愛提分中考復(fù)習(xí) 5一輪-圖形的變換-第02講 圖形的對稱(學(xué)生版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王曉與 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜圖形的對稱知識精講一．軸對稱1．軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點．2．軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．這條直線就是它的對稱軸．這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．3．軸對稱圖形、圖形成軸對稱的性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形全等．軸對稱圖形沿對稱軸分成的兩個圖形全等．（2）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．4．垂直平分線：定義：經(jīng)過線段中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．判定：在同一平面內(nèi)，到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．作法：如圖（1）分別以點A、B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；（2）作直線CD，CD為所求直線．二．最短路徑問題（1）將軍飲馬問題如圖所示，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？如圖所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A關(guān)于河岸的對稱點，連結(jié)，與河岸線相交于點C，則C點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到營地B，所走的路程就是最短的．（2）造橋選址問題如圖，和兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋，橋造在何處才能使從到的路徑最短？（假設(shè)河兩岸、平行，橋與河岸垂直．）三、對稱類綜合問題對稱類綜合問題在題目中經(jīng)常以圖形翻折的形式出現(xiàn)，在解題的過程中首先判斷確定該類問題考察的是軸對稱的知識點，然后結(jié)合軸對稱的性質(zhì)注意對稱軸左右兩側(cè)圖形是全等的，進(jìn)而得到對應(yīng)的線段和角度相等，最后結(jié)合題目中的條件利用勾股定理、相似三角形或者是三角函數(shù)來解題．方法點撥：一．常見的將軍飲馬問題模型1．如圖，直線和的異側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最小．2．如圖，直線和的同側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最?。?．如圖，直線和同側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最大．4．如圖，直線和異側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最大．5．如圖，點是內(nèi)的一點，分別在，上作點、，使的周長最小．6．如圖，點，為內(nèi)的兩點，分別在，上作點、，使四邊形的周長最?。?．如圖，點是外的一點，在射線上作點，使與點到射線的距離之和最?。?．如圖，點是內(nèi)的一點，在射線上作點，使與點到射線的距離之和最?。c剖析一．考點：1．軸對稱；2．最短路徑問題；3．對稱類綜合問題．二．重難點：最短路徑問題；對稱類綜合問題三．易錯點：1．把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條對稱軸對稱．2．無論是將軍飲馬問題還是造橋選址問題給定的都是兩個定點，很多學(xué)生可以直接套模型，但是如果兩個點中只有一個定點，另外一個點是動點就要結(jié)合其它與最值有關(guān)的知識點，比如最常見的就是“垂線段最短”．軸對稱例題例題1、下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.B.C.D.例題2、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為____A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm例題3、兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部（1）那么點C應(yīng)選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）（2）設(shè)AB的垂直平分線交ME于點N，且MN=2（+1）km，測得∠CMN=30°，∠CNM=45°，求點C到公路ME的距離．隨練隨練1、下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A.A選項B.B選項C.C選項D.D選項隨練2、如圖．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長是（）A.2B.2C.4D.4隨練3、如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點D，交邊AB于點E．若△EDC的周長為24，△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為___．隨練4、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點E，垂足為D，連接BE．已知AE=5，tan∠AED=，則BE+CE=____．隨練5、聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準(zhǔn)外心．應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數(shù)．探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長．對稱類綜合問題例題例題1、在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．例題2、如圖，在△ABC中，，，點D為AB邊上的一動點（D不與A、B重合），過點D作DE∥BC，交AC于點E．把△ADE沿直線DE折疊，點A落在點處．連結(jié)，設(shè)，△ADE的邊DE上的高為．（1）求出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）若以點、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，求的值；（3）當(dāng)取何值時，△是直角三角形．第第24題圖ABCDEABC第24題備用圖例題3、如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長交邊BC于點G．