第09講二次根式的加減(知識解讀+題型精講+隨堂檢測)(原卷版+解析)

第09講二次根式加減知識點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點3：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【題型一：同類二次根式的判斷】【典例1】（2023春?西吉縣期末）下列二次根式中能與合并的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（2023春?工業(yè)園區(qū)期末）下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【變式1-2】（2023?廣陵區(qū)校級四模）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2023春?鞍山期末）能與合并的二次根式是（）A． B． C． D．【題型二：求同類二次根式中的參數(shù)】【典例2】（2023春?伊犁州期末）若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【變式2-1】（2023春?蒙城縣校級期中）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【變式2-2】（2023春?中江縣期末）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【變式2-3】（2023春?烏魯木齊期末）若和最簡二次根式是同類二次根式，則m的值為（）A．m＝5 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝6【題型三：二次根式加減運算】【典例3】（2023春?淮北期末）計算：．【變式3-1】（2023春?武平縣期末）計算：．【變式3-2】（2023春?臨高縣期中）計算題（1）．（2）．【變式3-3】（2023春?豐臺區(qū)期末）計算：．【變式3-4】（2023春?陽山縣期中）2+3﹣5﹣3．【題型四：二次根式的混合運算】【典例4】（2023春?清原縣期末）計算：（1）；（2）．【變式4-1】（2023春?沂南縣期末）計算：（1）；（2）．【變式4-2】（2023春?安慶期末）計算：．【變式4-3】（2023春?惠東縣期末）計算：．【題型五：已知字母的值化簡求值】【典例5】（2023春?南寧月考）先化簡，再求值：，其中．【變式5-1】（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）先化簡，再求值：，其中．【變式5-2】（2023春?鐵西區(qū)期末）先化簡，再求值：，其中．【題型六：已知條件化簡求值】【典例6】（2023春?鼓樓區(qū)期中）已知，，求代數(shù)式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【變式6-1】（2022秋?天元區(qū)校級期末）已知a＝4﹣2，b＝4+2．（1）求ab，a﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【變式6-2】（2021秋?祁陽縣期末）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+y2﹣3xy．【題型七：二次根式的新定義運算】【典例7】（2023春?鹽城期中）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的因子二次根式．（1）若a與是關于4的因子二次根式，則a＝；（2）若﹣1與m﹣是關于﹣2的因子二次根式，求m的值．【變式7-1】（2022秋?吉州區(qū)期末）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的共軛二次根式．（1）若a與是關于4的共軛二次根式，則a＝；（2）若與是關于12的共軛二次根式，求m的值．【變式7-2】（2023春?瑤海區(qū)期中）用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)m和n，規(guī)定m※n＝m2n﹣mn﹣3n．如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．求（﹣2）※值．1．（2023春?長垣市期末）下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．2．（2023春?十堰期中）若最簡二次根式和能合并，則x的值可能為（）A． B． C．2 D．53．（2023春?湯陰縣期中）下列運算正確的是（）A． B． C． D．4．（2023?鼓樓區(qū)二模）計算的結果是（）A． B．2 C． D．5．（2022秋?宛城區(qū)校級期末）用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)m和n，規(guī)定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．則（﹣2）※結果為（）A． B． C． D．6．（2023春?十堰期中）已知a是的小數(shù)部分，則的值為（）A．5 B．6 C．7 D．7．（2021?廣州模擬）已知長方形的長和寬分別為、，則它的周長為．8．（2023?增城區(qū)校級一模）計算：2﹣＝．9．（2022秋?南關區(qū)校級期末）規(guī)定用符號[m]表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此規(guī)定[7﹣]的值為．10．（2023?德城區(qū)模擬）計算：＝．11．（2023?高青縣一模）已知實數(shù)m、n滿足，則＝．11．（2023春?崇左月考）計算：．12．（2023春?林州市期末）計算：（1）﹣+（+1）×（﹣1）；（2）（+）×﹣2．13．（2023春?曾都區(qū)期中）已知，，求下列各式的值．（1）x2﹣y2（2）x2+y2．14．（2023春?長汀縣期末）先化簡，再求值：﹣6+2x，其中x＝4．

