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)時(shí)，△PCQ∽△BCP；理由根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先求出AQ，再根據(jù)勾股定理可得PQ，CP的長，可得到==．即可求證．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠APQ+∠AQP=90°．∵PE⊥PC，∴∠APQ+∠BPC=90°，∴∠AQP=∠BPC，∴△APQ∽△BCP；（2）解：∵S△APQ∶S△BCP=1∶16，△APQ∽△BCP，∴==．設(shè)BP=x，則AP=4-x，∴=，解得x=3，即BP=3，∴AQ=；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)時(shí)，△PCQ∽△BCP；理由如下：如圖，∵P是AB的中點(diǎn)，∴AP=BP=2．∵△APQ∽△BCP，∴=，即=，解得：AQ=1，∴PQ=，，∴==．又∵∠CPQ=∠B=90°，∴△PCQ∽△BCP．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)如圖①，線段DF與線段BC相交于點(diǎn)G，當(dāng)BE=2時(shí)，則_______；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，線段EF與線段AB相交于點(diǎn)P，求DP的長；(3)如圖③，連接CD，線段EF與線段CD相交于點(diǎn)M，當(dāng)△DFM為直角三角形時(shí)，求BE的長．【答案】(1)(2)(3)或7【分析】（1）連接CD，根據(jù)勾股定理得到AB=10，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD=AB=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠F=∠B，EF=EB=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（3）①如圖③-a，當(dāng)∠FMD=90°時(shí)，如圖③b，當(dāng)∠FDM=90°時(shí)，作DH⊥BC于H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：連接CD，∵在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，∴AB==10，∵點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，∴CD=BD=AB=5，∴∠DCB=∠B，∵將△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴∠F=∠B，EF=EB=2，∵∠CGD=∠FGE，∴△CDG∽△FEG，∴，故答案為：；（2）解：∵∠PCD=∠BCD，∠BCD=∠B，∴∠PCD=∠B，∵∠CPD=∠BPC，∴△CPD∽△BPC，∴，設(shè)DP=5k，CP=8k，∵CP2=PD?PB，∴64k2=5k（5k+5），∴k=，∴PD=5k=；（3）解：①如圖③-a，當(dāng)∠FMD=90°時(shí)，∵∠F=∠B，∠FMD=∠ACB=90°，∴△FDM∽△BAC，∴，∴，∴DM=3，∴CM=CD-DM=2，∵∠ECM=∠B，∴∠CME=∠ACB=90°，∴△CEM∽△BAC，∴，∴，∴CE=，∴BE=；如圖③b，當(dāng)∠FDM=90°時(shí)，∵∠F=∠BCD，∠FMD=∠CME，∴∠CEM=∠FDM=90°，∴∠FED=∠BED=45°，作DH⊥BC于H，則△BDH∽△BAC，∴，∴，∴DH=3，BH=4，∴EH=DH=3，∴BE=3+4=7．綜上所述，BE=或7．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題】例題：（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在中，分別為上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，已知為的邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交和于點(diǎn)和，求的值．【拓展提高】(3)如圖3，點(diǎn)是正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，延長至點(diǎn)，使，連接，求的最小值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定證明，，得到，，整理可得，即；（2）如圖，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)F，由（1）中結(jié)論可得，，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，整理可得；（3）如圖，延長交于點(diǎn)H，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和可得，由此可得：點(diǎn)H為定點(diǎn)，點(diǎn)G在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，有最小值，利用等積法求得時(shí)的值即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，，，∴，，∴，，∴，∴．（2）如圖，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)F，∵，由（1）中結(jié)論可得，，∵，∴，，，，∴，，∴，，∴．（3）如圖，延長交于點(diǎn)H，∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，由此可得：點(diǎn)H為定點(diǎn)，點(diǎn)G在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，有最小值，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時(shí)思路，利用圖（2）請證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線外一動(dòng)點(diǎn)，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請求出這個(gè)值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點(diǎn)在l外運(yùn)動(dòng)時(shí)，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；【嘗試應(yīng)用】①2，【拓展提高】②【分析】（1）作，交的延長線于E，可證得，因此，再證，從而得出；（2）延長至T，使，連接，可證得，，進(jìn)而證得，進(jìn)而證得，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）延長至Q，使，連接，作，交的延長線于D，由得出，由平分得出，不妨設(shè)，，則，由得出，進(jìn)而得出．【詳解】（1）證明：如圖1，作，交的延長線于E，，，，平分，，，，；（2）解：如圖2，

延長至T，使，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，，平分，，，，，，，，；（3）如圖3，

延長至Q，使，作，，，平分，，不妨設(shè)，，由上知：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．2．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作，交直線BC于點(diǎn)F．(1)[探究發(fā)現(xiàn)]：如圖1，若，點(diǎn)E在線段AC上，猜想DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)[數(shù)學(xué)思考]：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，求證：；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，數(shù)學(xué)思考①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；