若=，則=____用含k的代數(shù)式表示）．隨練最短路徑問題例題例題1、如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是____．例題2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點M在AC邊上，且AM=2，MC=6，動點P在AB邊上，連接PC，PM，則PC+PM的最小值是．例題3、小明在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師留了這樣一道思考題：如圖，已知在直線l的同側(cè)有A、B兩點，請你在直線l上確定一點P，使得的值最小．小明通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確方法，他的作法是這樣的：①作點A關(guān)于直線l的對稱點．②連結(jié)，交直線l于點P．則點P為所求．AAPBl請你參考小明的作法解決下列問題：（1）如圖1，在中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P，使得的周長最?。僭趫D1中作出點P．（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）②請直接寫出周長的最小值__________．EEDACB圖1（2）如圖2在矩形ABCD中，，，G為邊AD的中點，若E、F為邊AB上的兩個動點，點E在點F左側(cè)，且，當(dāng)四邊形CGEF的周長最小時，請你在圖2中確定點E、F的位置．（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并直接寫出四邊形CGEF周長的最小值_____．AADGCB圖2隨練隨練1、如圖，在矩形ABCD中，，，點M、N、分別在BC、AB上，將矩形ABCD沿MN折疊，設(shè)點B的對應(yīng)點是點E．（1）若點E在AD邊上，，求AE的長；（2）若點E在對角線AC上，請直接寫出AE的取值范圍：_____．隨練2、如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A.2B.2C.3D.隨練3、如圖，在五邊形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分別找一點M、N，若要使△AMN的周長最小時，則△AMN的最小周長為．隨練4、閱讀材料：例：說明代數(shù)式+的幾何意義，并求它的最小值．解：+=+，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形A′CB，因為A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值為3．根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）代數(shù)式+的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B____的距離之和．（填寫點B的坐標(biāo)）（2）代數(shù)式+的最小值為____．拓展拓展1、在線段、平行四邊形、矩形、等腰三角形、圓這幾個圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)是（）A.2個B.3個C.4個D.5個拓展2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為（）A.B.C.D.2拓展3、如圖，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點H，AC的垂直平分線交BC于點E，交AC于點G，連接AD，AE，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.=B.AD，AE將∠BAC三等分C.△ABE≌△ACDD.S△ADH=S△CEG拓展4、如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（）A.150°B.210°C.105°D.75°拓展5、閱讀下面材料：在教學(xué)課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線．已知：線段AB．求作：線段AB的垂直平分線．小蕓的作法如下：如圖，（1）分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于C，D兩點；（2）作直線CD．所以直線CD就是所求作的垂直平分線．老師說：“小蕓的作法正確．”請回答：小蕓的作圖依據(jù)是____________________拓展6、如圖，點A、B、C的坐標(biāo)為、、，則△ABC的外心坐標(biāo)是_________．OOyxABC拓展7、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于____．拓展8、閱讀下面材料：問題：如圖①，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若,，．求BD的長．小明同學(xué)的解題思路是：利用軸對稱，把△ADC進(jìn)行翻折，再經(jīng)過推理、計算使問題得到解決．（1）請你回答：圖中BD的長為；（2）參考小明的思路，探究并解答問題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若，，，求BD和AB的長．圖①圖①圖②拓展9、(2013中考西城區(qū)一模)在Rt△ABC中，，，點P在△ABC的內(nèi)部．（1）如圖1，，，點M、N分別在AB、BC邊上，則_______，△PMN周長的最小值為_______；（2）如圖2，若條件不變，而，，，求△ABC的面積；（3）若，，，且，直接寫出的度數(shù)．BBB拓展10、如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB邊的中點，BF平分交AD于F，P是BF上任意一點，°，，則的最小值為_______________.AABCEDFP拓展11、我們曾學(xué)過“兩點之間線段最短”的知識，?？衫盟鼇斫鉀Q兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：

如圖1，已知，AB在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點P，使得最?。瓵AB圖1我們只要作點B關(guān)于l的對稱點B＇（如圖2所示），根據(jù)對稱性可知，，因此，求最小就相當(dāng)于求最小，顯然當(dāng)A、P、B＇在一條直線上時，最小，因此連結(jié)AB＇，與直線l的交點，就是要求的點P，有很多問題都可以用類似的方法思考解決．探究：（1）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，P是BD上一動點，連結(jié)EP，CP，則的最小值是_______；ABABOPl圖2（2）如圖4，A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在的兩邊OM，ON上各找一點B，C，組成△ABC，使△ABC周長最??；（不寫畫法，保留作圖痕跡）（3）如圖5，平面直角坐標(biāo)系中有兩點，，在y軸上找一點C，在