第09講二次根式加減知識點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點3：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【題型一：同類二次根式的判斷】【典例1】（2023春?西吉縣期末）下列二次根式中能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、＝；B、；C、；D、＝3；∴與2合并的是，故選：A．【變式1-1】（2023春?工業(yè)園區(qū)期末）下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴與不是同類二次根式，故A不符合題意；B、∵＝2，∴與不是同類二次根式，故B不符合題意；C、與不是同類二次根式，故C不符合題意；D、∵＝2，∴與是同類二次根式，故D符合題意；故選：D．【變式1-2】（2023?廣陵區(qū)校級四模）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴與不是同類二次根式，故A不符合題意；B、∵＝，∴與不是同類二次根式，故B不符合題意；C、∵＝，∴與不是同類二次根式，故C不符合題意；D、∵＝3，∴與是同類二次根式，故D符合題意；故選：D．【變式1-3】（2023春?鞍山期末）能與合并的二次根式是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：＝＝2，A、＝＝2，不能與合并，不符合題意；B、＝＝3，能與合并，符合題意；C、＝＝2，不能與合并，不符合題意；D、＝＝2，不能與合并，不符合題意；故選：B．【題型二：求同類二次根式中的參數(shù)】【典例2】（2023春?伊犁州期末）若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】D【解答】解：由題意，得：a+2＝3a，解得a＝1，故選：D．【變式2-1】（2023春?蒙城縣校級期中）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴﹣2a+1＝7+4a，∴a＝﹣1，故選：A．【變式2-2】（2023春?中江縣期末）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解答】解：∵最簡二次根式與能夠合并，∴2a＝3a﹣1，解得：a＝1，故選：C．【變式2-3】（2023春?烏魯木齊期末）若和最簡二次根式是同類二次根式，則m的值為（）A．m＝5 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝6【答案】C【解答】解：∵＝2，∴3m﹣7＝2，∴m＝3．故選：C．【題型三：二次根式加減運算】【典例3】（2023春?淮北期末）計算：．【答案】+．【解答】解：原式＝4﹣3×++3＝+．【變式3-1】（2023春?武平縣期末）計算：．【答案】﹣72．【解答】解：原式＝＝＝．【變式3-2】（2023春?臨高縣期中）計算題（1）．（2）．【答案】（1）﹣12；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣15＝﹣12；（2）原式＝2﹣+＝．【變式3-3】（2023春?豐臺區(qū)期末）計算：．【答案】4．【解答】解：原式＝﹣2+2+3＝4．【變式3-4】（2023春?陽山縣期中）2+3﹣5﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝（2﹣5）+（3﹣3）＝﹣3．【題型四：二次根式的混合運算】【典例4】（2023春?清原縣期末）計算：（1）；（2）．【答案】（1）2﹣1；（2）﹣8+2．【解答】解：（1）＝2﹣+3＝2﹣4+3＝2﹣1；（2）＝5﹣9﹣（3﹣2+1）＝5﹣9﹣3+2﹣1＝﹣8+2．【變式4-1】（2023春?沂南縣期末）計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）＝＝．【變式4-2】（2023春?安慶期末）計算：．【答案】4﹣．【解答】解：＝+﹣2＝4+﹣2＝4﹣．【變式4-3】（2023春?惠東縣期末）計算：．【答案】．【解答】解：＝＝．【題型五：已知字母的值化簡求值】【典例5】（2023春?南寧月考）先化簡，再求值：，其中．【答案】2x2﹣5x﹣5，．【解答】解：原式＝x2﹣5+x2﹣5x＝2x2﹣5x﹣5，當時，原式＝＝．【變式5-1】（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】3x+3，3．【解答】解：＝x2﹣2﹣x2+3x+5＝3x+3，∵，∴x+1＝，∴原式＝3（x+1）＝3．【變式5-2】（2023春?鐵西區(qū)期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：，＝x2﹣2+x2﹣x，＝2x2﹣x﹣2，當—2時，原式＝＝）＝．【題型六：已知條件化簡求值】【典例6】（2023春?鼓樓區(qū)期中）已知，，求代數(shù)式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【答案】（1）﹣4；（2）5．【解答】解：∵，，∴xy＝（1﹣）（1+）＝﹣1，x+y＝1﹣+1+＝2，x﹣y＝1﹣﹣1﹣＝﹣2，（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×（﹣2）＝﹣4；（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝22﹣（﹣1）＝4+1＝5．【變式6-1】（2022秋?天元區(qū)校級期末）已知a＝4﹣2，b＝4+2．（1）求ab，a﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【答案】（1）4；﹣4；（2）112+16．【解答】解：（1）∵a＝4﹣2，b＝4+2，∴ab＝（4﹣2）×（4+2）＝42﹣（2）2＝16﹣12＝4；a﹣b＝（4﹣2）﹣（4+2）＝4﹣2﹣4﹣2＝﹣4；（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣4，所以2a2+2b2﹣a2b+ab2＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）＝2×[（﹣4）2+2×4]﹣4×（﹣4）＝2×（48+8）+16＝2×56+16＝112+16．【變式6-2】（2021秋?祁陽縣期末）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+y2﹣3xy．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由已知可得：x+y＝4，x﹣y＝2，xy＝1（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8；（2）x2﹣2xy+y2﹣xy＝（x﹣y）2﹣xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11【題型七：二次根式的新定義運算】【典例7】（2023春?鹽城期中）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的因子二次根式．（1）若a與是關于4的因子二次根式，則a＝2；（2）若﹣1與m﹣是關于﹣2的因子二次根式，求m的值．【答案】（1）2；（2）﹣1．【解答】解：（1）根據(jù)題意得a×＝4，解得a＝2，故答案為：2；（2）根據(jù)題意得（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，所以m﹣＝﹣＝﹣（+1），解得m＝﹣1，即m的值為﹣1．【變式7-1】（2022秋?吉州區(qū)期末）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的共軛二次根式．（1）若a與是關于4的共軛二次根式，則a＝2；（2）若與是關于12的共軛二次根式，求m的值．【答案】（1）2；（2）m＝﹣2．【解答】解：（1）∵a與是關于4的共軛二次根式，∴＝4．∴a＝＝2；故答案為：2；（2））∵與是關于12的共軛二次根式，∴．∴18+6+3m+3m＝12．∴m（3+3）＝﹣6﹣6．∴m＝﹣2．【變式7-2】（2023春?瑤海區(qū)期中）用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)m和n，規(guī)定m※n＝m2n﹣mn﹣3n．如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．求（﹣2）※值．【答案】3．【解答】解：由題意得：（﹣2）※＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3，∴（﹣2）※值為3．1．（2023春?長垣市期末）下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．＝，不能與合并，故本選項不符合題意；B．＝2，不能與合并，故本選項不符合題意；C．＝，不能與合并，故本選項不符合題意；D．＝2，能與合并，故本選項符合題意．故選：D．2．（2023春?十堰期中）若最簡二次根式和能合并，則x的值可能為（）A． B． C．2 D．5【答案】C【解答】解：∵最簡二次根式和能合并，∴2x+1＝4x﹣3，解得x＝2．故選：C．3．（2023春?湯陰縣期中）下列運算正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、，符合題意；B、，不符合題意；C、與不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；D、，不符合題意．故選：A．4．（2023?鼓樓區(qū)二模）計算的結果是（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：＝2．故選：D．5．（2022秋?宛城區(qū)校級期末）用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)m和n，規(guī)定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．則（﹣2）※結果為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3，故選：A．6．（2023春?十堰期中）已知a是的小數(shù)部分，則的值為（）A．5 B．6 C．7 D．【答案】B【解答】解：∵a是的小數(shù)部分，∴a＝﹣2，∴＝5+＝5+＝5+1＝6，故選：B．7．（2021?廣州模擬）已知長方形的長和寬分別為、，則它的周長